1、湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）注意事项：1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量，满足，则（ ）A.B.29C.D.134.已知x，y满足约束条件则的最大值为（ ）A.4B.9C.11D.125.某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（ ）A.平均数B.中位数C.方差D.众数6.若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）A.B.C.或D.或7.函数的
3、部分图象大致为（ ）A.B.C.D.8.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，m分别为1，1，4，则输出的（ ）A.4B.5C.18D.2729.已知，且，则下列不等式不正确的是（ ）A.B.C.D.10.已知等差数列中，则数列的前2022项的和为（ ）A.1010B.1011C.2021D.202211.已知非钝角中，是边上的动点.若平面，且周长的最小值为，则三棱锥外接球的体积为（ ）A.B.C.D.12.已知函数在上的最小值为，则实数b的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若数列是公比为2的等比数列，写出一个满足题意的通项公式_.14.已
4、知点P为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为_.15.已知是定义在上的奇函数，且满足，又当时，则_.16.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是_.三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，.（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若，求的值.18.（本小题满分12分）随着人们生活水平的提高，健康
5、越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年15月份某初级私人健身教练课程的月报名人数y（单位：人）与该初级私人健身教练价格x（单位：元/小时）的情况，如下表所示.月份12345初级私人健身教练价格x（元/小时）210200190170150初级私人健身教练课程的月报名人数y（人）587911（1）求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）（2）请建立y关于x的线性回归方程；（精确到0.001）（3）当价格为每
6、小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）参考公式：对于一组数据（，2，3，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，为上一点，且.（1）证明：平面平面；（2）若直三棱柱的表面积为，求五面体的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点A是椭圆C的上顶点，设直线，的斜率分别为，当时，求证：为定值.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，恒成立
7、，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P的极坐标为，直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围.湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）参考答案一、
8、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案BCACDCBCDDAD10.D 【解析】设等差数列的首项为，公差为，则由得化简得解得所以.设数列的前n项和为，则.故选D.11.A 【解析】在中，设，则.所以的周长为.所以，不等式两边平方，得，解得，即的最小值是1.所以点A到边BC的距离为1.当AQ取最小值时，因为在中，所以.又，所以C，Q两点重合，所以，即.又平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.因为PB是和的公共斜边，所以PB为三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为R，则，所以三棱锥的外接球
9、的体积.故选A.12.D 【解析】方法一：由题可得.（1）当，即时，在上单调递减，函数的最小值为，符合题意，所以符合题意.（2）当，即时，当，即时，为开口向下的拋物线，且，恒成立，所以在上单调递减，函数的最小值为，符合题意.当，即时，为开口向上的抛物线，且.令，则.解得或.当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，所以在上的最小值为.令，得，化简得，解得（舍去）或（舍去）.当，即，即时，函数在上单调递减，所以函数在上的最小值为，符合题意.当，即时，为开口向下的拋物线，且.令，则.解得或.当时，即，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以此时在上的最小值为或.令
10、，得，化简得，解得，故，综上所述，实数b的取值范围是.故选D.方法二：由题可得，即，所以，即，即.当或时，不等式显然成立；当时，因为，所以，所以；当时，因为，所以，所以.综上可得，实数b的取值范围是.故选D.方法三（间接法）：当时，在单调递减，且最小值为，满足条件，可排除A，B选项；当时，因为当时，在上单调递減，所以的最小值为，满足条件，可排除C选项.故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. （答案不唯一）【解析】设等比数列的首项为，且公比，则由，得，即，即，所以.令，所以，所以可取.（答案不唯一）14. 【解析】由题可得，圆心，半径，圆心到直线的距离等于，所以点到直线的
11、距离的最大值为.15. 【解析】因为为奇函数，所以.因为，所以，所以，所以.所以的一个周期为8.因为，所以，所以.因为当时，是周期为8的奇函数，所以.16. 【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.当时，.由在上没有零点，得，即，解得或.故的取值范围是.三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.【解析】（1）因为，所以.1分所以.2分根据余弦定理，得，3分所以.4分所以.5
12、分所以a，b，c成等比数列.6分（2）由余弦定理，得.8分因为，所以由正弦定理，得.9分所以.10分所以.12分18.【解析】（1）由已知数据可得，1分，2分，3分，4分所以相关系数.5分因为，所以与有很强的线性相关性.6分（2）因为，7分，8分所以y关于x的线性回归方程为.9分（3）当时，故当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为4人.12分19.【解析】（1）如图，作于点E，交于点F，连接DF.因为，所以.所以.1分所以.由勾股定理得.所以，所以.3分又，所以.所以四边形是平行四边形，所以.4分因为平面平面，平面平面，所以平面.5分所以平面.又平面，所以平面平面.6分（2）由题易
13、得五面体即四棱锥由（1）知，又，所以平面.8分所以四棱锥的高为.因为直三棱柱的表面积为，所以，解得，即.所以，.又10分所以.故五面体的体积为.12分20.【解析】（1）依题意，的周长为，解得.1分设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，即，解得.2分因为，所以.3分所以椭圆的标准方程为.4分（2）由（1）知，.易知直线的方程为.5分由消去得，.设，则，.7分所以，.8分所以.所以.11分所以，为定值.12分21.【解析】（1）当时，.1分因为，所以.2分又，3分所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）当时，易得，所以，恒成立.6分当时，即.不等式两边同时除以，且，得.7分令，则.8分今，则
14、.当时，；当时，所以在上单调递增；在上单调递减.10分所以.因为在上恒成立，所以，即.综上所述，实数的取值范围为.12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【解析】（1）因为直线的参数方程为（t为参数），所以消去参数t可得直线的普通方程为.2分因为曲线的极坐标方程为，即，所以.由得.所以曲线C的直角坐标方程为.4分（2）因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为.易得，点P在直线上，将直线的参数方程（t为参数）代入，6分化简得，.设A，B两点所对应的参数分别为，则，所以，.所以.10分23.【解析】（1）当时，1分不等式，即为.则或或3分解得或或.4分故不等式的解集为.5分（2）（当且仅当时等号成立）.6分因为恒成立，所以.7分又，所以.8分解得.9分故实数a的取值范围是.10分
