1、 任意角的三角比 一、任意角 1.任意角的概念：在平面内由一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边.正角逆时针旋转的角，负角顺时针旋转的角，零角不作旋转的角。2.终边相同的角:角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正方向重合，凡有相同终边的角都互称为终边相同的角n两个终边相同的角，它们相差3600的整数倍。n任一角终边相同的角有无穷多个终边相同的角连同角在内可表示为：k3600+,或2k+，（kZ)3.象限角:角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正方向重合，角的终边落在第几象限内，这个角就叫做第几象限的角终边落在坐标轴
2、上的角，不属于任何象限.为了需要，我们常在直角坐标系中讨论角，使角的顶点和始边分别与坐标原点和x正半轴重合，考察角的终边的位置。这样就形成了终边落在坐标轴上或象限角的概念，以及象限角的区间表示，用弧度制和角度制表示角的时候，有下表：角度制 弧度制第一象限第一象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限(2,2)2kk(2,2)2kk3(2,2)2kk3(2,22)2kk(k3600,k3600+900)(k3600+900,k3600+1800)(k3600+1800,k3600+2700)(k3600+2700,k3600+3600)这里用区间表示的象限角的方法，有时可以改变它的形式
3、。如用(2k-,2k)kZ也表示第四象限角，两者的一致性是由k取整数决定的，故字母的取值范围一般不能省。还应注意我们已学过的锐角，直角和钝角这些概念与象限角应加以区别。2 二弧度制1角度制角度制：周角的1/360叫做1度角，记为10；2弧度制：弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用“弧度”做单位来度量角的制度叫弧度制。n规定：正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数是零；n单位“弧度”两字常可略去。3 3弧长公式：圆弧的长等于弧长公式：圆弧的长等于圆弧所对圆心角的弧度数的圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积绝对值与半径的积 l=rl=r4.4.扇形面积公式扇形面积公式
4、：S=l r(l是扇形的弧长，r是扇形的半径)5.弧度的意义：将任意角的集合和实数集R之间建立一一对应关系.21三.任意角的三角比的定义：1.锐角的三角比的定义：nsinA=ncosA=ntgA=nctgA=斜边的对边A斜边的邻边A的邻边的对边AA的对边的邻边AA2任意角的三角比的定义：设是任意大小的角，终边上任一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r0)，那么的六个三个函数定义为：角角的顶点与始边分别和坐标原点以及的顶点与始边分别和坐标原点以及x x正半轴重合，终边上一点正半轴重合，终边上一点P(x,y)P(x,y)，P P到原点到原点的距离为的距离为r,(r=)r,(r=)在直角坐
5、标系中，任意一个角都对应着在直角坐标系中，任意一个角都对应着一条射线一条射线oMoM。于是，角的六种三角比只与射线oM的位置有关,另一方面，两点确定一条直线，可以知道，平面上任一点P与原点o（0，0）就唯一确定了射线oM；因此，任意角的三角比仅与角的终边位置有关，而与终边上所取的点P的位置无关。22xy3三角函数值的符号三角函数值的符号各三角函数值在各象限的符号如下图所示：4特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值5.三角函数的定义域 sin|Rcos|Rtg|R，k+/2,kZctg|R，k，kZsec|R，k+/2，kZcsc|R，k，kZ终边在x轴正半轴终边在x轴负半轴终边在x轴)(2Zkk
6、)()12(Zkk()kkZ终边在y轴正半轴终边在y轴负半轴终边在y轴()2kkZ32()2kkZ2()2kkZ例例1 1：集合M=|=，N=|=，那么集合M与N的关系是（）(A)M N;(B)M=N;(C)M N;(D)不确定；例2：终边在坐标轴上的角的集合 。例3：把-表示成2k+，使|最小的的值是 。Zkk,4Zkk,42411C例4：若是第三象限的角，则/2是第几象限的角 ；2是第几象限的角 。例5：已知扇形OAB的圆心角为1500，内切圆的面积为36cm2，求弧AB 的长和扇形OAB的面积。例6：已知角与的终边关于y轴对称，则角与的关系 .例7：已知扇形的周长为20cm，求它的面积的
7、最大值。例8：已知角的终边经过点P（2，-3）,求的六个三角函数值例例9 9（1 1）将）将1121123030化成弧度制。化成弧度制。（2 2）将）将 化成角度制。化成角度制。（3 3）10 10 约等于多少弧度（保留四个约等于多少弧度（保留四个 有效数字）。有效数字）。（4 4）3 3弧度约等于多少度（精确到整弧度约等于多少度（精确到整 数度）。数度）。449 949 解：解：（1 1）1121123030 弧度弧度（2 2）弧度弧度 =8 =8 （3 3）1 1 0.017453 0.017453弧度，弧度，10 10 10 10 0.017453=0.17453 0.17450.017
8、453=0.17453 0.1745弧度弧度（4 4）11弧度弧度 57.3 57.3 ，33弧度弧度 3 3 57.3 57.3 =171.9 =171.9 172 172 5 5 8 8449 9449 91801800225222521805849490180说明说明 在掌握角度制、弧度制的互化的同时，也应记住近似互化公式。（上述计算过程，也可以用计算器来完成）。例例1010、在在0 0 360 360(或或0202 ）的范围）的范围内找出一个与以下各角终边相同的内找出一个与以下各角终边相同的角，并判别下列各角分别属于哪个角，并判别下列各角分别属于哪个象限象限 （1 1）-546-546
9、 （2 2）1998 1998 （3 3）-21.3-21.3 （4 4）-5-5解：（解：（1 1）设所求的角是）设所求的角是 ，与，与-546-5460 0角有相角有相同终边的角是同终边的角是 k k3603600 05465460 0，k Zk Z，而而0 0 3603600 0，0 k 0 k3603600 05465460 03603600 0，解得，解得，546/360 k 546/360 k 1 1(546/360)(546/360)，即即1 1(186/360)k(186/360)k 2+(186/360)2+(186/360)，其中其中k Z k Z，所以，所以k=2,k=2
10、,于是于是2 23603600 05465460 01741740 0，又因为又因为1741740 0与与-546-5460 0终边相同，终边相同，所以所以-546-5460 0属于第二象限。属于第二象限。（1 1）的另解：）的另解：546546720 720 174 174 2 2360 360 174 174 以下分析同上。以下分析同上。（2 2）1998 1998 5 5 360 360 198 198 ，198 198 1998 1998属于第三象限。属于第三象限。（3 3）21.3 21.3 22 22 0.7 0.7 11 11 2+(7)/10 2+(7)/10 （77）/10/
11、10，21.3 21.3 属于第二象限属于第二象限（4 4）11弧度弧度57.3 57.3，5 5弧度弧度5 5 57.3 57.3286.5 286.5 5 5弧度弧度1 1 360 360 73.5 73.5 73.5 73.5，-5-5属于第一象限角。属于第一象限角。说明：（说明：（1 1）的两种解法揭示了）的两种解法揭示了 k k3603600 0+等价于等价于 =-k=-k3603600 0 ，k Zk Z（弧度制情况类同）。（弧度制情况类同）。掌握终边相同的角的表示的方法是：“大角”化“小角”，负角 化非负角。（4）体现了角度制、弧度制近似值互化的重要性。例例11.11.下列各区间
12、能表示第一象限角的集合是（下列各区间能表示第一象限角的集合是（）（A A）(2 2l l,2,2l l+/2+/2)（B B）(2 2k k,2k+/2,2k+/2 k Zk Z（C C）(mm，mm+/2+/2)，mm是偶数是偶数（D D）(4n4n，4n+/2)4n+/2)n nZZ答案：表示第一象限角的集合是 (m，m+/2)，m是偶数说明 象限角的区间表示应注意：1、区间中的字母取值范围。2、区间的开、闭性。3、表示区间的左端的数应小于该区间 的右端的数。这里D表示的集合是 第一象限角的集合的真子集。例例5 5 已知角已知角的顶点与坐标原点重合，始边与的顶点与坐标原点重合，始边与x x
13、轴的正方向重合，轴的正方向重合，的终边上一点的终边上一点P P（5a,-12a5a,-12a）,(a0),(a0)。求求Sin,cos,tgSin,cos,tg的值。的值。分析：分析：根据三角比的定义，应先求出根据三角比的定义，应先求出r,r,注注意隐含条件意隐含条件r r0 0。解：解：0,0,r=(5a)r=(5a)2 2+(-12a)+(-12a)2 2 =13|a|=-13a =13|a|=-13asin=sin=cos cos=-=-tg tg=-=-5a5a-12a12a 5 5 12 12-13a-13a 5a5a 5 51213513aa 1313例6 已知：角的顶点与坐标原点
14、重合，始边与x正半轴重合，且的终边上一点P到原点的距离为34，Sin=-8/17，求点P的坐标。说明：任意角的三角比是用坐标定义的，因此，应特别注意终边上的点的坐标的符号关系。与的终边互为反向延长线 与 关系(21)()kkZ在周角内找一个与以下角的终边相同的角，并判别下列各角分别属于哪个象限.0(1)1005 145(2)7(3)10 解:000(1)10053 36075 1455(2)10 277(3)104(410)3 是第二象限角,则是第几象限角.解:22()2kkkZ 22()36333kkkZ013,22()633knnnnZ05231,22()63knnnnZ035332,22()233knnnnZ3 第一、二、四象限.
