1、平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示及坐标表示复习复习平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2 使a=1 e1+2 e2a=1 e1+2 e2复习复习(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.1,2是被 a,e1、e2唯一确定的数量。G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解新课引入新课引入G与与F1,F2有什么关系有什么关系?
2、类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2 a2,使a=1a1+2 a2把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解正交分解若两个不共线向量互相垂直时a1a12 a2F1F2G正交分解正交分解 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。yOxji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j把(x,y)叫
3、做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标axiyji=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)（一）（一）yOxajixiyj向量a、b有什么关系?ab能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)bxiyjyxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOjia(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；4321-1-2-3-2246ij），（y
4、xP(,)OPxiy jx y 向量的坐标与点的坐标关系O向量向量 P（x，y）一一 一一 对对 应应OP xiy j例1：如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1 2 3 4-4 -3-2-154321-1-2-3-4-5ji1 2 3 4a=(2,3)由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,已知已知 ，求，求 的坐标的坐标.ABOxyB(x2,y2)A(x1,y1)ABOBOA 结论结论1 1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向一个向量的坐
5、标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。线段终点的坐标减去始点的坐标。1122(,),(,)A x yB xy2,211()(,)x yx y2121(,)xx yy总结总结:对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;(2)(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标向量的坐标.(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.),(),(2211yxbyxaba，若.,),(),(21
6、212211yyxxyxyx即则练习练习:在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.(1)(1,2)a(2)(1,2)b (1,2)A.xyoaxyo(1,2)B.b1122(,),(,),(,),ax ybxyab abax ya 问题:(1)已知 求 的坐标.(2)已知和实数求 的坐标.（二）平面向量的坐标运算：（二）平面向量的坐标运算：1122(1)abx iy jx iy j1212(,)abxxyy同理得(2)(,)axiy jxiy jxy结论结论2 2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差量相应坐标的和与
7、差.结论结论3 3：实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘：实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标原来向量的相应坐标.1212xxiyyj1212(,)xxyy2(2,1),(3,4),34 abab abab 例例：已已知知求求的的坐坐标标.(2,1)(3,4)(1,5)ab 解解：(2,1)(3,4)(5,3)ab 3 4 3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)ab (6,19)例例3,、（、（2008辽宁）已知四边形辽宁）已知四边形ABCD的三个的三个顶点顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且且 ，则，则顶点顶点D的坐标为（的坐标为（）2BCAD A
8、.（2，）B.（2，）C.（3，2）D.（1，3）7212 A解析：解析：设设D（x,y），），(4,3),(,2),2BCADx yBCAD 由得得x=2,y=,故选故选A72(2,3),(3,5),ABBA 例4、1 已知求的坐标.(1,2),(2,1),ABAB 2 已知求 的坐标.解：BA 2,33,5 5,2.,解：设B x,y 1,2,2,1,ABx y 1221xy 即31xy.即B 3,-1例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为（的坐标分别为（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），求顶点求顶点D的坐标。的坐标。4
9、321-1-2-3-4-6-4-2246xyOA(-2,1)B(-1,3)C(3,4)D(x,y),)Dx y解：设顶点 的坐标为（)2,1()13),2(1(AB)4,3(yxDC1 23-,4)ABDCxy 有得：（，）（yx4231），的坐标是（顶点22Dyx22OyxABCD例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标的三个顶点的坐标分别是（分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标.变变式：式：已知平面上三点的坐标分别为已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点求点D的坐标使这四点的坐标使这
10、四点构成平行四边形四个顶点。构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：解：当平行四边形为当平行四边形为ADCB时，时，由由 得得D1=(2,2)DCAB 当平行四边形为当平行四边形为ACDB时，时，得得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=(6,0)D3课堂小结课堂小结:1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念:2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算:(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(
11、3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.1122(,),(,),ax ybxy(1)若则1212(,),abxxyy1212(,),abxxyy11(,)axy1122(,),(,),A x yB xy(2)若2121(,)ABxx yy(,)axiy jx y4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题:“向量向量”的思的思想想2.若将向量若将向量 围绕原点按逆时针方向围绕原点按逆时针方向旋转旋转 得到向量得到向量 ，则，则 的坐标为的坐标为（）.1.若向量若向量 =（1，-2）的终点在原点，那么）的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是这个向量的始点坐
12、标是 a（-1，2）(21)a，4bb，2 3 222课堂练习一4.已知已知A、B的坐标分别为的坐标分别为 ，与与 平行的向量的坐标可以是平行的向量的坐标可以是_.（填写正确的序号）（填写正确的序号）3.已知点已知点A(8,2)，点，点B(3,5)，将，将 沿沿x轴轴向左平移向左平移5个单位得到向量个单位得到向量 ，则，则AB CD _.CD ，(-5 3)2(4 6)33AB，AB，1433，972，14-33，(-7 9)；ABCDoxyij5.如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设 ，填空：，填空：OA=i,OB=
13、j（1）|=_,|j|=_,|=_;（2）若用）若用 来表示来表示 ，则：，则：i,j OC,ODOC=_,OD=_.3 i+4 j 5 i+7 j1153547（3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？可以的话，表示出来？可以的话，如何表示？如何表示？CD i,j CD=2 i+3 j随堂随堂练习二练习二1 a=4,6,a=2b,b、且且那那么么 的的坐标是坐标是A A、(3,2)B(3,2)B、(2,3)C(2,3)C、(-3,-2)D(-3,-2)D、(-2,-3)(-2,-3)B2a=x-2,3b=1,y+2、若若向向量量与与向向量量相相等等，那那么么A A、x=1,y=3 Bx=1,
14、y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B3AB=x,y,B -2,1,OA 、已已知知的的坐坐是是那那么么的的标标坐标为坐标为A A、(x-2,y+1)B(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、(-2-x,1-y)D(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)(x+2,y+1)C4a=1,1,b=1,-1,c=-1,2,c13133131 A-a+b Ba-b Ca-b D-a+b22222222、若若向向量量那那么么等等于于、B5a=3,-1,b=-1,2,-3a-2b A7,1 B-7-1 C-7,1 D7-1、已已知知那那么么等等于于、，、，B6B m,n,AB 、已已知知 的的坐坐是是标标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j),则点则点A A的坐标为的坐标为A A、(m-i,n-j)B(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)(i-m,j-n)C C、(m+i,n+j)D(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)(m+n,i+j)A小结小结平面向量的正交分解平面向量的正交分解平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示
