1、函数的定义1. 下列各图给出了变量 x 与 y 之间的函数是：（）yoxyoxyoxyoxABCD自变量的取值范围1 求下列函数中自变量 x 的取值范围：(1) y3x1；(2) y2x27；(3) y =1；x + 2x - 2(4) y =2. 求下列函数中自变量 x 的取值范围：(1)y2x5x2；(3) yx(x3)；(3) y =6x x + 3；(4) y =2x - 110（2009 黑龙江大兴安岭）函数 y =xx - 1中，自变量 x 的取值范围是4 - x2x + 2x - 21. 下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x2 的是（）2 - x1x - 2Ay=By=Cy=
2、Dy=y654321-2 -1O 1 2 34 56-1-2x求值求下列函数当 x = 2 时的函数值：(1)y = 2x-5 ；(2)y =3x2 ；2 - x2(3) y =；(4) y =x -122（12 分）一次函数 y=kx+b 的图象如图所示：（1） 求出该一次函数的表达式；（2） 当 x=10 时，y 的值是多少？（3） 当 y=12 时， x 的值是多少？3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间 t（秒）滑下的距离 s（米）由下式给出：s10t2t2假如滑到坡底的时间为 8秒，试问坡长为多少？作图象例 1 画出函数 yx1 的图象分析 要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些
3、点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值解 取自变量 x 的一些值，例如 x3，2,1，0，1，2，3 ，计算出对应的函数值为表达方便，可列表如下：由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：，(3,2)，(2,1)，(1,0)，(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，在直角坐标系中，描出这些有序实数对(坐标)的对应点，如图所示通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法例 2 画出函数 y =1 x 的图象2分析 用描点法画函数图象的步骤：分为列表、描点、连线三步解 列表：描点
4、：用光滑曲线连线：1. 在所给的直角坐标系中画出函数 y =1 x 的图象（先填写下表，再描点、连线）2利用图像解决实际问题问题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬ft有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷图中两条线段分别表示小强和爷爷离开ft脚的距离（米）与爬ft所用时间（分）的关系（从小强开始爬ft时计时）问 图中有一个直角坐标系，它的横轴（x 轴）和纵轴（y 轴）各表示什么？ 问 如图，线段上有一点 P，则 P 的坐标是多少？表示的实际意义是什么？ 看上面问题的图，回答下列问题：(1) 小强让爷爷先上多少米？ (2)ft顶离ft脚的距离有多少米？谁先爬上ft顶？三、实践应用例
5、 1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式 y = - 1 x 2 + 8 x 击球，球正好进洞其中，y(m)55是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离(1) 试画出高尔夫球飞行的路线；(2) 从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？解 (1)列表如下：在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象(2)高尔夫球的最大飞行高度是 3.2 m，球的起点与洞之间的距离是 8 m例 2 小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离 s（米）与散步所用时间 t
6、（分）之间的函数关系请你由图具体说明小明散步的情况解 小明先走了约 3 分钟，到达离家 250 米处的一个阅报栏前看了 5 分钟报，又向前走了 2 分钟，到达离家 450 米处返回，走了 6 分钟到家2. 一枝蜡烛长 20 厘米，点燃后每小时燃烧掉 5 厘米，则下列 3 幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间 t 之间的函数关系的是()正比例函数和待定系数法特别地，当 b0 时，一次函数 ykx（常数 k0）出叫正比例函数正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例一次函数 y=kx+b(k0)三、实践应用例 1 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函
7、数？(1) 面积为 10cm2 的三角形的底 a(cm)与这边上的高 h(cm)；(2) 长为 8(cm)的平行四边形的周长 L(cm)与宽 b(cm)；(3) 食堂原有煤 120 吨，每天要用去 5 吨，x 天后还剩下煤 y 吨；(4) 汽车每小时行 40 千米，行驶的路程 s（千米）和时间 t（小时）例 2 已知函数 y(k2)x2k1，若它是正比例函数，求 k 的值若它是一次函数，求 k 的值例 3 已知 y+2 与 x3 成正比例，当 x4 时，y3(1) 写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)y 与 x 之间是什么函数关系； (3)求 x2.5 时，y 的值22. （8 分）
8、已知 y=y1+y2，y1 与 x 成正比例，y2 与 x-1 成正比例，且 x=3 时 y=4；x= 1 时 y=2，求 y 与 x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象一次函数、正比例函数以及它们的关系：函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数一次函数通常可以表示为 ykxb 的形式，其中 k、b 是常数，k0特别地，当 b0 时，一次函数 ykx（常数 k0）出叫正比例函数(direct proportional function)正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例正比例图象快速作图直线的平移请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象(
9、1)y-x、y-x1 与 y-x-2；(2)y2x、y2x1 与 y2x-2例 2 直线 y = - 12x + 3, y = - 12x - 5 分别是由直线 y = - 12x 经过怎样的移动得到的1例 3 说出直线 y3x2 与 y =x + 2 ；y5x-1 与 y5x-4 的相同之处2五、检测反馈2.(1)将直线 y3x 向下平移 2 个单位，得到直线； (2)将直线 y-x-5 向上平移 5 个单位，得到直线； (3)将直线 y-2x3 向下平移 5 个单位，得到直线 3.函数 ykx-4 的图象平行于直线 y-2x，求函数的表达式4.一次函数 ykxb 的图象与 y 轴交于点(0
10、,-2)，且与直线 y = 3x -1平行，求它的函数表达式21.一次函数 ykxb,当 x0 时，yb；当 y0 时， x = - bk的交点坐标是- b ,0 ；.所以直线 ykxb 与 y 轴的交点坐标是(0,b),与 x 轴k3. 已知函数 y2x-4. (1)作出它的图象；(2) 标出图象与 x 轴、y 轴的交点坐标；(3) 由图象观察，当-2x4 时，函数值 y 的变化范围.4. 一次函数 y3xb 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是 24，求 b.2图像位置与 k,b 的关系和单调性2.在同一直角坐标系中，画出函数 y =x + 1和 y3x-2 的图象.3问 在你所画的一次函数
11、图象中，直线经过几个象限.一次函数 ykxb 有下列性质：(1) 当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；(2) 当 k0 时，y 随 x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降. 特别地，当 b0 时，正比例函数也有上述性质.当 b0,直线与 y 轴交于正半轴；当 b0 时，直线与 y 轴交于正半轴.下面，我们把一次函数中 k 与 b 的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为：k、b 的符号k0b0k0 b0k0 b0k0b0图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限性质y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 三
12、、实践应用例 1 已知一次函数 y(2m-1)xm5,当 m 是什么数时，函数值 y 随 x 的增大而减小？例 2 已知一次函数 y(1-2m)xm-1，若函数 y 随 x 的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求 m 的取值范围.例 3 已知一次函数 y(3m-8)x1-m 图象与 y 轴交点在 x 轴下方，且 y 随 x 的增大而减小，其中 m 为整数. (1)求 m 的值；(2)当 x 取何值时，0y4？1. 已知点 M（1，a）和点 N（2，b）是一次函数 y=2x+1 图象上的两点，则 a 与 b 的大小关系是（）Aab Ba=bCab D以上都不对6已知正比例函数 y=k
13、x（k0）的图象上两点 A（x1，y1）、B（x2，y2），且 x1x2，则下列不等式中恒成立的是（）Ay1+y20 By1+y20 Cy1y20 Dy1y209. 已知直线 y=kx+b 不经过第三象限则下列结论正确的是（）Ak0, b0;Bk0, b0;Ck0, b0; Dk0, b0;10. 已知一次函数 y=kx+b,y 随着 x 的增大而减小,且 kb 0,73即 k - 2 0.解得 - k 2 2 714. 若解方程 x+2=3x-2 得 x=2，则当 x时直线 y=x+ 2 上的点在直线 y=3x-2 上相应点的上方15. 已知一次函数 y=-x+a 与 y=x+b 的图象相交
14、于点（m，8），则 a+b=y4 AB-2OD 6xC -3EF1、 已知直线 m 经过两点（1,6）、（-3，-2），它和 x 轴、y 轴的交点式B、A，直线 n 过点（2，-2），且与 y 轴交点的纵坐标是-3，它和 x 轴、y 轴的交点是 D、C；（1） 分别写出两条直线解析式，并画草图；（2） 计算四边形 ABCD 的面积；（3） 若直线 AB 与 DC 交于点 E，求BCE 的面积。22.直线 y =x - 2 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，O 是原点3(1) 求AOB 的面积；(2) 过AOB 的顶点能不能画出直线把AOB 分成面积相等的两部分？如能，可以画出几条？写出这
15、样的直线所对应的函数关系式yDEP(2,p) CAOFBx2、 如图，A、B 分别是 x 轴上位于原点左右两侧的点，点 P（2，p）在第一象限，直线 PA 交 y 轴于点 C（0,2），直线 PB 交 y 轴于点 D，AOP 的面积为 6；（1） 求COP 的面积；（2） 求点 A 的坐标及 p 的值；（3） 若BOP 与DOP 的面积相等，求直线 BD 的函数解析式。4. 一次函数 ykxb(k0)的图象经过点(3,3)和(1,-1)求它的函数关系式，并画出图象5. 陈华暑假去某地旅游，导游要大家上ft时多带一件衣服，并介绍当地ft区海拔每增加 100 米，气温下降 0.6陈华在ft脚下看了
16、一下随带的温度计，气温为 34，乘缆车到ft顶发现温度为 32.2求ft高一次函数与方程、方程组和不等式3问题 画出函数 y2x + 3 的图象，根据图象，指出：(1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？(2) x 取什么值时，函数值 y 始终大于零？例 1 画出函数 yx2 的图象，根据图象，指出：(1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？(2) x 取什么值时，函数值 y 始终大于零？解 过(2,0)，(0,-2)作直线，如图x - y - 3 = 0例 2.已知直线 y=x-3 与 y=2x+2 的交点为（-5，-8），则方程组2x - y + 2 = 0 的解是 例 3 利用图象解
17、不等式(1)2x5x1，(2) 2x5x1解 设y12x5，y2x1，在直角坐标系中画出这两条直线，如下图所示两 条 直 线 的 交 点 坐 标 是 (2, 1) ， 由 图 可 知 ： (1)2x5x1 的解集是 y1y2 时 x 的取值范围，为 x2； (2)2x5x1 的解集是 y1y2 时 x 的取值范围，为 x213一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则 kx+bx+a 的解集是9. 如图，已知函数 y=2x+b 与函数 y=kx3 的图象交于点 P，则不等式 kx32x+b 的解集是12如图，直线 y=kx+b 过 A（1，2）、B（2，0）两点，则 0kx+b
18、2x 的解集为 实际应用23（12 分）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1） 农民自带的零钱是多少？（2） 降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3） 降价后他按每千克 0.4 元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是 26 元，问他一共带了多少千克土豆？问题 学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每 100 页 40 元计费现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每 100 页 15 元收费两复印社每月收费情况如下
19、图所示根据图象回答：(1) 乙复印社的每月承包费是多少？(2) 当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？(3) 如果每月复印页数在 1200 页左右，那么应选择哪个复印社？实践应用例 1 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来他已存有 50 元，从现在起每个月节存 12 元小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从小张存款当月起每个月存 18 元，争取超过小张请你写出小张和小王存款和月份之间的函数关系，并计算半年以后小王的存款是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张？例 3 下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分
20、别是正比例函数图象和一次函数图象）根据图象解答下列问题：(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？(3)问快艇出发多长时间赶上轮船？3. 学校准备去白云ft春游甲、乙两家旅行社原价都是每人 60 元，且都表示对学生优惠甲旅行社表示： 全部 8 折收费；乙旅行社表示： 若人数不超过 30 人则按 9 折收费，超过 30 人按 7 折收费(1) 设学生人数为 x，甲、乙两旅行社实际收取总费用为 y1、y2（元），试分别列出 y1、y2 与 x 的函数关系式（y2 应分别就人数是否超过 30 两
21、种情况列出）；(2) 讨论应选择哪家旅行社较优惠；(3) 试在同一直角坐标系内画出(1)题两个函数的图象，并根据图象解释题(2)题讨论的结果7汽车开始行驶时，油箱内有油 40 升，如果每小时耗油 5 升，则油箱内余油量 y（升）与行驶时间 t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（）4. 药品研究所开发一种抗菌新药经多年动物实验，首次用于临床人体试验测得成人服药后血液中药物浓度 y（微克毫升）与服药后时间 x（时）之间的函数关系如下图请你根据图象：(1) 说出服药后多少时间血液中药物浓度最高？(2) 分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 的函数关系式例 5 某军加油飞机接到命令，立
22、即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为 Q1 吨，加油飞机的加油油箱的余油量为 Q2 吨，加油时间为 t 分钟，Q1、Q2 与 t 之间的函数图象如图所示， 结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？ (2)求加油过程中，运输飞机的余油量 Q1（吨）与时间 t（分钟）的函数关系式；(3) 求运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需 10 小时到达目的地,油料是否够用？说明理由一次函数与方案设计问题一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中有广泛的应用。例如，利用一次函
23、数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方案决策。近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题，这些试题新颖灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能。1. 生产方案的设计例 1某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品，共 50 件。已知生产一件 A 种产品需用甲种原料 9 千克、乙种原料 3 千克，可获利润 700 元；生产一件 B 种产品，需用甲种原料4 千克、乙种原料 10 千克，可获利润 1200 元。(1) 要求安排 A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；(2) 生产 A、B 两种产品获总利润是 y
24、(元)，其中一种的生产件数是 x，试写出 y 与 x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?(98 年河北)解(1)设安排生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品是(50-x)件。由题意得 9x + 4(50 - x) 3603x + 10(50 - x) 290解不等式组得30x32。(1)(2)因为 x 是整数，所以 x 只取 30、31、32，相应的(50-x)的值是 20、19、18。所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产 A 种产品 30 件，B 种产品 20 件；第二种生产方案：生产 A种产品 31 件，B 种产品 1
25、9 件；第三种生产方案：生产 A 种产品 32 件，B 种产品 18 件。(2)设生产 A 种产品的件数是 x，则生产 B 种产品的件数是 50-x。由题意得y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中 x 只能取 30，31，32。)因为 -500y 乙，120x+240144x+144，解得x4。当 y 甲y 乙,120x+2404。答：当学生人数少于 4 人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于 4 人时，甲旅行社更优惠；本题运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了优惠方案的设计问题。综上所述，利用一次函数的图象、性质及不等式的整数解与方程的有关知识解决了实际生活中许多
26、的方案设计问题，如果学生能切实理解和掌握这方面的知识与应用，对解决方案问题的数学题是很有效的。练习1某童装厂现有甲种布料 38 米，乙种布料 26 米，现计划用这两种布料生产 L、M 两种型号的童装共 50 套，已知做一套 L 型号的童装需用甲种布料 0.5 米，乙种布料 1 米，可获利 45 元；做一套 M 型号的童装需用甲种布料 0.9 米，乙种布料 0.2 米，可获利润 30 元。设生产 L 型号的童装套数为 x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y(元)。(1) 写出 y(元)关于 x(套)的函数解析式；并求出自变量 x 的取值范围；(2) 该厂在生产这批童装中，当 L 型号的童
27、装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?2A 城有化肥 200 吨，B 城有化肥 300 吨，现要把化肥运往 C、D 两农村，如果从 A 城运往 C、D 两地运费分别是20 元/吨与 25 元/吨，从 B 城运往 C、D 两地运费分别是 15 元/吨与 22 元/吨，现已知 C 地需要 220 吨，D 地需要 280 吨，如果个体户承包了这项运输任务，请帮他算一算，怎样调运花钱最小?24.（9 分）A 市和 B 市分别库存某种机器 12 台和 6 台，现决定支援给 C 市 10 台和 D 市 8 台 已知从 A 市调运一台机器到 C 市和 D 市的运费分别为 400 元和 800
28、 元；从 B 市调运一台机器到 C 市和 D 市的运费分别为 300 元和 500 元（1） 设 B 市运往 C 市机器 x 台， 求总运费 Y（元）关于 x 的函数关系式（2） 若要求总运费不超过 9000 元，问共有几种调运方案？（3） 求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？例 4 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者果园基地对购买量在 3000 千克以上（含 3000 千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克 9 元，由基地送货上门；乙方案：每千克 8 元，由顾客自己租车运回已知该公司租车从基地到公司的运输费为 5000 元(1) 分别写出该公司两种购买方案的付款 y（元）
29、与所买的水果量 x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围(2) 当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由解 (1) y甲9xy乙= 8x + 5000(x 3000) ；(x 3000) yO18. 下面有两处移动电话计费方式全球通神州行月租费50 元/月0本地通话0.40 元/分0.60 元/分你知道如何选择计费方式更省钱吗？x4有批货物，若年初出售可获利 2000 元，然后将本利一起存入银行。银行利息为 10%，若年末出售，可获利2620 元，但要支付 120 元仓库保管费，问这批货物是年初还是年末出售为好?10. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD
30、的一边 BC 上，一点 P 从 B 点运动到 C 点，设 BPx，四边形 APCD 的面积为 y. 写出 y 与 x 之间的函数关系式及 x 的取值范围； 说明是否存在点 P，使四边形 APCD 的面积为 1.5？2.（宁夏回族自治区）已知：等边三角形的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段在的边上沿方向以 1 厘米/秒的速度向 点运动（运动开始时，点与点 重合，点到达点 时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为 秒（1） 线段在运动的过程中， 为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2） 线段在运动的过程中，四边形的面积为 ，运动的时间为 求四边形的面积
31、 随运动时间 变化的函数关系式，并写出自变量 的取值范围6、（金华）如图 1，在平面直角坐标系中，已知点，点 在 正半轴上，且动点 在线段上从点 向点 以每秒个单位的速度运动，设运动时间为 秒在 轴上取两点作等边（1） 求直线的解析式；（2） 求等边的边长（用 的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点 重合时 的值；2. 如右图，在矩形 ABCD 中，AB=20cm，BC=4cm，点P 从 A 开始沿折线 ABCD 以 4cm/s 的速度运动，点 Q 从 C开始沿 CD 边 1cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达点 D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t(s)，t 为何值时，四边形 APQD 也为矩形？
