1、多种插值法比较与应用(一)Lagrange插值1 Lagrange插值基函数n+1个n次多项式 称为Lagrange插值基函数2 Lagrange插值多项式设给定n+1个互异点,满足插值条件,的n次多项式为Lagrange插值多项式,称 为插值余项,其中(二)Newton插值 1差商的定义 关于的零阶差商 关于,的一阶差商 依次类推,关于,的k阶差商 2 Newton插值多项式设给定的n+1个互异点,称满足条件 ,的n次多项式为Newton插值多项式,称为插值余项。(三)Hermite插值设,已知互异点,及所对应的函数值为,导数值为,则满足条件 的次Hermite插值多项式为 其中 称为Her
2、mite插值基函数,是Lagrange插值基函数,若,插值误差为,(四)分段插值设在区间上给定n+1个插值节点 和相应的函数值,求作一个插值函数,具有性质 ()。在每个小区间内 ()上是线性函数。(五)样条插值 设在区间上取n+1个节点 给定这些点的函数值。若函数满足条件:,;在每个区间()上是3次多项式;取下列边界条件之一:()第一边界条件:,()第二边界条件:,或()周期边界条件:,称为3次样条插值函数。 (六)有理插值设在区间上给定n+m+1个互异节点 ,上的函数值,构造一个有理插值 ,满足条件:,则称为点集,上的有理插值函数。 例1设,为n+1个互异的插值节点,为Lagrange插值基
3、函数,证明 证 考虑,利用Lagrange插值余项定理显然 。利用Lagrange基函数插值公式,有 例2 给出下列表格:00.20.40.60.81.000.199560.396160.588130.772100.94608对于正弦积分 ,当时,求的值。解 利用反插值计算线性插值,取,。 , 。2次插值,取 , , 。故值约为0.456。例3 取节点,对函数建立线性插值。解 先构造,两点的线性插值多项式。因为011(1)Lagrange型插值多项式构造和的一次插值基函数,这样就容易得到(2)Newton型插值多项式因为,所以例4 根据函数的数据表0.400.500.700.80-0.916291-0.693147-0.356675-0.2231442.5000002.0000001.4285711.250000运用Hermite插值计算。解 ,首先构造Hermite插值基函数,。然后利用Hermite插值公式写出 直接计算得 ,. .事实上,另外 ,.例5 判断下面的函数是否是3次样条函数:解 在上连续,在上连续;在上连续,即。又在每段上都是3项式,故是3次样条函数。总结:通过以上定义于例子的学习让我们更好的掌握了插值多项式的方法。