1、（专题精选）初中数学锐角三角函数的分类汇编附答案一、选择题1如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DEBC于点E，连接OE，DOE120，DE1，则BD（）ABC6D3【答案】B【解析】【分析】证明OBE是等边三角形，然后解直角三角形即可【详解】四边形ABCD是菱形，OD=OB，CD=BCDEBC，DEB=90，OE=OD=OBDOE=120，BOE=60，OBE是等边三角形，DBC=60DEB=90，BD=故选B【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型2如图，在等腰直角ABC中，C9
2、0，D为BC的中点，将ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sinBED的值是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到，设，则，再根据勾股定理即可求解【详解】解：DEF是AEF翻折而成，DEFAEF，AEDF，ABC是等腰直角三角形，EDF45，由三角形外角性质得CDF+45BED+45，BEDCDF，设CD1，CFx，则CACB2，DFFA2x，在RtCDF中，由勾股定理得，CF2+CD2DF2，即x2+1（2x）2，解得：，故选：B【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的
3、性质，涉及面较广，但难易适中3如图，点从点出发沿方向运动，点从点出发沿方向运动，同时出发且速度相同，（长度不变，在上方，在左边），当点到达点时，点停止运动在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）A一直减小B一直不变C先减小后增大D先增大后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE，过点E作EMBC于M，过点G作GNAB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=SGDESEGF即可求出结论【详解】解：连接GE，过点E作EMBC于M，过点G作GNAB于N设AE=BG=x，则BE=ABAE=ABxGN=BGsinB=xsinB，EM=BEsinB=（ABx
4、）sinBS阴影=SGDESEGF=DEGNGFEM=DE（xsinB）DE（ABx）sinB=DExsinB（ABx）sinB=DEABsinBDE、AB和B都为定值S阴影也为定值故选B【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键4直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE设BE=x，则CE=8-x在RtBCE中，x2=（8-x）2+62，解得x=，故CE=8-=，tanCBE=.故选C.考点：锐角三角函数.5如
5、图所示，在ABC中，C90，AB8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F若CFx，tanAy，则x与y之间满足（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出CDABAD4，由等腰三角形的性质得出AACD，得出tanACDtanAy，证明CEGFEC，得出，得出y，求出y2，得出FE2，再由勾股定理得出FE2CF2CE2x24，即可得出答案【详解】解：如图所示：在ABC中，C90，AB8，CD是AB边上的中线，CDABAD4，AACD，EF垂直平分CD，CECD2，CEFCEG90，tanACDtanAy，ACD+FCECFE+FCE90，
6、ACDFCE，CEGFEC，y，y2，FE2，FE2CF2CE2x24，x24，+4x2，故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键6如图，在矩形ABCD中，AB2，BC10，E、F分别在边BC，AD上，BEDF将ABE，CDF分别沿着AE，CF翻折后得到AGE，CHF若AG、CH分别平分EAD、FCB，则GH长为（ ）A3B4C5D7【答案】B【解析】【分析】如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于T通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过
7、证四边形ABNM为矩形得MNAB2，BNAM3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GHTN即可解决问题【详解】解：如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于TABE沿着AE翻折后得到AGE，GAMBAE，ABAG2，AG分别平分EAD，BAEEAG，BAD90，GAMBAEEAG30，GMAD，AMG90，在RtAGM中，sinGAM，cosGAM，GMAGsin30，AMAGcos303，同理可得HT，CT3，AMGBBAD90，四边形ABNM为矩形，MNAB2，BNAM3，GNMNGM，GNHT，又GNHT，四边形GHTN是平行四边形，GHTNBCBNCT10334，故选：B【点睛】本题
8、考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型7如图，已知圆的内接六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为（）A2B4CD【答案】D【解析】【分析】连接，过作于，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可【详解】解：如图所示，连接，过作于，多边形是正六边形，是等边三角形，该圆的内接正三角形的面积，故选：D【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出是解决问题的关键8如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交
9、点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），ABC=60，则k的值是（）A5B4C3D2【答案】C【解析】分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值详解：四边形ABCD是菱形，BA=BC，ACBD，ABC=60，ABC是等边三角形，点A（1，1），OA=，BO=，直线AC的解析式为y=x，直线BD的解析式为y=-x，OB=，点B的坐标为（，），点B在反比例函数y=的图象上，解得，k=-3，故选C点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答9在RtABC中，C=90，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（）A3BCD【答案】
10、A【解析】根据锐角三角函数的性质，可知cosA=，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=，然后带入数值即可求解.10如图，是一张顶角是的三角形纸片，现将折叠，使点B与点A重合，折痕DE，则DE的长为（ ） A1B2CD【答案】A【解析】【分析】作AHBC于H，根据等腰三角形的性质求出BH，根据翻折变换的性质求出BD，根据正切的定义解答即可【详解】解：作AHBC于H，AB=AC，AHBC，BH=BC=3，BAC=120，AB=AC，B=30，AB=2，由翻折变换的性质可知，DB=DA=，DE=BDtan30=
11、1，故选：A【点睛】此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等11如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），BAO，ABO的平分线相交于点C，过点C作CDx轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A（ ，2）B（ ，1）C（ ，2）D（，1）【答案】A【解析】【分析】延长DC交y轴于F，过C作CGOA于G，CEAB于E，根据角平分线的性质得到FCCGCE，求得DHCGCF，设DH3x，AH4x，根据勾股定理得到AD5x，根据平行线的性质得到DCACAG，求得DCADAC，得到CDHGAD5x，列
12、方程即可得到结论【详解】解：延长DC交y轴于F，过C作CGOA于G，CEAB于E，CDx轴，DFOB，BAO，ABO的平分线相交于点C，FCCGCE，DHCGCF，A（8，0），B（0，6），OA8，OB6，tanOAB，设DH3x，AH4x，AD5x，CDOA，DCACAG，DACGAC，DCADAC，CDHGAD5x，3x+5x+4x8，x，DH2，OH，D（，2），故选：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键12如图所示，中， ，顶点分别在反比例函数与的图象器上，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】
13、【分析】过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，于是得到BDO=ACO=90，根据反比例函数的性质得到SBDO=，SAOC=，根据相似三角形的性质得到=，根据三角函数的定义即可得到结论【详解】解：过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，则BDO=ACO=90，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，SBDO=，SAOC=，AOB=90，BOD+DBO=BOD+AOC=90，DBO=AOC，BDOOCA，tanBAO=.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法13如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱
14、形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（8，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BCCD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时BMN的面积，即可得出本题的答案；【详解】解：当0x2时，如图1：连接BD，AC，交于点O，连接NM，过点C作CPAB垂足
15、为点P，CPB=90，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(0，4)，点D的坐标是(8，4)，BO=4，CO=4，BC=AB=，AC=8，ABC是等边三角形，ABC=60，CP=BCsin60=8=4，BP=4，BN=4x，BM=2x，又NBM=CBP，NBMCBP，NMB=CPB=90，；，即y=，当2x4时，作NEAB，垂足为E，四边形ABCD是菱形，ABCD，NE=CP=4，BM=2x，y=；故选D.【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键.14如图，中，为中点，且，分别平分和，交于点，则的最小值为（ ）A1BCD【答案】D【解析】【分析】根据三角形
16、角平分线的交点是三角形的内心，得到最小时，为三角形内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案【详解】解： ，分别平分和，交于点，为的内心，最小时，为的内切圆的半径， 过作 垂足分别为 四边形为正方形，为的中点， 由切线长定理得： 四边形为正方形， 故选D【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键15一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的
17、正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A(30-50，30)B(30， 30-50)C(30，30)D(30，30)【答案】A【解析】【分析】【详解】解：OA=154=60海里，AOC=60，CAO=30，sin30=，CO=30海里，AC=30海里，BC=（3050）海里，B（3050，30）.故选A【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用16如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y4xx2刻画，斜坡可以用一次函数yx刻画，下列结论错误的是( )A斜坡的坡度为1: 2B小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C小球落地点距O点
18、水平距离为7米D当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断、；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断；求出当时，的值，判定【详解】解：，解得，7=12，A正确；小球落地点距点水平距离为7米，C正确；，则抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小，即小球距点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，当时，整理得，解得，当小球抛出高度达到时，小球水平距点水平距离为或，D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键17如图 ，矩形 ABCD 中，ABA
19、D，AB=a，AN 平分DAB，DMAN 于点 M，CNAN于点 N.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )AaB aCD【答案】C【解析】【分析】根据“AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N”得MDC=NCD=45，cos45= ，所以DM+CN=CDcos45；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出【详解】AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N，ADM=MDC=NCD=45，=CD，在矩形ABCD中，AB=CD=a，DM+CN=acos45=a.故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45=18如图，AB是
20、O的直径，弦CDAB于E点，若AD=CD= 则的长为()ABCD【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到， ，A=30，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD，AB是O的直径，弦CDAB于E点，AD=CD= ， ，A=30，DOE=60，OD=，的长=的长=，故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.19如图，已知O上三点A，B，C，半径OC=1，ABC=30，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）A2B CD【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出AOC=60，再根据AOC的正切即可求出
21、PA的值.【详解】连接OA，ABC=30，AOC=60，PA是圆的切线，PAO=90，tanAOC =,PA= tan601=.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出AOC=60是解答本题的关键.20某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i1：2，BC12米，CD8米，D36，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米（精确到0.1米，参考数据：tan360.73，cos360.81，sin3
22、60.59）A5.6B6.9C11.4D13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案【详解】解:如图,延长DC、AB交于点E，由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i1：2，得BE：CE1：2设BExm，CE2xm在RtBCE中，由勾股定理，得BE2+CE2BC2，即x2+（2x）2（12）2，解得x12，BE12m，CE24m，DEDC+CE8+2432m，由tan360.73，得0.73，解得AB0.733223.36m由线段的和差，得ABAEBE23.361211.3611.4m，故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差
