1、课题：利用法向量求课题：利用法向量求二面角二面角茂名市第十六中学：高二数学理科备课组茂名市第十六中学：高二数学理科备课组主讲人：吕宇云主讲人：吕宇云四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施lABO2、如何如何作作二面角二面角l的的平面角？平面角？温故知新温故知新 从一条直线出发的两个半平面所组成从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做的图形叫做 ，这条直线叫做，这条直线叫做 ，这两个半平面叫做这两个半平面叫做 .二面角二面角二面角的棱二面角的棱二面角的面二面角的面。lAOBOBlOBOAlOA的平面角的就是二面角,1、二面角的定义：、二面角的定义：BSACD与面与面如图，如图，是直角
2、梯形，是直角梯形，,90BADABC,ABCDSA面又ADBCABSA,1所成的二面角的余弦值。,21求面求面SCDSABABCD你能找到所求二面角的棱吗？探究新知探究新知问题：问题：二面角的二面角的平面角平面角与两个半平面的法向量与两个半平面的法向量的夹角的夹角有有没没有有关系？关系？l1n2n 21,nn 探究新知探究新知 21,nn探究新知探究新知 问题：问题：法向量的夹角与二面角的大小法向量的夹角与二面角的大小是是相等相等或或互互补补。再次演示课件再次演示课件探究新知探究新知细心想一想，细心想一想，你将有新发现！你将有新发现！尝试：已知两平面的法向量分别为尝试：已知两平面的法向量分别为
3、m m=（0 0，1 1，0 0），），n n=（0 0，1 1，1 1）,则两平面所成的二面角为则两平面所成的二面角为()()A.45 A.45 B.135 B.135 C.45 C.45或或135135 D.90 D.90 解析解析 即即m m,n n=45=45，其补角为，其补角为135135.两平面所成二面角为两平面所成二面角为4545或或135135.C练一练,22211|,cosnmnmnmBSACD与面与面如图，如图，是直角梯形，是直角梯形，,90BADABC,ABCDSA面又ADBCABSA,1所成的锐二面角的余弦值。,21求面求面SCDSABABCD例题精讲【审题指导【审题指
4、导】本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角的余弦值的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性BSACD解解：xyz则则设设),(zyxn 是面是面SCDSCD的法向量的法向量，,DCn 与面与面如图，如图，ABCDABCD是直角梯形，是直角梯形，,90BADABC,ABCD
5、SA面又ADBCABSA,1所成的二面角的余弦值。,21求面求面SCDSAB,xyzA建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系A),0,0,0(D),0,0,21(C),0,1,1(S),1,0,0(.SDn),1,0,21(SD),0,1,21(DC则则启示启示：求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。)0,0,21(AD是平面是平面SAB的法向量，的法向量，SABAD面|,cosnADnADnADnAD,就是二面角的平面角，就是二面角的平面角，所求锐二面角的余弦值为：所求锐二面角的余弦值为：36BSACDxyz令令z=1解之解之得
6、得12yx021021zxyx)1,1,2(n366211结论结论：利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。设法向量。利用法向量求二面角的平面角的一般步骤利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：建立坐标系建立坐标系找点坐标找点坐标求法向量坐标求法向量坐标求两法向量夹角求两法向量夹角定值定值正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点Q是是BC的
7、中点，求锐二面角的中点，求锐二面角ADQA1的余弦值的余弦值 巩固练习：巩固练习：xyz。ADQAAAnAAnAAn），（AAADQAAADQAAnzyxyxzx），（DQ），（DADQn，DAnzy（xnDQAQAAD，D：3232214112,cos200)1,21,1(1,21,102022021202),)0,2,1(),2,0,2(),0,0,2(),0,0,0(11111111111的平面角的余弦值是二面角平面是锐角观察图形可知二面角的的一个法向量是平面平面令则的一个法向量设平面则角坐标系空间直为原点建立如图所示的以解1.利用法向量求二面角大小的优势：利用法向量求二面角大小的优势：
8、避免了繁难的作、证二面角的过程，将几避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数值计算。何问题转化为数值计算。2.利用法向量求二面角大小的关键：利用法向量求二面角大小的关键：确定相关平面的法向量。确定相关平面的法向量。3.利用法向量求二面角大小的缺点：利用法向量求二面角大小的缺点：计算量相对比较大。计算量相对比较大。课后思考课后思考 （20092009天津理，天津理，1919）如图，在五面体如图，在五面体ABCDEFABCDEF中，中，FAFA 平面平面ABCDABCD，ADADBCBCFEFE，ABAB ADAD，M M为为ECEC的中点，的中点，AFAF=ABAB=BCBC=FEFE
9、=.=.(1)(1)求异面直线求异面直线BFBF与与DEDE所成的角的大小；所成的角的大小；(2)(2)证明：平面证明：平面AMDAMD平面平面CDECDE;(3)(3)求锐二面角求锐二面角A ACDCDE E的余弦值的余弦值.(1)(1)解解 如图所示，建立空间直如图所示，建立空间直 角坐标系，点角坐标系，点A A为坐标原点，设为坐标原点，设 ABAB=1=1，依题意得，依题意得B B(1,0,0),(1,0,0),C C(1,1,0)(1,1,0)，D D(0,2,0),(0,2,0),E E(0,1,1),(0,1,1),F F(0,0,1)(0,0,1)，AD21).21,1,21(M
10、.2122100|,cos),1,1,0(),1,0,1(DEBFDEBFDEBFDEBF于是所以异面直线所以异面直线BFBF与与DEDE所成的角的大小为所成的角的大小为6060.(2)(2)证明证明.,.00),0,2,0(),1,0,1(),21,1,21(ADCEAMCEADCE，AMCEADCEAM因此可得由又又AMAMADAD=A A，故，故CECE平面平面AMDAMD.而而CECE平面平面CDECDE，所以平面，所以平面AMDAMD平面平面CDECDE.(3)(3)解解 设平面设平面CDECDE的法向量为的法向量为u u=（x x,y y,z z)，令令x x=1,=1,可得可得u u=(1,1,1).=(1,1,1).又由题设，平面又由题设，平面ACDACD的一个法向量的一个法向量v v=(0,0,1).=(0,0,1).因为二面角因为二面角A ACDCDE E为锐角，所以其余弦值为为锐角，所以其余弦值为 .0,0.0,0zyzxDECE于是则uu.3313100|,cos,vuvuvu所以.33课后作业：第111页A组：6、8谢谢
