1、4.1.14.1.1圆的标准方程圆的标准方程尤溪二中尤溪二中 朱兴炬朱兴炬 如图已知隧道的截面是半径为如图已知隧道的截面是半径为4 4米的半圆米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.72.7米，高为米，高为3 3米的货车能不能驶入这个隧道？米的货车能不能驶入这个隧道？问题问题:1.1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程写出圆的标准方程;反之，会根据圆的标反之，会根据圆的标方程，求圆心和半径方程，求圆心和半径;2.2.会会判断点和圆的位置关系判断点和圆的位置关系;3.3.学会学会求圆的标准方程求
2、圆的标准方程的两种方法的两种方法;4.4.会利用会利用圆的标准方程解决一些简单的实圆的标准方程解决一些简单的实际问题；际问题；复习引入复习引入问题问题2 2：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？问题问题1 1：在平面直角坐标系中：在平面直角坐标系中,确定直线的基本要素确定直线的基本要素是什么是什么?平面内到平面内到定点定点的距离等于的距离等于定长定长的点的集合。的点的集合。rA定点定点圆心圆心定长定长半径半径圆心圆心和和半径半径P=M|MA|=r M那么那么,确定圆的基本要素是什么确定圆的基本要素是什么?问题问题3：圆心是圆心是A(A(a a,b
3、b),),半径是半径是r r的圆的方程是什么？的圆的方程是什么？xyOA(a,b)M(x,y)P=M|MA|=r 圆上所有点的集合圆上所有点的集合rbyax22)()(x-a)2+(y-b)2=r2三个独立条件三个独立条件a a、b b、r r确定一个圆的方程确定一个圆的方程.设点设点M(x,y)为圆为圆A上任一点上任一点，探究新知探究新知则则|MA|=r|MA|=r。问题问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？合这个方程的坐标的点都在圆上？222)()(rbyax 点点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点在圆上，由前面讨论
4、可知，点M的坐的坐标适合方程；标适合方程；想一想想一想?反之，若点反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，这就说明的坐标适合方程，这就说明点点 M与圆心的距离是与圆心的距离是 r，即点，即点M在圆心为在圆心为 A(a,b)，半径为半径为r的圆上的圆上xyOAM(x,y)222)()(rbyax圆心圆心A(a,b),),半径半径r若圆心为若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：222ryx标准方程标准方程知识点一：圆的标准方程知识点一：圆的标准方程 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：练习练习:(:(口答口答)822)4(161)3(724)
5、2(423)1(22222222yxyxyxyx2,3 r=2(-4,2)7r(0,-1)r=4(0,0)r=2 例例1 1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的方的圆的方程，并判断点程，并判断点 ，是否在这个是否在这个圆上。圆上。)3,2(A)7,5(1M 解：解：圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5的圆的标准方的圆的标准方程是：程是：)3,2(A 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上；)7,5(1M25)3()2(22yx1M1M 把点把点 的坐标代入此方程，
6、左右的坐标代入此方程，左右两边不相等，点两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所的坐标不适合圆的方程，所以点以点 不在这个圆上不在这个圆上25)3()2(22yx)2,4(),1,2(32MM)2,4(),1,2(32MM32,MM32,MM知识探究二：点与圆的位置关系知识探究二：点与圆的位置关系 探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系？系？M MA A|MA|MA|r r点在圆内点在圆上点在圆外(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=
7、r r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2知识点二：点与圆的位置关系知识点二：点与圆的位置关系在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,已知点已知点 与圆与圆 A A：如何判断点如何判断点M M与圆与圆A A的的位位置关系置关系呢？呢？),(00yxM222rbyax点点M M在圆在圆A A内内点点M M在圆在圆A A上上点点M M在圆在圆A A外外待定系数法待定系数法解：设所求圆的方程为：222)()(rbyax因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)abrabrabr 235a
8、br 22(2)(3)25xy 所求圆的方程为例例2 ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程求它的外接圆的方程.例例2 2 方法二方法二圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOMA(5,1)B(7,-,-3)C(2,-,-8)几何法几何法圆心：两条直线的交点圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-,-2):10l xy 弦弦ABAB的垂的垂直平分线直平分线例例3.己知圆心为己知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1,
9、1)和和B(2,-2),且圆且圆心在直线心在直线l:x-y+1=0上上,求圆心为求圆心为C的圆的标准方程的圆的标准方程.lD解：因为A(1,1)和B(2,2)，所以线段AB的中点D的坐标31(,),22直线AB的斜率:2 132 1ABk 因此线段AB的垂直平分线l的方程是113()232yx即x-3y-3=0 xyOCA(1,1)B(2,-2):10l xy Dl解方程组33010 xyxy 得3,2.xy 所以圆心C的坐标是(3,2)圆心为C的圆的半径长22|(13)(12)5rAC所以，圆心为C的圆的标准方程是22(3)(2)25xy几何法几何法例例3 3 己知圆心为己知圆心为C C的圆
10、经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且且圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方的圆的标准方程程.圆经过圆经过A(1,1),B(2,-2)解解:设圆设圆C的方程为的方程为222()(),xaybr圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0上上22222210(1)(1)(2)(2)ababrabr 325abr 22(2)25.Cy圆心为 的圆的标准方程为(x+3)待定系数法待定系数法练习练习:已知已知AOBAOB的顶点坐标分别为的顶点坐标分别为A A（4,04,0）,B,B（0,30,3），），O O
11、（0,00,0），求），求AOBAOB外接圆方程。外接圆方程。解：A（4,0），B（0,3），O（0,0）90,5AOBAB AB为AOB外接圆的直径AOB外接圆的半径2521ABr AOB外接圆的圆心为AB中点)23,2(AOB外接圆的方程为：425)23()2(22yx34XYOBAC223)23,2(解题规律解题规律:根据确定圆的要素根据确定圆的要素,几何性质，以及题设条件几何性质，以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆然后再写出圆的标准方程的标准方程.求圆的标准方程的一般方法：求圆的标准方程的一般方法：待定系数法待定系数法:几何法几何法:根据题
12、设条件根据题设条件,列出方程组列出方程组,解方程组得到所要解方程组得到所要的值的值,从而得出圆的标准方程从而得出圆的标准方程.如图已知隧道的截面是半径为如图已知隧道的截面是半径为4 4米的半圆，米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.72.7米，高为米，高为3 3米的货车能不能驶入这个隧道？米的货车能不能驶入这个隧道？问题问题:解：以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系（如右图）那么半圆的方程为2216(0),xyy将x=2.7代入,得 3。2162.78.71y 即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货
13、车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.ABxy02.7如图已知隧道的截面是半径为如图已知隧道的截面是半径为4 4米的半圆，车辆只能在道路中心线米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为一侧行驶，一辆宽为2.72.7米，高为米，高为3 3米的货车能不能驶入这个隧道？米的货车能不能驶入这个隧道？1.1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程写出圆的标准方程;反之，会根据圆的标反之，会根据圆的标方程，求圆心和半径方程，求圆心和半径;2.2.会会判断点和圆的位置关系判断点和圆的位置关系;3.3.学会学会求圆的标准方程求圆的标准方程的两种方法的两种方法;4.4.会利用会利用圆的标准方程解决一些简单的实圆的标准方程解决一些简单的实际问题；际问题；课本第124页A组 第2,3,4题。课后作业课后作业下课了下课了!
