1、点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系第二章第二章2.1空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系第二章第二章2.1.1平面平面预预 习习 导导 学学课标展示课标展示1知道平面的概念，了解平面的基本性质，会用知道平面的概念，了解平面的基本性质，会用图形与字母表示平面图形与字母表示平面2能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系间的位置关系3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用，并能确定平面的个理，理解三个公理的地位与作用，并能确定平面的个
2、数数温故知新温故知新旧知再现旧知再现1在初中几何中学习的线可以看作是在初中几何中学习的线可以看作是_运动形成的运动形成的轨迹轨迹2在平面几何中，通过实验、观察得到了点和线的基本在平面几何中，通过实验、观察得到了点和线的基本性质是什么？性质是什么？连结两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线连结两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线点点3在平面几何中，两条直线的位置关系有哪几在平面几何中，两条直线的位置关系有哪几种？种？在平面几何中，两直线的位置关系有：相交和平在平面几何中，两直线的位置关系有：相交和平行两种行两种4几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世几何中的点、直线都是抽象的概念
3、，在现实世界中可以说是不存在的画出的点，我们不考虑它们界中可以说是不存在的画出的点，我们不考虑它们的大小，画出的直线也不考虑它们的粗细基于这种的大小，画出的直线也不考虑它们的粗细基于这种抽象的思考，我们才能总结出上述点与直线的性抽象的思考，我们才能总结出上述点与直线的性质大家学完初中几何以后，已经初步体会到了这些质大家学完初中几何以后，已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用抽象概念的意义和作用新知导学新知导学1平面平面延展延展平行四边形平行四边形2虚线虚线记记法法(1)用一个用一个_，等来表示，如上图等来表示，如上图1中的中的平面记为平面平面记为平面(2)用两个大写的用两个大写的_(表示平面
4、的平行四边形的表示平面的平行四边形的对角线的顶点对角线的顶点)来表示，如上图来表示，如上图1中平面记为平面中平面记为平面AC或平面或平面BD(3)用三个大写的英文字母用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不表示平面的平行四边形的不共线的顶点共线的顶点)来表示，如上图来表示，如上图1中的平面记为平面中的平面记为平面ABC或平面或平面_等等(4)用四个大写的英文字母用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形表示平面的平行四边形_)来表示，如上图来表示，如上图1中的平面可记为平面中的平面可记为平面ABCD希腊字母希腊字母英文字母英文字母BCD顶点顶点归纳总结归纳总结习惯上，用平行四边形表示平面
5、；习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面图形表示平面2点、线、面的位置关系的表示点、线、面的位置关系的表示A是点，是点，l，m是直线，是直线，是平面是平面.AlA lAA ll lmAlAl名师点拨名师点拨从集合的角度理解点、线、面之间从集合的角度理解点、线、面之间的关系的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用线的关系是元素与集合的关系，用“”或或“”表表示示(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是平面也可以看成
6、点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用元素与集合的关系，用“”或或“”表示表示(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用集合与集合的关系，故用“”或或“”表示表示3公理公理1两点两点 l名师点拨名师点拨公理公理1的内容反映了直线与平面的位的内容反映了直线与平面的位置关系置关系“线上两点在平面内线上两点在平面内”是公理的条件，结论是是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内线上所有点都在平面内”，从集合的角度看，这个，从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线公理就是说，如果一条直线(点集点集)中有两个点中有两个点(元素
7、元素)属于一个平面属于一个平面(点集点集)，那么这条直线就是这个平面的，那么这条直线就是这个平面的真子集，这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在真子集，这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内平面内；二是直线上的所有点都在平面内4公理公理2不在不在 不共线不共线名师点拨名师点拨(1)公理公理2的条件是的条件是“过不在一条直线过不在一条直线上的三点上的三点”，结论是，结论是“有且只有一个平面有且只有一个平面”(2)公理公理2中中“有且只有一个有且只有一个”的含义要准确理的含义要准确理解，这里的解，这里的“有有”是说图形存在，是说图形存在，“只有一个只有一个”是说
8、是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有有且只有一个且只有一个”必须完整地使用，不能仅用必须完整地使用，不能仅用“只有一只有一个个”来代替，否则就没有表达出存在性确定一个平来代替，否则就没有表达出存在性确定一个平面中的面中的“确定确定”是是“有且只有有且只有”的同义词，也是指存的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现现5公理公理3公共点公共点直线直线Pl名师点拨名师点拨公理公理3反映了两个平面的位置关系，反映了两个平面的位置关系，条件可简记为条件可简记为“两面共一点两面共
9、一点”，结论是，结论是“两面共一两面共一线，且线过点，线唯一线，且线过点，线唯一”公理公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说个公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说明，明，“两个平面两个平面”是指不重合的两个平面是指不重合的两个平面自我检测自我检测1下列命题：下列命题：(1)书桌面是平面；书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比个平面重叠起来要比6个平个平面重叠起来厚；面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是有一个平面的长是50 m，宽是，宽是20 m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽平面是绝对的
10、平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念其中正确命题的个数为象的数学概念其中正确命题的个数为()A1B2C3D4答案答案A解析解析序号序号正误正误理由理由(1)因为平面是无限延展的，故因为平面是无限延展的，故(1)错错(2)平面是无厚度的，故平面是无厚度的，故(2)错错(3)平面是无限延展的，不可度量，故平面是无限延展的，不可度量，故(3)错错(4)平面是平滑、无厚度、无限延展的，故平面是平滑、无厚度、无限延展的，故(4)正确正确2如图所示，平面如图所示，平面ABEF记作平面记作平面，平面，平面ABCD记作平面记作平面，根据图形填写：，根据图形填写：(1)A，B_，E_，C_，D_.(2)_.
11、(3)A，B_，C_，D_，E_，F_.(4)A B _ _ _ _ _ _ _ _ ，A B _ _ _ _ _ _ _ _ ，CD_，CD_，BF_，BF_.答案答案(1)(2)AB(3)(4)3已知直线已知直线m平面平面，P m，Qm，则，则()AP ，Q BP，Q CP ，Q DQ答案答案D解析解析Qm，m，Q.P m，有可能有可能P，也可能有，也可能有P .4三点可确定平面的个数是三点可确定平面的个数是()A0 B1C2 D1或无数个或无数个答案答案D解析解析当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面当这三点不共线时，可确定一
12、个平面5如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A没有其他公共点没有其他公共点 B仅有这一个公共点仅有这一个公共点C仅有两个公共点仅有两个公共点 D有无数个公共点有无数个公共点答案答案D互互 动动 课课 堂堂 关于数学语言关于数学语言(文字语言、符号语言、图形语文字语言、符号语言、图形语言言)的互译问题的互译问题 典例探究典例探究 解析解析(1)符号语言表示：符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示：如图，图形表示：如图1.(2)符号语言表示：平面符号语言表示：平面ABD平面平面BDCBD，平面，平面ABC平面平面ADCAC，图形表示：如图，图形
13、表示：如图2.规律总结：规律总结：学习几何问题，三种语言间的互学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能要注意符号语言的意义，如相转换是一种基本技能要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用点与直线、点与平面间的位置关系只能用“”或或“”，直线与平面间的位置关系只能用，直线与平面间的位置关系只能用“”或或“”由图形语言表示点、线、面的位置关系时，由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别要注意实线和虚线的区别(1)若点若点M在直线在直线a上，上，a在平面在平面内，则内，则 M，a，间 的 关 系 可 记 为间 的 关 系 可 记 为_(2)根据右图，填
14、入相应的符号：根据右图，填入相应的符号：A_平面平面ABC，A_平面平面BCD，BD_平面平面ABC，平面，平面ABC平面平面ACD_.(3)根据下列条件画出图形：平面根据下列条件画出图形：平面平面平面MN，ABC的三个顶点满足条件的三个顶点满足条件AMN，B，B MN，C，C MN.答案答案(1)Ma，a，M(2)AC(3)如图所示如图所示三个公理的理解三个公理的理解解析解析(1)不正确如果点在直线上，这时有无不正确如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理个不同的点，由公理2知，有唯一一个平面知，有
15、唯一一个平面(2)正确经过同一点的两条直线是相交直线，由正确经过同一点的两条直线是相交直线，由公理公理2，有唯一一个平面，有唯一一个平面(3)不正确三条直线可能交于同一点，也可能有不正确三条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如图三个不同交点，如图1(1)、(2)所示前者，由公理所示前者，由公理2得知，可以确定得知，可以确定1个或个或3个平面；后者，由公理个平面；后者，由公理2及公及公理理1知，能确定唯一一个平面知，能确定唯一一个平面(4)不正确四边形中三点可确定一个平面，而第不正确四边形中三点可确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，如图四点不一定在此平面内，如图2.因此，这四条线段不
16、因此，这四条线段不一定在同一平面内一定在同一平面内规律总结：规律总结：公理公理2是确定平面的依据，对涉及是确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件；立体几何研究这方面的应用，务必分清它们的条件；立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系，要有一定的空的对象是空间点、线、面的位置关系，要有一定的空间想象能力对于问题中的点、线，要注意它们可能间想象能力对于问题中的点、线，要注意它们可能存在的不同的位置关系，以及由此产生的不同结果存在的不同的位置关系，以及由此产生的不同结果 若空间中有四个点，则由若空间中有四个点，则由“这四个点中有三点在这四个点中有三点在同一直线上同一直线上”能否得
17、到能否得到“这四个点在同一平面上这四个点在同一平面上”？反之，能否由反之，能否由“这四个点在同一平面上这四个点在同一平面上”得到得到“这四这四点中有三点在同一直线上点中有三点在同一直线上”？若不能，试举出反例？若不能，试举出反例解析解析由由“这四个点中有三点在同一直线上这四个点中有三点在同一直线上”能得到能得到“这四个点在同一平面这四个点在同一平面E”，因为，因为“四个点中四个点中有三点在同一直线上有三点在同一直线上”相当于已知一条直线和直线外相当于已知一条直线和直线外一点，由公理一点，由公理2的推论的推论1知，有且只有一个平面经过这知，有且只有一个平面经过这四点，故四点，故“这四个点在同一平
18、面上这四个点在同一平面上”由由“这四个点在同一平面上这四个点在同一平面上“不能得到不能得到“这四个这四个点中有三点在同一直线上点中有三点在同一直线上”，如平行四边形的四个顶，如平行四边形的四个顶点在同一平面上，但这四个顶点中没有三点在同一直点在同一平面上，但这四个顶点中没有三点在同一直线上线上分析分析 点线共面问题点线共面问题 解析解析已知：已知：ABACA，ABBCB，ACBCC.求证：直线求证：直线AB，BC，AC共面共面证明：方法一：因为证明：方法一：因为ACABA，所以直线，所以直线AB，AC可确定一个平面可确定一个平面.因为因为BAB，CAC，所以，所以B，C，故，故BC.因此直线因
19、此直线AB，BC，AC都在都在平面平面内，所以直线内，所以直线AB，BC，AC共面共面方法二：因为方法二：因为A不在直线不在直线BC上，所以点上，所以点A和直线和直线BC可确定一个平面可确定一个平面.因为因为BBC，所以，所以B.又又A，同理，同理AC，故直线，故直线AB，BC，AC共面共面方法三：因为方法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，三点不在同一条直线上，所以所以A，B，C三点可以确定一个平面三点可以确定一个平面.因为因为A，B，所以，所以AB，同理，同理BC，AC，故直线，故直线AB，BC，AC共面共面规律总结：规律总结：1.利用公理利用公理2及三个推论，可以确及三个推论，可以确
20、定平面及平面的个数，公理中要求定平面及平面的个数，公理中要求“不共线的三不共线的三点点”，推论，推论1要求要求“平面外一点平面外一点”，推论，推论2要求要求“两条两条相交直线相交直线”，推论，推论3要求要求“两条平行线两条平行线”，因此对公，因此对公理、推论的条件和结论必须理解清楚理、推论的条件和结论必须理解清楚2对于证明几个点对于证明几个点(或几条直线或几条直线)共面的问题，在共面的问题，在由其中几个点由其中几个点(或几条直线或几条直线)确定一个平面后，只要再确定一个平面后，只要再证明其他点证明其他点(或直线或直线)也在该平面内即可也在该平面内即可 求证：一条直线和两条平行线都相交，则这三条
21、求证：一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面直线共面解析解析根据公理根据公理2的推论的推论3，两平行直线可确定，两平行直线可确定一平面，而一条直线和两条平行直线都相交，这两交一平面，而一条直线和两条平行直线都相交，这两交点在这两平行直线上，根据公理点在这两平行直线上，根据公理1知过这两交点的直知过这两交点的直线也在这个平面内，所以这三条直线共面线也在这个平面内，所以这三条直线共面点共线与线共点的问题点共线与线共点的问题分析分析由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息：三线三线AB、AC、BC在平面在平面外；外；三线均与面三线均与面相交相交解答本题可先证明解答本题可先证明P、Q、
22、R三点在面三点在面ABC内，又内，又在面在面内，再利用公理内，再利用公理3从而证得三点共线从而证得三点共线证明证明方法一：方法一：ABP，PAB，P平平面面.又又AB平面平面ABC，P平面平面ABC.由公理由公理3可知：可知：点点P在平面在平面ABC与平面与平面的交线上，的交线上，同理可证同理可证Q、R也在平面也在平面ABC与平面与平面的交线上的交线上P、Q、R三点共线三点共线方法二：方法二：APARA，直线直线AP与直线与直线AR确定平面确定平面APR.又又ABP，ACR，平面平面APR平面平面PR.B面面APR，C面面APR，BC面面APR.又又Q面面APR，Q，QPR.P、Q、R三点共线
23、三点共线规律总结：规律总结：证明点线共面的常用方法：证明点线共面的常用方法：(1)归一法：先由部分元素确定一个平面，再证其归一法：先由部分元素确定一个平面，再证其余元素也在这个平面内，其中第一步要应用公理余元素也在这个平面内，其中第一步要应用公理2，第二步要应用公理第二步要应用公理1.(2)重合法：应用公理重合法：应用公理1，先由部分元素分别确定，先由部分元素分别确定平面，然后应用公理平面，然后应用公理2证明这几个平面重合证明这几个平面重合 三个平面三个平面、两两相交，交于三条直线，即两两相交，交于三条直线，即c，a，b，已知直线，已知直线a和和b不平行不平行求证：求证：a、b、c三条直线必过
24、同一点三条直线必过同一点分析分析证三条直线共点时，应先找出其中两条证三条直线共点时，应先找出其中两条直线的交点直线的交点P，而第三条直线是两个平面的交线，而第三条直线是两个平面的交线，P是是这两个平面的公共点，据公理这两个平面的公共点，据公理3得出得出P在第三条直线在第三条直线上上证明证明b，a，a，b，a、b不平行，不平行，a、b必相交，设必相交，设abP，Pa，a，P，同理，同理P，而而c，Pc.a、b、c相交于一点相交于一点P，即即a、b、c三条直线过同一点三条直线过同一点错解错解因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四点可确定四个平面
25、件中的四点可确定四个平面错因分析错因分析忽略了四个点在同一个平面上的可能忽略了四个点在同一个平面上的可能思路分析思路分析空间中任意三点都不共线的四点有空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系：一种是任意不共线的三点所确定的平两种位置关系：一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点，此时，这四个点可确定四个平面点，此时，这四个点可确定四个平面正解正解一个或者是四个一个或者是四个 已知已知A，B，C，D，E五点中，五点中，
26、A，B，C，D共面，共面，B，C，D，E共面，则共面，则A，B，C，D，E五点一定共面五点一定共面吗？吗？错解错解因为因为A，B，C，D共面，所以点共面，所以点A在在B，C，D所确定的平面内，因为所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点共面，所以点E也也在在B，C，D所确定的平面内，所以点所确定的平面内，所以点A，E都在都在B，C，D所确定的平面内，即所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面五点一定共面错因分析错因分析错解忽略了公理错解忽略了公理2中中“不在一条直线上不在一条直线上的三点的三点”这个重要条件，实际上这个重要条件，实际上B，C，D三点还可能共三点还可能共线线正解正解
27、(1)如果如果B，C，D三点不共线，则它们确三点不共线，则它们确定一个平面定一个平面.因为因为A，B，C，D共面，所以点共面，所以点A在平面在平面内，因为内，因为B，C，D，E共面，所以点共面，所以点E在平面在平面内，内，所以点所以点A，E都在平面都在平面内，即内，即A，B，C，D，E五点一五点一定共面定共面(2)如果如果B，C，D三点共线于三点共线于l，若，若A，E都在都在l上，上，则则A，B，C，D，E五点一定共面；五点一定共面；若若A，E中有且只有一个在中有且只有一个在l上，则上，则A，B，C，D，E五点一定共面；五点一定共面；若若A，E都不在都不在l上，则上，则A，B，C，D，E五点可
28、能五点可能不共面不共面规律总结：规律总结：在立体几何中，空间点、线、面在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题对于确定平面问题，在应用公理面地思考问题对于确定平面问题，在应用公理2及及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件 随随 堂堂 测测 评评1下列命题中正确命题的个数是下列命题中正确命题的个数是()三角形是平面图形；三角形是平面图形；四边形是平面图形；四边形是平面图形；四边相等的四边形是平面图形；四边相等的四边形是平面图形；圆是平面图形圆是平面图形A1个个B
29、2个个C3个个 D4个个答案答案B解析解析正确，故选正确，故选B.2如右图所示的平行四边形如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不表示的平面不能记为能记为()A平面平面MNB平面平面NQPC平面平面D平面平面MNPQ答案答案A解析解析MN是平行四边形是平行四边形MNPQ的一条边，不是的一条边，不是对角线，所以不能记作平面对角线，所以不能记作平面MN.3用符号表示用符号表示“点点A在直线在直线l上，上，l在平面在平面外外”，正确的是正确的是()AAl，l BAl，l CAl，l DAl，l 答案答案B4下面是一些命题的叙述语下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，表示点，a表表示直线，示直线，表
30、示平面表示平面)：(1)A，B，AB；(2)A，A，A；(3)A ，a，A a；(4)Aa，a ，A .其中命题和叙述方法都正确的个数是其中命题和叙述方法都正确的个数是()A0 B1C2 D3答案答案B解析解析(3)正确正确(1)错，其中的错，其中的AB应为应为AB.(2)错，其中错，其中，应该交于一条过应该交于一条过A点的直点的直线线(4)错，因为点错，因为点A可能是直线可能是直线a与平面与平面的交点的交点6看图填空：看图填空：(1)ACBD_.(2)平面平面AB1平面平面A1C1_.(3)平面平面A1C1CA平面平面AC_.(4)平面平面A1C1CA平面平面D1B1BD_.(5)平面平面A1C1平面平面AB1平面平面B1C_.(6)A1B1B1BB1C1_.答案答案(1)O(2)A1B1(3)AC(4)OO1(5)B1(6)B1
