1、 5.4 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质知识回顾，问题引入知识回顾，问题引入1.什么是二次函数？什么是二次函数？一般地，若两个变量一般地，若两个变量x，y之间的对应关之间的对应关系可以表示成系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，是常数，a0）的形式，则称）的形式，则称y是是x的二次函数的二次函数.2.在二次函数在二次函数y=x2中，中，y随随x的变化而变化的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？吗？-24-11010124合作学习，探究一合作学习，探究一画二次函数画二次函数y=x2的图象的图象（1）观察）观察y=x2的表达
2、式，选择适当的的表达式，选择适当的x值，并计算相应的值，并计算相应的y值，完成下表：值，完成下表：xy(2)在直角坐标系中描点在直角坐标系中描点（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函）用光滑的曲线连接各点，便得到函数数y=x2的图象的图象y=x2（1）这个函数的图象形状是怎样的？）这个函数的图象形状是怎样的？（2）图象与）图象与x轴的交点坐标是什么？轴的交点坐标是什么？（3）y随随x的变化而怎样变化？的变化而怎样变化？（1）图象是一条抛物线；）图象是一条抛物线；（2）有交点，坐标为（）有交点，坐标为（0,0）；）；（3）当）当x0时，时，y随随x的增大而减小，的增大而减小，当当x0时，时，y随随
3、x的增大而增大；的增大而增大；（4）当）当x=0时，时，y的值最大，的值最大，y最大值最大值=0；（5）是轴对称图形，对称轴是）是轴对称图形，对称轴是y轴轴 （直线（直线x=0），如（），如（1，1）和（）和（-1，1）等）等.（4）x取何值时，取何值时，y的值最小？是多少？的值最小？是多少？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点对称轴是什么？请你找出几对对称点.二次函数二次函数y=x2的图象是的图象是一条一条抛物线抛物线，开口方向：开口方向：向上向上 对称轴：对称轴：y轴轴 顶点顶点：对称轴与抛物：对称轴与抛物线的交点，它是图
4、象的线的交点，它是图象的最低点最低点.坐标为坐标为（0,0）二次函数二次函数y=-=-x2 的图象也是一条抛的图象也是一条抛物线，物线，它与二次函数它与二次函数y=x2的图象关于的图象关于x轴对称轴对称 二次函数二次函数y=-=-x2的图象是什么形状？的图象是什么形状？它与二次函数它与二次函数y=x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？图象图象开口方向开口方向 对称轴对称轴 顶点坐标顶点坐标y=x2y=-x2 向上向上 向下向下y轴轴（0，0）抛抛物物线线增减性：增减性：y=x2:x 0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 x0时时，y随随x的增大而增大的增大而增大 y=-x2:x 0时，
5、时，y随随x的增大而增大的增大而增大 x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小最值：最值：y=x2:x=0时，时，y最小值最小值=0 y=-x2:x=0时，时，y最大值最大值=0 在图在图2-4中画出二次函数中画出二次函数y=3x2的图象，并思考下列问题：的图象，并思考下列问题：（1）图象：）图象：_开口方向：开口方向：_对称轴：对称轴：_顶点坐标：顶点坐标：_（2）它与）它与y=x2的图象的的图象的相同点：相同点：_；不同点：不同点：_.抛物线抛物线向上向上y轴轴（0，0）形状、开口方向、对称轴、顶点坐标形状、开口方向、对称轴、顶点坐标开口大小开口大小相同：相同：形状形状开口方向开口方向
6、对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标不同：不同：开口大小开口大小a越越大，开口大，开口越小越小 在图在图2-4中画出中画出y=x2的图象，它与的图象，它与y=x2，y=3x2的图象有什么相同和不同？的图象有什么相同和不同？13想一想想一想函数函数y=ax2（a0）的图象性质）的图象性质图象：图象：开口方向：开口方向：_,对称轴：对称轴：_顶点坐标：顶点坐标：_.向上向上y轴轴（0，0）增减性：增减性：x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大最值：最值：当当x=0时，时，y取得最小值取得最小值 y最小值最小值=0函数函数y=ax2（a0）的图象性质）的图
7、象性质图象：图象：开口方向：开口方向：_，对称轴：对称轴：_顶点坐标：顶点坐标：_.向下向下y轴轴（0,0）增减性：增减性：x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大 x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小最值：最值：当当x=0时，时，y取得最大值取得最大值 y最大值最大值=01.二次函数二次函数y=-=-x2中，当中，当y=-=-16时，时，x=_.2.已知函数已知函数y=ax2的图象过点（的图象过点（3，9），和），和（2，t）（1）求）求a和和t的值；的值；（2）试判断这个函数的图象是否）试判断这个函数的图象是否 过点（过点（-3，9）.过点（过点（-3,9）a=1,t=44能力
8、小测试：能力小测试：画出二次函数画出二次函数y=2x2+1的图象的图象y=2x2+1y=2x2合作学习，探究二合作学习，探究二y=2x2+1的图象：的图象：由由y=2x2的图象向上平的图象向上平移移1个单位得到个单位得到开口方向：向上开口方向：向上对称轴：对称轴：y轴轴顶点坐标：（顶点坐标：（0，1）二次函数二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数数y=2x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？y=2x2y=2x2+1y=2x2-1的图象：的图象：由由y=2x2的图象向下平移的图象向下平移1个单位得
9、到个单位得到开口方向：向上开口方向：向上对称轴：对称轴：y轴轴顶点坐标：（顶点坐标：（0,-,-1）二次函数二次函数y=2x2-1的图象的开口方向、的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数数y=2x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？y=2x2y=2x2-1函数函数y=ax2+c（a0）的图象性质）的图象性质平移：平移：由由y=ax2向上或向下向上或向下平移平移c个单位得到个单位得到开口方向：开口方向：对称轴：对称轴：顶点坐标：顶点坐标：向上向上y轴轴（0，c）增减性：增减性：x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 x0时，时，y
10、随随x的增大而增大的增大而增大最值：最值：当当x=0时，时，y取得最小值取得最小值 y最小值最小值=c函数函数y=ax2+c（a0）的性质）的性质平移：平移：由由y=ax2向上或向下向上或向下平移平移c个单位得到个单位得到开口方向：开口方向：对称轴：对称轴：顶点坐标：顶点坐标：向下向下y轴轴（0，c）增减性：增减性：x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大 x0时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小最值：最值：当当x=0时，时，y取得最大值取得最大值 y最大值最大值=c1.二次函数二次函数y=3x2-的图象与二次函数的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系？它是轴对的图象有什么关系？
11、它是轴对 称图形吗？它的开口方向、对称轴、称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？画图看一看顶点坐标分别是什么？画图看一看.2.二次函数二次函数y=-=-2x2-的图象与二次函的图象与二次函 数数y=-=-2x2+的图象有什么关系的图象有什么关系?121212随堂练习随堂练习y=3x2 y=3x2-1.y=3x2-的图象：的图象：由由y=3x2的图象向下平移的图象向下平移 个单位得到个单位得到开口方向：向上开口方向：向上对称轴：对称轴：y轴轴顶点坐标：（顶点坐标：（0，-）121212122.y=-=-2x2-的图象：的图象：由由y=-=-2x2+的图象向下平移的图象向下平移1个个
12、 单位得到单位得到y=-=-2x2+y=-=-2x2-1212121232032501818882021882281832 对于同一个对于同一个y值，这两个函数对应值，这两个函数对应的的x值相差值相差1（在对称轴同侧）（在对称轴同侧）合作学习，探究三合作学习，探究三画出二次函数画出二次函数y=2(x-1)2的图象的图象（1）完成下表：）完成下表：观察上表，你能发现观察上表，你能发现2(x-1)2与与2x2的值有的值有什么关系？什么关系？x-4-3-2-1012342x2 2(x-1)2（2）画函数出）画函数出y=2(x-1)-1)2的图象的图象y=2x2y=2(x-1)2y=2(x-1)2的图
13、象：由的图象：由y=2x2的图象向右平移的图象向右平移1 1个个单位得到；开口方向：向上；单位得到；开口方向：向上；对称轴：直线对称轴：直线x=1；顶点坐标：（；顶点坐标：（1,0）；）；x1时，时，y随随x的增大而减小，的增大而减小，x 1时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大.二次函数二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当称轴、顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，取哪些值时，y的值随的值随x值的增大而增大？当值的增大而增大？当x取哪些值时，取哪些值时，y的值随的值
14、随x值的增大而减小？值的增大而减小？y=2(x+1)2的图象：由的图象：由y=2x2的图象向左的图象向左平移平移1个单位得到个单位得到.类似地，你能发现二次函数类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)2的图的图象与二次函数象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？的图象有什么关系吗？y=2(x+1)2y=2x2对于二次函数对于二次函数y=-=-3(x+2)2：（1）它的图象与二次函数）它的图象与二次函数y=-=-3x2的的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？别是什么？（2）当）当x取哪些值
15、时，取哪些值时，y的随的随x值的增值的增大而增大？当大而增大？当x取哪些值时，取哪些值时，y的值随的值随x值的增大而减小？值的增大而减小？随堂练习：随堂练习：（1）y=-=-3(x+2)2的图象：由的图象：由y=-=-3x2的图象的图象向左平移向左平移2个单位得到；个单位得到；它是轴对称图形；它是轴对称图形；开口方向：向下；开口方向：向下；对称轴：直线对称轴：直线x=-2；顶点坐标：（顶点坐标：（0,-,-2）.(2)x-2时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大，x-2时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小.由二次函数由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函的图象，你能得到二次函数数y
16、=2x2-，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2-的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流流.1212y=2x2y=2x2-12y=2(x+3)2-12y=2(x+3)2 y=2x2-的图象：由的图象：由y=2x2的图象向下平的图象向下平移移 个单位得到个单位得到.y=2(x+3)2的图象：由的图象：由y=2x2的图象向左平的图象向左平移移3个单位得到个单位得到.y=2(x+3)2-的图象：由的图象：由y=2x2的图象的图象向左平移向左平移3个单位，再向下平移个单位，再向下平移 个单位得个单位得到（也可由到（也可由y=2x2的图象向下平移的图象向下平移
17、个单位，个单位，再向左平移再向左平移3个单位得到）个单位得到）.1212121212形状、开口大小、开口方向相同，只是位置不同形状、开口大小、开口方向相同，只是位置不同.抛物线抛物线y=a(x-h)2+k可由抛物线可由抛物线y=ax2沿沿x轴方向轴方向平移平移h个单位（个单位（h0时，向右平移，时，向右平移，h0时，时，向左平移），再沿向左平移），再沿y轴方向平移轴方向平移k个单位（个单位（k0时，向上平移，时，向上平移，k0时，向下平移）得到时，向下平移）得到.二次函数二次函数y=a(x-h)2+k与与y=ax2的图象有的图象有什么关系？什么关系？二次函数二次函数y=a(x-h)2+k的图象
18、是一条抛物线的图象是一条抛物线.开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y=a(x-h)2+k 向上向上（a0）向下向下（a0）y轴轴（h，k）增减性：增减性：a0时，时，xh，y随随x的增大而减小的增大而减小 xh，y随随x的增大而增大的增大而增大 a0时，时，xh，y随随x的增大而增大的增大而增大 xh，y随随x的增大而减小的增大而减小最值：最值：a0时，时，x=h，y最小值最小值=k a0时，时，x=h，y最大值最大值=k例题讲解例题讲解例例1 试讨论二次函数试讨论二次函数 的性质的性质.()yx25322解：由表达式可知，它有以下性质：解：由表达式可知，它有以下性质：（1）图象是抛
19、物线，开口向下；）图象是抛物线，开口向下；（2）对称轴为直线）对称轴为直线x=-3；（3）顶点是图象的最高点，坐标为（）顶点是图象的最高点，坐标为（-3，-2）；）；（4）当）当x-3时，函数随时，函数随x的增大而减小的增大而减小.随堂练习：随堂练习：1.已知函数已知函数y=-=-3(x-2)2+4，当，当x=_时，函时，函数取最大值为数取最大值为_.2.已知抛物线已知抛物线y=-(=-(x+1)2-3，当，当x_时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小.3.怎样平移抛物线怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？24-1 由抛物线由抛物线y=3x2先向上
20、平移先向上平移2个单位，个单位，再向右平移再向右平移3个单位或先向右平移个单位或先向右平移3个单位，个单位，再向上平移再向上平移2个单位得到个单位得到.学习了二次函数学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图的图象和性质之后，现在你能研究二次函象和性质之后，现在你能研究二次函数数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？的图象和性质吗？化成化成y=a(x-h)2+k的形式！的形式！合作学习，探究四合作学习，探究四求二次函数求二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴和顶的图象的对称轴和顶点坐标点坐标.解解 y=2x2-8x+7 =2(x2-4x)+)+7 =2(x2-4x+4)-)-8+7 =2(x-
21、2)2-1二次函数二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴的图象的对称轴是直线是直线x=2,顶点坐标为（顶点坐标为（2，-1）.解解 （1）y=3x2-6x+7 =3(x-1)2+4 对称轴：对称轴：直线直线x=1 顶点坐标：顶点坐标：（1，4）（2）y=2x2-12x+8 =2(x-3)2-10 对称轴：对称轴：直线直线x=3 顶点坐标：顶点坐标：（3，-10）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：（1）y=3x2-6x+7；（；（2）y=2x2-12x+8.二次函数二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直图象的对称轴是直线线x=-=-,顶点坐标为
22、（顶点坐标为（-，）.解解 y=ax2+bx+c =a(x2+x)+)+c =a x2+2 x+(+()2-(-()2+c =a(x+)2+求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c图象的图象的 对称轴和顶点坐标对称轴和顶点坐标ba2ba2ba2ba2ba2ba2ba244acba-244acba-二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条的图象是一条抛物线抛物线.开口开口方向方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y=ax2+bx+c 向上向上（a0）向下向下（a0）直线直线x=-=-（-，）2ba2ba244acba 增减性：增减性：a0时，时，x-，y随随x的增大而减小的增大而减小 x-，y
23、随随x的增大而增大的增大而增大 a0时，时，x-，y随随x的增大而增大的增大而增大 x-，y随随x的增大而减小的增大而减小最值：最值：a0时，时，x=-=-，y最小值最小值=a0时，时，x=-=-，y最大值最大值=2ba2ba2ba2ba2ba2ba244acba-244acba-解（解（1）y=2x2-12x+3 =2(x-3)2-15 对称轴：直线对称轴：直线x=3 顶点坐标：（顶点坐标：（3，-15）（2）y=-=-5x2+80 x-319 =-=-5(x-8)2+1 对称轴：直线对称轴：直线x=8 顶点坐标：（顶点坐标：（8，1）随堂练习：随堂练习：（1）y=2x2-12x+3；（；（2）y=-=-5x2+80 x-319；（3）y=2(x-)()(x-2)；（4）y=3(2x+1)()(2-x).).12（3）y=2(x-)()(x-2)=2(x-)2-对称轴：对称轴：直线直线x=顶点坐标：顶点坐标：（4）y=3(2x+1)()(2-x)=-=-6(x-)2+对称轴：对称轴：直线直线 x=顶点坐标：顶点坐标：545948,-()()343 7548(,)(,)12549834758回顾本课学习了哪些知识？回顾本课学习了哪些知识？课堂小结课堂小结
