1、垂垂 径径 定定 理理 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等所对的弧相等，所对的弦相等.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别那么它们所对应的其余各组量都分别相等相等.定理回顾定理回顾如图，完成下列各题：如图，完成下列各题：应用一下应用一下:（1）AOB ,AB .AB A BA OB A B（2）AB ABAOB ，A OBAB A B（3）AOB AB ，.A B AB A BA OB 1.在纸上任意画一个在纸上任意画一
2、个O，以，以O的一条直径为轴，把的一条直径为轴，把O对折对折 (如图如图)，你发现了什么？，你发现了什么？圆是轴对称图圆是轴对称图形，对称轴是任意形，对称轴是任意一条过圆心的直线一条过圆心的直线（直径）（直径）.导入新课导入新课 2.在对折在对折O后，用针在半圆上刺一个小后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点孔，得两个重合的点 A、B(如图如图).).把对折把对折的圆摊平，那么折痕的圆摊平，那么折痕 CD 是直径，点是直径，点 A、B 是是关于直线关于直线 CD 的一对对称点的一对对称点.连接连接 AB，得弦，得弦 AB(如图如图)，这时直径，这时直径 CD 与弦与弦 AB有怎样的有怎样的
3、位置关系？位置关系？CDABAMBM还有哪些等量关系？还有哪些等量关系？垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.该定理的题设是：该定理的题设是：垂直于弦的直径垂直于弦的直径该定理的结论是：该定理的结论是：平分这条弦，并且平分这条弦，并且平分弦所对的弧平分弦所对的弧垂径定理垂径定理几何语言叙述定理：几何语言叙述定理：CD为为O的直径，且的直径，且CDAB，AMBM，.ACBCADBD 求证：求证：垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.已知，如图，已知，如图，AB是是O的一条弦，的一条弦，CD 是
4、是O的一条直径，并且的一条直径，并且CDAB，垂足为，垂足为M，求证：求证：AMBM，.ACBCADBDCDAB，AM BM，AOC BOC，AOD 180 AOC，BOD 180 BOC，AOD BOD .ADBDACBC证明：连接证明：连接OA，OB，则则OA OB，如图，如图，AB是是 O的弦的弦(不是直径不是直径)，作一条平分作一条平分AB的直径的直径CD，交，交AB于点于点M.（1）上图是轴对称图形）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什吗？如果是，其对称轴是什么？么？（2）你能发现图中有哪）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理些等量关系？说一说你的理由。由。想一想：想一想：求
5、证：求证：平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦，的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.已知，如图，已知，如图，AB是是O的一条弦，的一条弦，CD是是O的一条直径，的一条直径，CD交交AB于点于点M，且，且AM=BM，求证：求证：CDAB，.ACBCADBD AM BM，CDAB，AOC BOC，AOD 180AOC，BOD 180 BOC，AOD BOD .ACBCADBD证明：连接证明：连接OA，OB，则则OA OB，平分弦（不是直径）的直径垂平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理几何语言叙述
6、定理：几何语言叙述定理：AMBM，CD为为O的直径，的直径，CDAB，.ACBCADBD你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理 只要具备其只要具备其中两个条件中两个条件,就就可推出其余三个可推出其余三个结论结论.例题讲解例题讲解 如图，一如图，一 条公路的转弯处是一段弧条公路的转弯处是一段弧（即（即图中图中 ，点，点O是是 所在圆的圆心）所在圆的圆心）.其中其中CD 600m，E为为 上一点，且上一点，且OECD，垂，垂足足为为F，EF 90m.求这求这段弯路的半径段弯路的半径.CDCDCD则：则：OF （R90）m，OECD，CF CD 600 300
7、（m），），在在RtOCF中，由勾股定理得：中，由勾股定理得：OC2 CF2OF2，R2 3002（R90）2解得：解得：R 545，这段弯路的半径为这段弯路的半径为545m.1212解：连接解：连接OC，设弯路的半径为设弯路的半径为Rm，1.1400年前，我国隋朝建造的赵州年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高，拱高（即弧的中点到弦的距离）为（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求，求桥拱所在圆的半径（结果精确到桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）.练一练练一练解：过拱桥所在圆的圆心解：
8、过拱桥所在圆的圆心O作作AB的垂线，的垂线，交交 于点于点C，交，交AB于点于点D，则，则CD=7.2m，AB由垂径定理，得：由垂径定理，得：AD AB 37.4 18.7（m）设设 O的半径为的半径为Rm，在，在RtAOD中：中：AO R，OD R7.2，AD 18.7由勾股定理，得：由勾股定理，得：AO2 OD2AD2，R2(R7.2)218.72 解得：解得：R27.9故桥拱所在圆的半径约为故桥拱所在圆的半径约为27.9m.1212 2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？条弦所夹的弧相等吗？为什么？提示提示:这两条弦在圆中位置有两
9、种情况。这两条弦在圆中位置有两种情况。（1）两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧（2）两条弦在圆心的两侧）两条弦在圆心的两侧1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧证明：连接证明：连接OA、OB、OC、OD，作直径作直径MNAB，则，则MNCD，由垂径定理，得：由垂径定理，得：，,AON BON，CON DONAONCON BON DON即即 AOC BOD ANBNCNDNACBD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧证明：连接证明：连接OA、OB、OC、OD，作直径作直径MNAB，则，则MNCD，由垂径定理，得：由垂径定理，得：，,AOMBOM，CONDONAOMAOC CON180 BOM BOD DON180 AOCBOD AMBMCNDNACBD小小 结结课本第课本第1617页：页：作业：习题作业：习题5.3布置作业布置作业
