1、12.3 角的平分线的性质（角的平分线的性质（1）第十二章第十二章 全等三角形全等三角形1课堂讲解课堂讲解u角的平分线的画法角的平分线的画法 u角的平分线的性质角的平分线的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角的角.你有什么办法？你有什么办法？AOBC再打开纸片再打开纸片，看看折痕与这，看看折痕与这个角有何关系？个角有何关系？对折对折1知识点知识点角的平分线的画法角的平分线的画法知知1 1导导 下图是一个平分角的仪器，其中下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，
2、BC=DC.将点将点A放在角的顶点，放在角的顶点，AB和和AD 沿着角的两边放下，沿着角的两边放下，沿沿AC画一条射线画一条射线AE，AE就就 是这个角的平分线是这个角的平分线,你能说明你能说明它的道理吗？它的道理吗？ABDCE知知1 1讲讲证明：证明：在在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角（全等三角 形的对应角相等）形的对应角相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE作已知角的平分线的方法作已知角的平分线的方法.已知：已知：AOB.求作：求作：AO
3、B的平分线的平分线.作法：（作法：（1)以点以点O为圆心，适当长为半径画弧，为圆心，适当长为半径画弧，交交OA于点于点M，交，交OB于点于点N.(2)分别以点分别以点M，N为圆心，大于为圆心，大于 MN的长的长 为半径画弧，两弧在为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点的内部相交于点C.(3)画射线画射线OC.射线射线OC即为所求（如图即为所求（如图).知知1 1讲讲121作作AOB的平分线时，以的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径为圆心，某一长度为半径作弧，与作弧，与OA，OB分别相交于分别相交于C，D，然后分别以，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一为圆心，适当的长
4、度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为点，则这个适当的长度为()A大于大于 CD B等于等于 CD C小于小于 CD D以上答案都不对以上答案都不对知知1 1练练121212 A2如图所示，已知如图所示，已知AOB，求作：，求作：AOM AOB.知知1 1练练14导引导引)：要作射线要作射线OM，使，使AOM AOB，其实质是作，其实质是作 AOB的平分线的平分线作法：作法：(1)以点以点O为圆心，适当长为半径画弧，交为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点于点E，交交OB于点于点F；(2)分别以点分别以点E，F为圆心，大于为圆心，大于 EF的长为半径画弧，的长为半径画弧，两弧在两弧在
5、AOB的内部交于点的内部交于点C；(3)画射线画射线OC；(4)同理，作同理，作AOC的平分线的平分线OM.AOM即为所求即为所求 (如上图所示如上图所示)知知1 1练练（来自点拨）（来自点拨）1212142知识点知识点角的平分线的性质角的平分线的性质知知2 2导导 如图，任意作一个角如图，任意作一个角AOB，作出，作出 AOB的平分的平分线线OC.在在OC上任取一点上任取一点P，过点，过点P 画出画出OA，OB的垂的垂线，分别记垂足为线，分别记垂足为D，E，测量，测量 PD，PE并作比较，你并作比较，你得到什么结论？在得到什么结论？在OC上再取上再取几个点试一试几个点试一试.通过以上测量，你
6、发现了通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？角的平分线的什么性质？ABOPCDE1.性质性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等：角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.书写格式：书写格式：如图，如图，OP平分平分AOB，PD OA于点于点D，PEOB于点于点E,PDPE.知知2 2讲讲知知2 2讲讲BADOPEC定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：(1)角的平分线；角的平分线；(2)点在该平分线上；点在该平分线上；(3)垂直距离垂直距离.定理的作用：定理的作用：证明线段相等证明线段相等.如图如图,AOC=BOC，点，点 P 在在OC 上，上，PDOA,PEQB，垂足分别为，垂
7、足分别为D，E.求证求证PD=PE.证明：证明：PDOA,PEOB,PDO=PEO=90.在在PDO和和PEO中，中，PDO=PEO,AOC=BOC,OP=OP,PDO PEO(AAS).PD=PE.知知2 2讲讲 知知2 2讲讲 例例1 如图，在如图，在ABC中，中，C90，AD平分平分 CAB，DEAB于于E，F在在AC上，上，BEFC，求证：求证：BDDF.导引：导引：要证要证BDDF，可考虑证两线段所在的，可考虑证两线段所在的 BDE和和FDC全等，两个三角形中已有一全等，两个三角形中已有一 角和一边相等，只要再证角和一边相等，只要再证DECD即可，这即可，这 可由可由AD平分平分CA
8、B及垂直条件证得及垂直条件证得在在BDE和和FDC中，中，DE=CD ,DEB=C,BE=FC,BDE FDC,BD=DF.证明：证明：AD平分平分CAB，DEAB于于E，C90，DEDC.知知2 2讲讲总总 结结知知2 2讲讲 由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法相等，这是证线段相等的一个简捷方法1如图，在直线如图，在直线MN上求作一点上求作一点P，使点，使点P到射线到射线OA 和和OB 的距离相等的距离相等.知知2 2练练解：解：如图，过如图，过O作作AOB的平分线，与直线的平分线，与直线MN交于点交于点P，点点
9、P即为所求作的点即为所求作的点知知2 2练练知知2 2练练2 如图，在如图，在ABC中，中，C90，ACBC，AD 平分平分CAB交交BC于于D，DEAB于于E，若，若AB 6 cm，则，则DBE的周长是的周长是()A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm A3如图，已知在如图，已知在ABC中，中，CD是是AB边上的高线，边上的高线，BE平分平分ABC，交，交CD于点于点E，BC50，DE14，则则BCE的面积等于的面积等于_知知2 2练练350(1)本节课学习了哪些主要内容？本节课学习了哪些主要内容？(2)本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？(3)角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？在应用这一性质时要注意哪些问题？在应用这一性质时要注意哪些问题？
