1、一、多元函数的极限一、多元函数的极限二、多元函数的连续性二、多元函数的连续性定 义定 义 1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的是其聚点，如果对于任意给定的正数正数，总存在正数，总存在正数，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有|),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx),(lim00 （或（或)0(),(Ayxf这里这里|0PP
2、）.一、多元函数的极限一、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 ,当当 时，时，22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解2220
3、0)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 播放播放（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋
4、向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总 存 在 正 数总 存 在 正 数，使 得 对 于 适 合 不 等 式，使 得 对 于 适 合 不 等
5、式|00PP的 一 切 点的 一 切 点DP ，都 有，都 有|)(|APf成立，则称成立，则称 A A 为为n元函数元函数)(Pf当当0PP 时的极限，记为时的极限，记为 APfPP)(lim0.n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续.设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断
6、点点.二、多元函数的连续性二、多元函数的连续性定义定义3 3例例5 5 讨论函数讨论函数 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0,0(),(fyxf)cos(sin33 2 2)0,0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx,0 ,2 当当 时时 220yx例例6 6 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220l
7、imxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2
8、）介值定理）介值定理（3）一致连续性定理）一致连续性定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数必定上的多元连续函数必定在在D D上一致连续上一致连续多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)
9、11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）小结小结多元函数的定义多元函数的定义 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，
10、函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0,0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41一、一、填空题填空题:1 1、若若yxxyyxyxftan),(22 ,则则),(tytxf=_.2 2、若若xyyxyxf2),(22 ,则则 )3,2(f_;),1(xyf_.3 3、若
11、若)0()(22 yyyxxyf,则则)(xf_.4 4、若若22),(yxxyyxf ,则则),(yxf_.函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_.练练 习习 题题 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_.7 7、函数、函数xyzarcsin 的定义域是的定义域是_.8 8、函数、函数xyxyz2222 的间断点是的间断点是_.二二、求求下下列列各各极极限限:1 1、xyxyyx42lim00 ；2 2、xxyyxsinlim00；3 3、22222200)()cos(1limyxyxyxyx .三、三、证明：证明：0lim2200 yxxyyx.四、四、证明
12、极限证明极限yxxyyx 11lim00不存在不存在.一、一、1 1、),(2yxft；2 2、1213,),(yxf；3 3、xx21；4 4、yyx 112；5 5、xyyxyx4,10),(222 ；6 6、yxyxyx 2,0,0),(；7 7、xyxxyx ,0),(xyxxyx ,0),(；8 8、02),(2 xyyx.二、二、1 1、41；2 2、0 0；3 3、.练习题答案练习题答案不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,2
13、63图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 不存在不存在.
