1、节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念与性质与性质二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分章一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,ABLxy求移cosABFW“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(,),(),(yxQyxPyxF机动 目录 上
2、页 下页 返回 结束 1kMkMABxy1)“大化小”.2)“常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替,),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)“近似和”4)“取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.定义定义.
3、设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,),(yxPL 称为积分弧段 或 积分曲线.称为被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限),(,),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积
4、分;称为对 y 的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(,),(,),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2)用L 表示 L 的反向弧,则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二
5、类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(,),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),()(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,证明证明:下面先证下面先证LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在,且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应参数设分点根据定义ix,it),(ii点,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttP
6、d )(),(niiiP10)(,)(limiit)(niiiP10)(,)(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim对应参数连续所以)(t因为L 为光滑弧,同理可证LyyxQd),(tttQd )(),()(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别是,如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧:类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(,)(),(tttQ)(,)(),(tttRtd)(,)(),(tttP,:)()()(ttztyt
7、x定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取取 x 为参数为参数,则则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取取 y 为参数为参数,则则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段.)1,1()1,1(BA到)1,1(B)1,1(Aoyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算计算其中 L 为,:,0aaxyyBAoaax(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时
8、针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取取L的参数方程为的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2)取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo例例3.计算计算,dd22yxxyxL其中L为(1)抛物线 ;10:,:2xxyL(2)抛物线 ;10:,:2yyxL(3)有向折线.:ABOAL解解:(1)原式原式22xxxx d4103(2)原式yyy222yy d5104(3)原式yxxyxOAdd22102d)0
9、02(xxx1)0,1(A)1,1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设在力场设在力场作用下,质点由沿移动到),2,0,(kRB)0,0,(RA.)2(AB解解:(1)zzyxxydddttkR2022d)(2)的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx试求力场对质点所作的功.;,sin,cos)1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中为),(zxyFsFWdsFWd机动 目录 上页 下页 返回 结束 ozyx例例5.求求,d)(d)(
10、d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取取 的参数方程的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd)sin)(cossin(costt d)cos41(220)sin)(cos2(tt 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(,)(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQ
11、sxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd,),(RQPA)d,d,(ddzyxs)cos,cos,(cost sA d sA dstAd记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为 例例6.设设,max22QPM曲线段 L 的长度为s,证明),(,),(yxQyxP续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdco
12、scos设sMsQPLdcoscos说明说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连)cos,(cos,),(tQPAstALdsALdcos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.7.将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0,2()0,0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xxsyddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义kk
13、kknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.计算,)()(:tytxL:tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),()(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad )(,)(
14、,)(xLyyxQxyxPd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(,)(),(tttP)(t)(t)(t4.两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(,)(),(tttQ)(,)(),(tttRtd 对空间有向光滑弧:机动 目录 上页 下页 返回 结束 F原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax沿逆时针移动到,),0(bB),(y
15、xMxyo)0,(aA),0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解见 P139 例5),),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.),(yxkFF),(xyk思考思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束)0,0,1(A)0,1,0(B)1,0,0(Coxyz2.已知已知为折线 ABCOA(如图),计算zyyxIddd提示提示:I001d)1(yy10dx2)211(12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd机动 目录 上页 下页 返
16、回 结束 作业作业 P141 3 (2),(4),(6),(7);4;5;7;8第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.解解:zxoyABzk222zyxkzjyi xzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz)10:(t101d3ttk2ln3k)1,2,2(A线移动到,)2,4,4(B向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直sFWLdF)(0r)1,2,2(ABr求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设曲线设曲线C为曲面为曲面2222azyx与曲面axyx22,)0,0(的交线az从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分.ddd222zxyzxyC解解:(1)22222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)原式=ta38sin3tttadcos)cos1(2283令tu20uuuaacoscossin2223833uuuadsin)cos1(2283利用“偶倍奇零”0232auuudcos2cos134attacossin2223机动 目录 上页 下页 返回 结束
