1、第一章 多项式 一元多项式理论，主要讨论了三个问题：一元多项式理论，主要讨论了三个问题：三、根的理论三、根的理论(多项式函数多项式函数,根的个数根的个数)。一、整除性理论一、整除性理论(整除整除,最大公因式最大公因式,互素互素)；二、因式分解理论二、因式分解理论(不可约多项式不可约多项式,典型分典型分 解式解式,重因式重因式)；其中整除性是基础，因式分解是核心。其中整除性是基础，因式分解是核心。一、基本概念一、基本概念.(3)(3)多项式乘积的常数项多项式乘积的常数项(最高次项系数最高次项系数)等于因子的常数等于因子的常数项项(最高次项系数最高次项系数)的乘积。的乘积。2 2基本结论基本结论:
2、(1)(1)多项式的加法多项式的加法,减法和乘法满足一些运减法和乘法满足一些运 算规律算规律.1.1.一元多项式一元多项式(零多项式零多项式),),多项式的次数。多项多项式的次数。多项 式的相等，多项式的运算，一元多项式环。式的相等，多项式的运算，一元多项式环。()()max(),(),()()()().fxg xfxg xfx g xfxg x (2)(2)二、整除性理论二、整除性理论g(x)除除f(x)的余式的余式r(x)=0。(),()()0,()|()f xg xP xg xg xf x ，(2)设设1.整除的概念及其基本性质整除的概念及其基本性质.2.带余除法带余除法.(1)带余除法
3、定理带余除法定理.()()()()fxq x g xr x 多项式的整除性不因数域的扩大而改变多项式的整除性不因数域的扩大而改变.1).1).任一多项式整除它自身；任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式零次多项式整除任一多项式整除的性质整除的性质.2)2)若若 ，则，则()|(),(0).afxbg xa bP a ()|()fxg x3)3)若若()|()()|(),g xfxfxg x，则则()()0.fxcg xc ，4)4)若若 ()|()()|()()|fxg xg xh xfxh x，5)5)若若()|()1,2,if
4、xgxi=r，则对则对(),1,2,iuxP xi=r 有有 1122()|()()()()()rrfxuxgxux gxux gx 3.综合除法综合除法 去除去除 求一次多项式求一次多项式 xa fx的商式及余式的商式及余式 把把 fx表成表成 xa 的方幂和的方幂和.)()()()()(xdxvxgxuxf(4).(),()1(),():()()()()1f xg xu xv xf x u xg x v x 4.4.最大公因式和互素最大公因式和互素.(3)设设d(x)是是f(x)与与g(x)的最大公因式的最大公因式,则则(1)最大公因式最大公因式,互素的概念互素的概念.(2)最大公因式的存
5、在性和求法最大公因式的存在性和求法-辗转相除法辗转相除法.反之不然反之不然.()()()()fxq x g xr x (f(x),g(x)=(g(x),r(x)(5).()|()(),(),()1()|().fxg x h xfxg xfxh x()|(),()|(),(),()1()()|()f xh xg xh xf xg xf x g xh x(6)多个多项式的互素多个多项式的互素.(7)最小公倍式最小公倍式.).(|)()(|)()()(|)(,1)(),(),(|)()(xgxporxfxpxgxfxpxfxporxfxpxFxf(2).(2).不可约多项式不可约多项式p(x)有下列
6、性质有下列性质:(3).(3).整系数多项式在有理数域上可约整系数多项式在有理数域上可约 它在整数环上可约它在整数环上可约.(4).(4).艾森斯坦判断法艾森斯坦判断法.三、三、因式分解理论因式分解理论1.1.不可约多项式不可约多项式(1).(1).不可约多项式的概念不可约多项式的概念.2.因式分解的有关结果因式分解的有关结果:(1)因式分解及唯一性定理因式分解及唯一性定理.(2)次数大于零的复系数多项式都可以分解次数大于零的复系数多项式都可以分解 成一次因式的乘积成一次因式的乘积.(3)次数大于零的实系数多项式都可以分解次数大于零的实系数多项式都可以分解 成一次因式和二次不可约因式的乘积成一
7、次因式和二次不可约因式的乘积.)(),()(xfxfxf(2).若不可约多项式若不可约多项式p(x)是是f(x)的的k重因式重因式 (k1)。则。则p(x)是是f(x)的的k-1重因式。重因式。1)(),(xfxf(3).(3).f(x)没有没有重因式重因式(4)(4)消去重因式的方法消去重因式的方法:是一个没有重因式的多项式是一个没有重因式的多项式,它与它与f(x)具有完全相同具有完全相同的不可约因式的不可约因式.3.重因式重因式(1).重因式的概念重因式的概念.1.多项式函数多项式函数,根和重根的概念。根和重根的概念。四、多项式根的理论四、多项式根的理论.0)()(|cfxfcx2.2.余
8、数定理：余数定理：x-c去除去除f(x)，所得的余式为常数。，所得的余式为常数。5.代数基本定理：每个代数基本定理：每个n(n1)次复系数多项式次复系数多项式 在复数域中至少有一个根。因而在复数域中至少有一个根。因而n次复系数多次复系数多 项式恰项式恰n有有个复根个复根(重根按重数计算重根按重数计算)。3.有理系数多项式的有理根的求法。有理系数多项式的有理根的求法。4.实系数多项式虚根成对定理。实系数多项式虚根成对定理。7.7.根的个数定理：根的个数定理：P x 中中n(n0)0)次多项式次多项式 在数域在数域P中至多有中至多有n个根。个根。难点难点:最大公因式的概念最大公因式的概念,多项式的
9、整除多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的互素和不可约多项式等概念之间的 联系与区别。联系与区别。6.6.韦达定理。韦达定理。8.多项式函数相等与多项式相等是一致的。多项式函数相等与多项式相等是一致的。重点重点:一元多项式的因式分解理论。一元多项式的因式分解理论。f(X)g(X)x4+x3-x2-2x+1x3+2x2 -3q1(X)x4+2 x3 -3x-x3-x2+x+1-x3-2x2 +3r1(x)=x2 +x -2 q2(X)x3 +x2 -2x x2 +2x -3 x2 +x -2 r2(x)=x -1=(x-1)(x+2)所以(f,g)=r2(x)=x -1.,22111rqr
10、grgqf.)1(.)(21221212gqqfqqgqfgqrgr=x-1=x+1多项式的根和系数的关系.)()()(210111nnnnnnxxxaaxaxaxaxfVieta设定理：nnnaa121则nnnnaa213121nnnnaa11211)1(.)1(021nnnaa二、三阶行列式二、三阶行列式推广推广（对角线法则）逆序数对换 n 阶行列式阶行列式定义性质展开解方程组（利用代数余子式）（Cramer法则）第二章第二章 行列式行列式逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若
11、数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序 1 2tsni iiiiL LL LL Ltsii 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数逆序数定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调
12、成标准排列的对换次数为偶数对换 1212111212122212121nnntnppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa L LL LL LL LL L L L L L L L L L L L L LL Ln 阶行列式的定义.,2,1;,2,12121取取和和的的所所有有排排列列表表示示对对个个排排列列的的逆逆序序数数为为这这的的一一个个排排列列为为自自然然数数其其中中ntnppppppnn.,21212121)1(的的逆逆序序数数为为行行标标排排列列其其中中亦亦可可定定义义为为阶阶行行列列式式ppptDDnnnpppppptaaann:阶阶行行列列式式的的性性质质 n共七个性质，一
13、定要熟记且能灵活运用。共七个性质，一定要熟记且能灵活运用。）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式.,)1(1的的代代数数余余子子式式叫叫做做元元素素；记记的的余余子子式式，记记作作阶阶行行列列式式叫叫做做元元素素列列划划去去后后，留留下下来来的的行行和和第第所所在在的的第第阶阶行行列列式式中中，把把元元素素在在ijijijjiijijijijaAMAManjian 行列式按行（列）展开：定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即数余子式乘积之和，即,2211ininiiiiAaAaAaDni,2,12)行列式按行
14、（列）展开法则行列式按行（列）展开法则3）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质.,0;,1.,0;,.,0;,11jijijijiDDjijiDDijijjknkikijkjnkkiAaAa当当当当其其中中当当当当或或当当当当 Cramer 法则.,2,1.,2,1,0.,122112222212111212111所所得得到到的的行行列列式式，换换成成常常数数项项列列中中第第）是是把把系系数数行行列列式式（其其中中那那么么它它有有唯唯一一解解的的系系数数行行列列式式如如果果线线性性方方程程组组bbbxbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnnjDnjD
15、njDDD Cramer 法则的理论价值法则的理论价值.,0.,22112222212111212111唯唯一一那那么么它它一一定定有有解解，且且解解的的系系数数行行列列式式如如果果线线性性方方程程组组Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn .必必为为零零解解，则则它它的的系系数数行行列列式式解解或或有有两两个个不不同同的的如如果果上上述述线线性性方方程程组组无无 定理定理定理定理.,0.0,0,0221122221211212111那那么么它它没没有有非非零零解解的的系系数数行行列列式式如如果果齐齐次次线线性性方方程程组组Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannn
16、nnnnnn .它它的的系系数数行行列列式式必必为为零零组组有有非非零零解解，则则如如果果上上述述齐齐次次线线性性方方程程 定理定理定理定理第三章第三章 线性方程组线性方程组一、一、.向量的线性关系向量的线性关系 n维向量，向量的线性运算，线性组合，线性表出，线维向量，向量的线性运算，线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量性相关，线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量组等价组等价.1基本概念：基本概念：2 主要结论：主要结论：的充要条件是其中有一个向量是可以的充要条件是其中有一个向量是可以由其余的向量线性表出由其余的向量线性表出.1)向量组向量组 线性相关
17、线性相关s,21)2(s2）设向量组）设向量组s,21,线性无关，而线性无关，而,21s线性相关，那么线性相关，那么向量组向量组可由可由s,21线性表出，线性表出，而且表示法唯一而且表示法唯一.3)设向量组设向量组r,21中每一个向量中每一个向量必线性相关必线性相关.s,21的的线性组合，线性组合，都是向量组都是向量组sr r,21，那么向量组，那么向量组而且而且3.向量组线性相关的判定：向量组线性相关的判定：1)根据定义；根据定义；2)计算以向量组为行计算以向量组为行(列列)的矩阵的秩；的矩阵的秩；二、矩阵的秩二、矩阵的秩2.矩阵的初等变换矩阵的初等变换1)初等变换不改变矩阵的秩；初等变换不
18、改变矩阵的秩；2)用初等变换计算矩阵的秩；用初等变换计算矩阵的秩；1.矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩=矩阵行矩阵行(列列)向量组的秩，向量组的秩，矩阵的行矩阵的行(列列)秩秩=不为零的子式的最大不为零的子式的最大级数级数.三、线性方程组的解的情形三、线性方程组的解的情形 有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩同的秩.snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,(1)1.线性方程组有解的判定：线性方程组有解的判定：1)当当R(A)=R()=n，方程组方程组(1)有唯一解；有唯一解；A
19、2）当）当R(A)=R()=rn，方程组方程组(1)有无有无穷多解穷多解.A3齐次线性方程组的解的情形：齐次线性方程组的解的情形：0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa总是有解总是有解.(2)2.线性方程组的解的个数：线性方程组的解的个数：1)当当R(A)=n，方程组方程组(2)只有零解；只有零解；2）当）当R(A)=rn，方程组方程组(2)有非零解有非零解.四、线性方程组的解的结构四、线性方程组的解的结构1)1)齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系.2)2)当当R(A)=rn，方程组方程组(2)的任意的任意n-r个个线
20、性无关的解向量线性无关的解向量 都是rn,21它它的基础解系，的基础解系，(2)的全部解可表示为：的全部解可表示为：rnrnkkk2211rnkkk,21其中其中 是任意的数是任意的数.3）当）当R(A)=R()=rn，如果，如果 是线性是线性方程组方程组(1)的一个特解，的一个特解，是是(1)的相应的相应A0 rn,21导出组导出组(2)的基础解系，那么线性方程组的基础解系，那么线性方程组(1)的任一个解的任一个解 都可表示为：都可表示为：rnrnkkk22110 rnkkk,21其中其中 是任意的数是任意的数.对于非齐次线性方程组对于非齐次线性方程组:一、向量组线性关系的判定一、向量组线性
21、关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、基础解系的证法三、基础解系的证法四、解向量的证法四、解向量的证法典型例题?,:,21221121其线性组和为零向量其线性组和为零向量也使得也使得的数的数是否存在一组不全为零是否存在一组不全为零一个自然的问题是一个自然的问题是那么那么零向量零向量一个特殊向量一个特殊向量其结果为向量空间中的其结果为向量空间中的时时线性组合线性组合的结合物的结合物量空间中两种基本运算量空间中两种基本运算当我们考虑到向当我们考虑到向而言的而言的定的向量组定的向量组概念都是针对一个特概念都是针对一个特线性相关与线性无关的线性相关与线性无关的kkkkkkmmmm 一、向量组线
22、性关系的判定.0 ,0 ,;,;,.:221121 mmmkkkkkk才有才有时时当当指的是当且仅指的是当且仅所谓不存在所谓不存在该向量组线性无关该向量组线性无关则称则称若不存在若不存在则称该向量组线性相关则称该向量组线性相关若存在若存在关与线性无关的概念关与线性无关的概念然而然地提出了线性相然而然地提出了线性相也就自也就自这样这样存在或不存在存在或不存在答案只有两种答案只有两种 线性相关与线性无关还可以通过线性表出的概念来线性相关与线性无关还可以通过线性表出的概念来体现，即看其中有无某个向量体现，即看其中有无某个向量(不是任意一个向量不是任意一个向量)，可，可由其余向量线性表出？此外，还应注
23、意到：线性相关与由其余向量线性表出？此外，还应注意到：线性相关与线性无关是对立的两个概念，据此，在论证某些相关型线性无关是对立的两个概念，据此，在论证某些相关型问题时，我们往往采用反证法。问题时，我们往往采用反证法。研 究 这 类 问 题 一 般 有 两 个 方 法研 究 这 类 问 题 一 般 有 两 个 方 法方 法方 法 1 1 从 定 义 出 发 从 定 义 出 发 000,0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整理得线性方程组整理得线性方程组)(,0,0,0221122221121221111 kakakakakakakakaka
24、mmnnnmmmm.,)(.,)(2121线线性性相相关关则则有有非非零零解解若若线线性性方方程程组组线线性性无无关关则则只只有有唯唯一一零零解解若若线线性性方方程程组组 mm 方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定系判定.,)(,)().(),(,21212121线线性性相相关关则则若若线线性性无无关关则则若若首首先先求求出出相相应应的的矩矩阵阵就就得得到到一一个个维维向向量量给给出出一一组组 mmmmmARmARARAn 例例研究下列向量组的线性相关性研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321 解一解一 000201520321,03213
25、32211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(.0253,022,03212131 kkkkkkk.,)(,0253022101)(321线线性性相相关关从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组的的系系数数行行列列式式线线性性方方程程组组 解二解二,201,520,321321 ,253022101),(321 A矩矩阵阵 000220101253022101初初等等行行变变换换A.,32)(321线线性性相相关关故故向向量量组组 AR.)2(,:,22112121线线性性相相关关都都有有使使对对任任何何向向量量为为零零的的数数存存在在不不全全证证明明线线性性相相关关设设 rtt
26、ttttrrrr 例例2 2分析分析考考察察向向量量方方程程我我们们从从定定义义出出发发,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr.,21因因此此可可得得如如下下证证明明恒恒有有非非零零解解每每个个而而使使得得对对数数是是否否有有某某组组不不全全为为零零的的 kkkr证明证明0,22112121 rrrrkkkkkk使使为为零零的的数数所所以以存存在在不不全全线线性性相相关关因因为为02211 xkxkxkrr考考虑虑线线性性方方程程都都有有则则对对任任意意向向量量零零解解为为任任一一非非设设它它必必有有非非零零解解因
27、因为为,),(,221 tttrr 0)(22112211 tktktkkkkrrrr0)()()(222111 tktktkrrr即即.,:,221121线线性性相相关关不不全全为为零零得得知知由由 tttkkkrrr .,:,2121一一个个最最大大线线性性无无关关组组成成它它的的个个线线性性无无关关的的向向量量均均构构中中任任意意证证明明的的秩秩是是已已知知向向量量组组rrss 例例3 3证明向量组的一个部分组构成最大线性无证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是：关组的基本方法就是：分析分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩根据最大线性无关组的定义来证，它
28、往往还与向量组的秩相联系相联系证明证明.,),2,1(,212121rskrkiiiksiiirr否否则则这这向向量量组组的的秩秩大大于于相相关关线线性性向向量量组组的的于于是是对对于于任任意意个个线线性性无无关关的的向向量量中中的的任任意意是是设设不不失失一一般般性性 .,2121线线性性表表出出以以由由可可所所以以线线性性无无关关又又向向量量组组 iiikiiirr.,2121的的一一个个最最大大线线性性无无关关组组是是这这就就证证明明了了由由定定义义 siiir由于由于 123,线性无关，于是有线性无关，于是有 131223000 xxxxxx 设设1122330,xxx 即即 1311
29、22233()()()0 xxxxxx 例例3已知向量组已知向量组 线性无关，向量线性无关，向量123,证明：证明：线性无关线性无关.123,解之得解之得 1230.xxx 所以所以 123,线性无关线性无关.112,223,331,证：证：求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的所排成的如果向量组的向量以列（行）向量的形式给如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不
30、仅可以求出向量组的秩，行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出最大线性无关组而且可以求出最大线性无关组二、求向量组的秩若矩阵若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵经过初等行（列）变换化为矩阵 ，则则 和和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的中任何对应的列（行）向量组都有相同的线性相关性线性相关性ABAB.)1,4,6,2(),1,2,3,1(),1,1,1,0(),1,1,2,1(),0,0,1,1(54321的的秩秩求求向向量量组组 TTTTT例例4 4解解 为为阶阶梯梯形形化化行行变变换换作作初初等等对对作作矩矩阵阵AAA,54321 1111042110631212101
31、154321 A 1111042110421102101112rr 530000000042110210112423)1(rrrr 0000053000421102101134rr .54321U 记记作作,3)(ARA的的列列秩秩.3,54321的的秩秩为为故故向向量量组组 00000530004211021011 )(54321 U,421无无关关组组线线性性的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大是是又又U .,421线线性性无无关关组组的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大也也是是所所以以A 例例5设设12(1,1,2,4),(0,3,1,2),345(3,0,7,14),(1,1,
32、2,0),(2,1,5,6)1）证明：）证明：线性无关线性无关.12,2）把）把扩充成一个极大无关组扩充成一个极大无关组.12,1）证：）证：由于不成比例，由于不成比例，12,2）解：）解：线性无关线性无关.12,1122330,kkk 由由即即1312123123303027042140kkkkkkkkkk 132333,kkkkk 为自由未知量为自由未知量.解得解得123,线性相关线性相关.即即 可经线性表出可经线性表出.12,3 1122340,kkk 由由1230.kkk 解得解得124,线性无关线性无关.即即 不能由线性表出不能由线性表出.12,4 即即131231231203102
33、20420kkkkkkkkkk 112234450,kkkk 知，知，再由行列式再由行列式10121 31 121254206 存在不全为零的数使存在不全为零的数使1234,kkkk1245,线性相关线性相关.0 故即为由故即为由 扩充的一个极大无关组扩充的一个极大无关组.12,124,1 0 1 20 3 0 30 1 0 14 2 0 6 要证明某一向量组是方程组的基础解要证明某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论系，需要证明三个结论:0 AX例例证明与基础解系等价的线性无关的向量组证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系也是基础解系三、基础解系的证法分析分析(3)方程组的
34、任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该组向量线性无关；证明证明.,0,212121ntaaaAXtnt 即即向向量量个个数数相相等等所所以以这这两两个个向向量量组组所所含含数数是是相相同同的的向向量量组组所所含含向向量量个个因因为为等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组等等价价的的线线性性无无关关的的是是与与系系的的一一个个基基础础解解是是方方程程组组设设 .0 ,),2,1(,2121的的解解都都是是故故合合仍仍然然是是原原方方程程组组的的解解而而解解的的线线性性组组的的线线性性组
35、组合合可可以以表表示示成成知知由由向向量量组组的的等等价价关关系系易易 AXaaatiatti .,21线线性性无无关关由由题题设设知知aaat.,021212121线线性性表表示示也也可可由由故故线线性性表表示示均均可可由由由由向向量量组组的的等等价价性性线线性性表表示示可可由由则则的的任任一一解解为为方方程程组组设设aaaaaaAXtttt .0,21的的一一个个基基础础解解系系也也是是方方程程组组故故由由定定义义知知 AXaaat注注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的.1,
36、1,)3(.1,)2(;,)1(:.,111而且组合系数之和为而且组合系数之和为个解的线性组合个解的线性组合都可以表示为这都可以表示为这的任一解的任一解方程组方程组个线性无关的解个线性无关的解的的是方程组是方程组线性无关线性无关证明证明解系解系是其导出组的一个基础是其导出组的一个基础的一个解的一个解是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组设设 rnXBAXrnBAXBAXrnrnrn 例7例7四、解向量的证法.0)(,0)1(0110 kkkkrnrn其其中中必必有有令令 证明证明.0,0,0,0210101 kBAXAXAXkkkkrnrnrn所所以以矛矛盾盾的的解解齐齐次次方方程程组组是是非非
37、而而等等式式左左边边的的解解必必是是其其线线性性组组合合故故等等式式右右边边为为的的解解是是齐齐次次方方程程组组由由于于有有否否则则 ,0,)(022110 rnrnkkkk则则有有式式代代入入将将.,0,0,21212121线线性性无无关关于于是是故故有有线线性性无无关关所所以以的的基基础础解解系系是是因因为为 rnrnrnrnkkkAX .,),2,1()2(再再证证它它们们线线性性无无关关的的解解都都是是知知由由线线性性方方程程组组解解的的性性质质BAXrnii 所所以以线线性性无无关关的的证证明明知知由由则则令令,)1(,0)(,0)()(211110110 rnrnrnrnrnrnk
38、kkkkkkk ,0,0,0,021210kkkkkkkrnrn.,0,21210线线性性无无关关故故得得解解之之 rnrnkkkk 可可表表为为则则的的任任一一解解为为方方程程组组设设XBAXX,)3(rnrntttX 2211)()(11 rnrntt)()()1(111 rnrnrntttt ,1,11001 ttttttrnrn则则令令都都可可以以表表示示为为的的任任一一解解故故XBAX.1),()(10110 ttttttXrnrnrn且且 注意注意(1)本例是对非齐次线性方程组的解本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方的结构作进一步的分析和讨论，即非
39、齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解，题中程组一定存在着个线性无关的解，题中(2)的证明表明了它的存在性的证明表明了它的存在性BAX 1 rn(3)对非齐次线性方程组，有时也把对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给的个解称为的基础如题中所给的个解称为的基础解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为系数之和为1时，才是方程组的解时，才是方程组的解BAX BAX 1 rn(2)对齐次线性方程组，当时，对齐次线性方程组，当时，有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性表示表示nrAR )(第四章第四章 矩
40、阵矩阵一一.主要内容主要内容1.矩阵的定义矩阵的定义 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 记记作作简记为简记为 nmijaA nmA 或或),2,1;,2,1(njmianmij 个个数数由由列列的的数数表表，行行排排成成的的nm.矩矩阵阵简简称称nm 实矩阵实矩阵:元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵：元素是复数元素是复数一些特殊的矩阵：一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、对角阵、数量阵、单位阵数量阵、单位阵.2.矩阵的基本运算矩阵的基本运算同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等.矩
41、阵相等矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等.矩阵加矩阵加(减减)法：法：两个同型矩阵，对应元素相加两个同型矩阵，对应元素相加(减减).加法满足加法满足 .1ABBA 交交换换律律：.2CBACBA 结结合合律律：.4OAA .,03是是同同型型矩矩阵阵与与其其中中OAAA 数乘满足数乘满足);()(AA ;)(AAA .)(BABA 数与矩阵相乘：数与矩阵相乘：数数 与矩阵与矩阵 的乘积记作的乘积记作 或或 ，规定为，规定为 AA A()ijAAa 矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：()(),ijijmss nABab 设设规定规定(),ijmnABCc 其中其中1
42、1221(1,2,;1,2,)sijijijissjikkjkca baba ba bimjn 乘法满足乘法满足);()(BCACAB);(),()()(为为数数其其中中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm 矩阵乘法不满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律交换律、消去律 A是是n 阶方阵，阶方阵，个个kkAAAA 方阵的幂：方阵的幂：方阵的多项式：方阵的多项式：0111)(axaxaxaxfkkkk 0111)(aAaAaAaAfkkkk EmkmkAAA kmmkAA 并且并且（m,k为正整数）为正整数）方阵的行列式：方阵的行列式：满足满足:;
43、1AAT ;2AAn BAAB 3转置矩阵转置矩阵:一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵:把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .AAA满足：满足：;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：AAA ATTAA 是是反反对对称称矩矩阵阵是是对对称称矩矩阵阵伴随矩阵：伴随矩阵：行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.EAAAAA 3.
44、逆矩阵逆矩阵定义：定义：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得ABBAE 则称矩阵则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A的逆矩阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性：若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆0A 11AAA 且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若,ABE 则则A、B都可逆，且都可逆，且11ABBA ，111111111,(0)()(),()()TTAAAAAAAA 满足规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求
45、法：（1）待定系数法）待定系数法（2）伴随矩阵法）伴随矩阵法（3）初等变换法）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4.分块矩阵分块矩阵5.5.初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换初等变换初等变换 逆变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji 矩阵的等价：矩阵的等价：初等矩阵：初等矩阵：由单位
46、矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵.如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。记作等价。记作AB三种初等变换对应着三种初等方阵：三种初等变换对应着三种初等方阵：初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵6.初等矩阵初等矩阵初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。1(,)(,)E i jE i j 11()()E i kE ik 1()()E ij kE ijk 7.初等矩阵与初等变换的关系
47、：初等矩阵与初等变换的关系：初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵阶阶初初等等矩矩阵阵。乘乘一一个个相相应应的的的的右右边边相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换，对对阶阶初初等等矩矩阵阵；的的左左边边乘乘一一个个相相应应的的相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等行行变变换换，矩矩阵阵，对对是是设设nAAmAAnmA 定理：定理：8.用初等变换法求矩阵的逆矩阵用初等变换法求矩阵的逆矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.定理：定理：可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积可逆矩阵可以表示为若干
48、个初等矩阵的乘积推论推论1：推论推论2：A如果对可逆矩阵如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵和同阶单位矩阵 作同样的初等作同样的初等EA行变换，那么当行变换，那么当 变成单位矩阵变成单位矩阵 时，时，就变成就变成 。EE1A.,)(,1AEEAEAA 变变成成了了就就原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换只只需需对对分分块块矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆矩矩阵阵.,1AEEAEA 就就变变成成了了原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等列列变变换换或或者者对对分分块块矩矩阵阵即，即，1,AEEA，初初等等行行变变换换 1AEEA初初等等列列变变换换(1)AXB
49、 9.解矩阵方程的初等变换法解矩阵方程的初等变换法)(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换BAX1 BA(2)XAB ABE1初初等等列列变变换换BAX1 )(BATT)(1BAETT 初初等等行行变变换换ABX1 BAXTTT)(1 或者或者1.矩阵的基本运算矩阵的基本运算2.方阵的幂方阵的幂3.逆矩阵的求解、证明逆矩阵的求解、证明4.矩阵方程矩阵方程5.矩阵的分块运算矩阵的分块运算二二.典型例题典型例题1.矩阵的基本运算矩阵的基本运算例例1：设矩阵：设矩阵11,01A 求与求与A可交换的所有矩阵。可交换的所有矩阵。分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求解：设
50、所求矩阵为解：设所求矩阵为,abXcd 由由,AXXA 得得acbdaabcdccd 0,cad ,0abXa 其中其中a，b为实数为实数例例2：设：设100010,303A 12(2)(2)(4)TEAEAEA 求求的行列式。的行列式。分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算解：解：12(2)(2)(4)TEAEAEA 1(2)(2)(2)(2)TEAEAEAEA (2)(2)TEAEA (2)(2)TEAEA 2(2)EA 23000302025305 例例3：设：设 4 阶方阵阶方阵 234234,AB 其中其中 均为均为 4
