1、第一节 集合主干知识梳理一、元素与集合1集合中元素的三个特性：、2集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有 和 两种，表示符号为 和 确定性互异性无序性属于不属于3常见集合的符号表示：4集合的表示法：、NN*或NZQR列举法描述法韦恩图二、集合间的基本关系ABABBA B非空集合三、集合的基本运算基础自测自评1(2013重庆高考)已知全集U1，2，3，4，集合A1，2，B2，3，则U(AB)()A1，3，4 B3，4C3 D4DAB1，22，31，2，3，U1，2，3，4，U(AB)4，故选D2(理)(2013浙江高考)设集合Sx|x2，Tx|x23x40，则(RS)T()A(2，1 B
2、(，4C(，1 D1，)C由题意得Tx|x23x40 x|4x1又Sx|x2，(RS)Tx|x2x|4x1x|x1，故选C2(文)(2013浙江高考)设集合Sx|x2，Tx|4x1，则ST()A4，)B(2，)C4，1 D(2，1D集合S与集合T都表示连续的实数集，此类集合的运算可通过数轴直观表示出来，故STx|2x1，故选D3(教材习题改编)A1，2，3，BxR|x2ax10，aA，则ABB时a的值是()A2 B2或3C1或3 D1或2D验证a1时B 满足条件；验证a2时B1也满足条件4(2013江苏高考)集合1，0，1共有_个子集解析由于集合1，0，1有3个元素，故其子集个数为238答案8
3、关键要点点拨1正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么注意区分x|yf(x)、y|yf(x)、(x，y)|yf(x)三者的不同2注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：AB，则需考虑A 和A 两种可能的情况仅供学习交流！仅供学习交流！典题导入 (1)(2013山东高考)已知集合A0，1，2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3C5 D9元素与集合 听课记录当x，y取相同的数时，xy0；当x0，y1时
4、，xy1；当x0，y2时，xy2；当x1，y0时，xy1；当x2，y0时，xy2；其他则重复故集合B中有0，1，2，1，2，共5个元素，应选C答案C(2)已知集合M1，m，Nn，log2n，若MN，则(mn)2015_答案1或0规律方法1研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性2对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性 跟踪训练1(1)(2013大纲版全国高考)设集合A1，2，3，B4，5，Mx|xab，aA，bB，则M中元素的个数为(
5、)A3 B4C5 D6B由题意知xab，aA，bB，则x的可能取值为5，6，7，8，因此集合M共有4个元素，故选B集合间的基本关系 听课记录x(x2)0，x0或x2集合A与B可用图象表示为：由图象可以看出ABR，故选B答案B(2)已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_听课记录由log2x2，得0 x4，即Ax|04，即c4答案4 规律方法1判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系2已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系
6、解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析 跟踪训练2(1)(2014合肥一模)设全集UR，集合Mx|x1，Px|x21，则下列关系中正确的是()AMP BPMCMP D(UM)P解析x21，x1或x1故M P答案C答案2典题导入 (1)(2013天津高考)已知集合AxR|x|2，BxR|x1，则AB()A(，2B1，2C2，2 D2，1听课记录解不等式|x|2，得2x2，所以Ax|2x2，所以ABx|2x1故选D答案D集合的基本运算(2)(2014南京模拟)已知集合Ax|x22x0，xR，Bx|xa，若ABB，则实数a的取值范围是_听课记录由ABB得AB，而Ax|x22x0，xRx
7、|0 x2，所以要使AB，应有a0答案(，0规律方法1在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍2在解决有关AB，AB等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用 跟踪训练A0，1 B0，1)C(0，1)D(0，1【创新探究】集合的新定义问题 (2014深圳模拟)设S是实数集R的非空子集，如果a，bS，有abS，abS，则称S是一个“和谐集”下列命题为假命题的是 ()A存在有限集S，S是一个“和谐集”B对任意无理数a，集合x|xka，k
8、Z都是“和谐集”C若S1S2，且S1，S2均是“和谐集”，则S1S2D对任意两个“和谐集”S1，S2，若S1R，S2R，则S1S2R【思路导析】根据题意中的新定义，结合选项逐一分析判断，判断时可利用特例法，如令S0【解析】对于A，如S0，显然该集合满足：000S，000S，因此A正确；对于B，设任意x1x|xka，kZ，x2x|xka，kZ，则存在k1Z，k2Z，使得x1k1a，x2k2a，x1x2(k1k2)ax|xka，kZ，x1x2(k1k2)ax|xka，kZ，因此对任意无理数a，集合x|xka，kZ都是“和谐集”，B正确；对于C，依题意，当S1，S2均是“和谐集”时，若aS1，则有a
9、aS1，即0S1，同理0S2，此时S1S2，C正确；对于D，如取S10R，S2x|xk，kZR，易知集合S1，S2均是“和谐集”，此时S1S2R，D不正确综上所述，选D【答案】D【高手支招】1集合中的创新问题及信息迁移题往往都是以“新定义”“新运算”等问题为载体这些新定义、新运算大多是在我们熟悉的知识上加工设计的2解决这类问题的关键是结合元素与集合，集合与集合之间的关系，将新情境转化为老问题加以解决体验高考1(2013北京高考)已知集合A1，0，1，Bx|1x1，则AB()A0B1，0C0，1 D1，0，1B1，0，1x|1x11，0 2(2013福建高考)若集合A1，2，3，B1，3，4，则AB的子集个数为()A2 B3C4 D16C由题知AB1，3，故它的子集个数为2243(2013江西高考)若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a()A4 B2C0 D0或4A当a0时，显然不成立；当a0时，由a24a0，得a4故选A
