1、南京市2023届高三年级第二次模拟考试 数 学 2023.05注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1集合AxN|1x4的子集个数为A2 B4 C8 D162已知复数z满足iz2i，其中i为虚数单位，则为A12iB12iC12iD12i3在ABC中，角A，B，C所对的边分
2、别为a，b，c若bsincsinB，则角C的大小为A B C D4在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同已知：乙没有参加跑步；若甲参加铅球，则丙参加标枪；若丙没有参加铅球，则甲参加铅球下列说法正确的为A丙参加了铅球 B乙参加了铅球 C丙参加了标枪 D甲参加了标枪5大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中表示太极， 表示阳仪， 表示阴仪）若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即a1为天一时对应的经历过的两仪数量总和0，a2为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，a
3、3为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，按此规律，则a15为A84 B98 C112 D128 6直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体若该几何体外接球的表面积为，则AC长为A B1 C D7已知椭圆C：1(ab0)，F为其左焦点，直线ykx(k0)与椭圆C交于点A，B，且AFAB若ABF30，则椭圆C的离心率为A B C D8已知f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f (x)，若对任意xR有f (x)1，f(1x)f(1x)0，且f(0)2，则不等式f(x1)x1的解集为A(0，) B(1，) C(2，) D(3，)二、选择题：本大题共4小题，每
4、小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分9在(x)6的展开式中 A常数项为160 B含x2项的系数为60 C第4项的二项式系数为15 D所有项的系数和为110若实数x，y满足y21，则A|x| Bx2y22 C D|xy| 11已知函数f(x)|exa|，a0下列说法正确的为A若a1，则函数yf(x)与y1的图象有两个公共点B若函数yf(x)与ya2的图象有两个公共点，则0a1C若a1，则函数yf(f(x)有且仅有两个零点D若yf(x)在xx1和xx2处的切线相互垂直，则x1x2012已知
5、四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1AB，A1ABA1AD60，则A点A1在平面ABCD内的射影在AC上BAC1平面A1BDCAC1与平面A1BD的交点是A1BD的重心D二面角B1BDC的大小为45三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13若直线x2ya0被圆x2y22x2y10截得的弦长为2，则实数a的值为14幂函数f(x)x(R)满足：任意xR有f(x)f(x)，且f(1)f(2)2，请写出符合上述条件的一个函数f(x)15一个袋子中有n（nN*）个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概
6、率记为p(n)，则p(n)的最大值为16大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的DEF也为正三角形若D为BE的中点，DEF与ABC的面积比为；若，则（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知f(x)sinxcosx，0（1）若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求f()的值；（2）若函数f(x)的图象关于(，0)对称，且函数f (x)
7、在0，上单调，求的值18（本小题满分12分） 已知数列an的前n项和为Sn，a12，(n2)Sn12an1nSn，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）求证：19（本小题满分12分） 在梯形ABCD中，ABCD，D90，AB2，ADDC，如图1现将ADC沿对角线AC折成直二面角PACB，如图2，点M在线段BP上（1）求证：APCM；（图1）（图2）ABCPM（2）若点M到直线AC的距离为，求的值20（本小题满分12分） 进行独立重复试验，每次成功的概率为p(0p1)，失败的概率为1p，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，
8、记为XNB(r，p)（1）若XNB(3，)，求P(X5)；（2）若XNB(2，)，nN*，n2求P(Xi)； 要使得在n次内结束试验的概率不小于，求n的最小值21（本小题满分12分）已知函数f(x)ax1logax，a1（1）若ae，求证：f(x)1；（2）若关于x的不等式f(x)1的解集为B，且B(，a)，求实数a的取值范围22（本小题满分12分） 已知抛物线C1：y2x和圆C2：(x3)2y22 （1）若抛物线C1的准线与x轴交于点T，MN是过抛物线C1的焦点F的弦，求 的最小值；（2）已知P，A，B是抛物线C1上互异的三个点，且点P异于原点若直线PA，PB被圆C2截得的弦长都为2，且PA
9、PB，求点P的坐标南京市2023届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案 2023.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1B 2C 3B 4A 5C 6D 7A 8D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分 9BD 10AB 11BCD 12ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上 131 14x (，其中p为偶数，为既
10、约分数，01) 15 16；四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）解：(1)f(x)sinxcosx2(sinxcosx)2sin(x)1分因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以函数f(x)的最小正周期为，则，0，故2， 3分所以f(x)2sin(2x)，则f()2sin(3)2sin 4分(2) 因为函数f(x)的图象关于(，0)对称，所以2sin()0，即sin()0，所以k，即3k1，kZ 6分当x0，则x，因为函数f(x)在0，上单调，所以，则，故0 8分由03k1，解得k又k
11、Z，所以k0，所以1 10分18（本小题满分12分）解：（1）方法1因为(n2)Sn12an1nSn，所以(n2)Sn12(Sn1Sn)nSn，即nSn1(n2)Sn， 2分所以. 当n2时，SnS12n(n1)又n1时，上式也成立，所以Snn(n1) (nN*)4分当n2时，anSnSn12n.又n1时，上式也成立，所以an2n(nN*)6分方法2因为(n2)Sn12an1nSn，所以n(Sn1Sn)2(Sn1an1)0，所以2Snnan1， 2分所以当n2时，2Sn1(n1)an，得2annan1(n1)an(n2)，即(n1)annan1(n2)，4分所以(n2)，在中令n1得2a1a2
12、，又a12，所以a24，所以当n3时，ana242n，又n1和2时，上式也成立，所以an2n(nN*). 6分（2）由（1）知()方法1因为当n2时， 8分当n2时， 1(1) 10分1(1)， 当n1时，上式也成立，故，所以 12分方法2因为(n2)， 8分当n3时，1()()()10分1， 当n1，2时，上式也成立，故，所以 12分19(本小题满分12分）（1）证明：在直角梯形ABCD中，D90，ADDC，所以AC2在ABC中，CAB45，AC2，AB2，所以BC2AC2AB22ACABcosCAB4，所以AB2AC2BC2，即ACBC2分因为二面角PACB是直二面角，平面ABC平面PAC
13、AC，且BC平面ACB，所以BC平面PAC又AP平面PAC，所以BCAP4分因为APPC，PCBCC，PC，BC平面PBC，所以AP平面PBC又因为CM平面PBC，所以APCM 6分ABCPMxyz（2）解：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，2，0)，A(2，0，0)，P(1，0，1)，所以(2，0，0)，(1，2，1)因为点M在线段BP上，所以设，01，则(1，2，1)(0，2，0)(，22，)8分因为点M到直线AC的距离为，所以CMsin， ， 10分所以cos， ， 所以sin， ，即，所以25240160，解得，即1
14、2分20(本小题满分12分) 解：(1)因为XNB(3，)，所以P(X5)C(1)2()362分(2)方法1因为XNB(2，)，所以P(Xi)C(1)i2()2(i1)()i4分记SP(Xi)1()22()3(n1)()n，则S1()32()4(n1)()n1 ， 两式相减，得S()2()3()n(n1)()n1 6分 (n1)()n1()n(n1)()n1，所以S，即P(Xi)8分 方法2 P(Xi)P(Xn)， 事件“Xn”的对立事件为“n次试验中，成功了0次或1次” “n次试验中，成功了0次”的概率p1(1)n； 4分“n次试验中，成功了1次”的概率p2C(1)n16分所以P(Xn)1，
15、 即 P(Xi) 8分n次内结束试验的概率即为P(Xn)，即P(Xi),所以，10分即 记f(n)，因为f(n1)f(n)0，所以f(n)为递减数列因为f(4)，f(5)，故使得不等式成立的最小正整数n为5，所以n的最小值为512分21(本小题满分12分）解：（1）方法1由ae，得f(x)ex1lnx，则f(x)ex1因为f (x)ex10，所以f(x)在(0，)上单调递增 又因为f(1)0，所以当0x1时，f(x)0，则f (x)单调递减；当x1时，f(x)0，则f (x)单调递增；2分所以，f(x)f(1)1 3分方法2由ae，得f(x)ex1lnx，则f(x)ex1当0x1时，ex11，
16、1，则f(x)0，所以f (x)单调递减；当x1时，ex11，1，则f(x)0，所以f (x)单调递增，2分所以，f(x)f(1)1 3分（2）设F(x)f(x)1ax1logax1，则F(1)0，4分F(x)ax1lna，所以F (x)ax1(lna)2因为a1，所以F (x)0，所以F(x)ax1lna在(0，)上单调递增5分当ae，由（1）知f(x)1恒成立，所以B，符合题意 6分当ae时，F(1)lna0，当0x1时，有0ax11，所以F(x)ax1lnalna，则F()lna0，所以F(x)在(0，)上存在唯一的零点 x1，且x1(，1)当0xx1时，F(x)0，所以F(x)单调递减
17、；当xx1时，F (x)0，所以F (x)单调递增 又因为F(1)0，F()a0，所以B(，a)，因此ae符合题意 8分当1ae时，F(1)lna0，当x1时，F(x)ax1lna，则F(loga()1)0，所以F(x)在(0，)上存在唯一的零点x2，且x2(1，loga()1)当0xx2时，F(x)0，所以F(x)单调递减；当xx2时，F(x)0，所以F(x)单调递增又因为F(1)0，B(，a)，所以F(a)aa120，即(a1)lnaln2令g(a)(a1)lna，1ae，则g(a)lna0，所以g(a)单调递增又g(2)ln2，所以2ae11分综上，a2 12分22(本小题满分12分）解
18、：（1）由题意知，准线方程为l：x，F(，0)，T(，0)设MN：xty，代入y2x，消去x，得y2ty0设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2t，y1y22分(x1，y1)(x2，y2)(x1)(x2)y1y2 (ty1)(ty2)y1y2(t21) y1y2t(y1y2)4分 (t21)t2t20，当且仅当t0时取等号，从而的最小值为0 5分（2）方法1设P(y02，y0)，A(y32，y3)，B(y42，y4)，则y00，且y0，y3，y4两两不相等设PA：xm1(yy0)y02，PB：xm2(yy0)y02，m1m2因为圆心C2(3，0)到直线PA的距离等于1，则可得1，即(
19、y021)m122y0(3y02)m1(3y02)210， 6分同理(y021)m222y0(3y02)m2(3y02)210，因此m1，m2为方程(y021)m22y0(3y02)m(3y02)210的两个不同的实数根，因此y0210，2y0(3y02)24(y021)(3y02)214(y045y028)0恒成立， 即y021，因此m1m28分将xm1(yy0)y02与y2x联立消去x，得y2m1ym1y0y020，故y0y3m1，同理y0y4m2，于是y3y4m1m22 y02 y00，则kAB010分 由PAPB，可得ABPC211分于是有1，解得y02，即y0，故P(，)或P(，)12分方法2设P(y02，y0)，A(y32，y3)，B(y42，y4)，则y00，且y0，y3，y4两两不相等，则PA：x(y0y3)yy0y30因为圆心C2(3，0)到直线PA的距离等于1，则可得1，即(y021)y324y0y38y020， 6分同理(y021)y424y0y48y020，因此y3，y4为方程(y021)y24y0y8y020的两个不同的实数根，因此y0210，16 y024(y021)(8y02)4(y045y028)0恒成立， 即y021，因此y3y40，8分则kAB0，10分 由PAPB，可得ABPC211分于是有1，解得y02，即y0，故P(，)或P(，)12分
