1、3.3 3.3 垂径定理垂径定理九年级数学九年级数学(下下)第三章第三章 圆圆 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为长）为37.437.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.27.2米，米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ABO37.47.2？想一想：这是轴对称图形吗？OABAM=BM,认识认识-垂径定理垂径定理AB是是 O的一条弦的一条弦.作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.（你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由与同伴
2、说说你的想法和理由）.O小明发现图中有小明发现图中有:ABCDM 由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂直于弦的直径，平分这条弦并且平分弦所对的弧。垂直于弦的直径，平分这条弦并且平分弦所对的弧。垂径定理垂径定理证明：连接证明：连接OA,OB,则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM RtOAM RtOBMAM=BM,AOC=BOCAOD=180AOC,BOD=180BOC AOD=BOD垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径，平分这条弦并且平分弦所对的弧垂直于弦的直径，平分这条弦并且平分弦所对的弧OABCDM AM=BM 由由 CD
3、是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OABCDM垂径定理垂径定理垂直于弦的直径，垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的弧。平分这条弦，并且平分弦所对的弧。CD是直径，是直径，CDABAM=BM，ADBD，ACBC垂径定理中所指的垂径定理中所指的 直径直径 等同于等同于 过圆心的线段过圆心的线段CDAB,垂径定理的推论垂径定理的推论1 1AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.（你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说与同伴说说你的想法和理由你的想法和理由.）OCD 由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD
4、.MAB平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分ABCDAB，ADBD，ACBCABCDABDC CDCD为直径为直径（或（或CD过圆心）过圆心）CDABCDABAM=BM垂径定理推论垂径定理推论1:1:M 如图如图,AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.过点过点M作直径作直径CD.条件：条件：结论：结论：AC=BC,AD=BD.平分弦平分弦 的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧（不是直径不是直径）动动脑筋动动脑筋688B
5、AC5 510862222BCOCOB21 OC AB,2121 AC=BC=AB=16=8解解:连接连接OB由勾股定理得由勾股定理得:答答:排水管的半径为排水管的半径为10米米垂径定理垂径定理O若弦心距为若弦心距为d d，半，半径为径为R R，弦长为，弦长为a a,则这三者之间有怎则这三者之间有怎样的关系？样的关系？d dR R2ad2+()2=R22a DOABC解：过点解：过点O作作OD AB，垂足为垂足为C，连接连接OB，则则OB=8若弓高为若弓高为h，则，则d、h、R的关系是什么？的关系是什么？d+h=RhdROABCD OD ABABBC214821解：设排水管的半径解：设排水管的
6、半径OB=R42则则OC=R-2RR-2,222CBOCOB在在tAOD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得2224)2(RR即解得 R=5垂径定理的应用垂径定理的应用例例:如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,点点O是弧是弧CD的圆心的圆心),其中其中CD=600m,E为弧为弧CD上的一上的一点点,且且OECD垂足为垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.解解:连接连接OC.m)90R(OF,Rm 则则设设弯弯路路的的半半径径为为,CDOE ).m(30060021CD21CF 得得根根据据勾勾股股定定理理,即即,OFCFO
7、C222 .90R300R222 .545R,得得解解这这个个方方程程.m545这这段段弯弯路路的的半半径径约约为为OCDEF赵州石拱桥赵州石拱桥1.1400多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧的桥拱是圆弧形形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦弧的中点到弦的距离的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).ABAD21DCOCOD.2.7 R在在t tAODAOD中，中，由勾股定理，得由勾股定理，得,222ODADOA.)2.7(7.182
8、22RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.赵州桥主桥拱的赵州桥主桥拱的跨度跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵州桥，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到主桥拱的半径吗？（精确到0.1）D37.47.218.7R-7.2R-7.2R ROABC解：过点解：过点O作作OC AB交交 于点于点C，交，交AB于点于点DAB OC AB设半径为设半径为R，由题意知：由题意知：,7.184.3721OABCD如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的如果圆的两条
9、弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么弧相等吗？为什么?EFMN还有其他情况吗？还有其他情况吗？OABCDCD讨讨论论（1）直径（或过圆心的线段）直径（或过圆心的线段）（2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所对优弧）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）OABCDMOABE课堂小结：课堂小结：应用垂径定理解题时：应用垂径定理解题时：一般需一般需连接半径连接半径或或画出弦心距画出弦心距构构建直角三角形，建直角三角形，运用勾股定理。运用勾股定理。将圆将圆中问题转化为三角形中问题转化为三角形 问题问题
