1、5.4 对数留数与辐角原理对数留数与辐角原理*一、对数留数一、对数留数二、辐角原理二、辐角原理三、路西定理三、路西定理*一、对数留数一、对数留数1.定义定义具有下列形式的积分具有下列形式的积分:.)(的对数留数的对数留数关于曲线关于曲线称为称为Czf说明说明:1)对数留数即函数对数留数即函数 f(z)的对数的导数的对数的导数)()(zfzf 在在C内孤立奇点处的留数的代数和内孤立奇点处的留数的代数和;2)函数函数 f(z)的零点和奇点都可能是的零点和奇点都可能是)()(zfzf 的奇点的奇点.Czzfzfid)()(212.定理一定理一,)(上上解解析析且且不不为为零零在在简简单单闭闭曲曲线线
2、如如果果Czf,以以外外也也处处处处解解析析的的内内部部除除去去有有限限个个极极点点在在C内零点的总个数内零点的总个数,P为为 f(z)在在C内极点的总个数内极点的总个数.其中其中,N为为 f(z)在在C且且C取正向取正向.注意注意:m级的零点或极点算作级的零点或极点算作m个零点或极点个零点或极点.那么那么.d)()(21PNzzfzfiC 证证，级级的的零零点点内内有有一一个个在在设设kkanCzf)(),()()(zazzfknk 内，内，则在则在 kaz)0)(z 1()()()()(),kknnkkkfznzazzaz 内，内，在在 kaz0.)()()()(zzaznzfzfkk .
3、)()(数数是是这这一一邻邻域域内内的的解解析析函函zz .)()(kknzfzfa的的一一级级极极点点且且留留数数为为是是，级级的的极极点点内内有有一一个个在在设设kkbpCzf)(),()(1)(zbzzfkpk 内，内，则在则在 kbz0)0)(z),()()()()(1zbzzbzpzfkkpkpkk 内，内，在在 kbz0.)()()()(zzbzpzfzfkk .)()(数数是是这这一一邻邻域域内内的的解解析析函函zz .)()(kkpzfzfb 的的一一级级极极点点且且留留数数为为是是,)(21212121mmllbbbpppmaaannnlCzf的极点的极点个级数分别为个级数分
4、别为和和的零点的零点个级数分别为个级数分别为内有内有在在如果如果 Czzfzfid)()(21,)()(Res,)()(Res11 mkklkkbzfzfazfzf)(d)()(2121lCnnnzzfzfi ),(21mppp .d)()(21PNzzfzfiC 或或证毕证毕由以上所述及由以上所述及留数定理留数定理，得，得二、辐角原理二、辐角原理)(zfw 考考察察变变换换Cz)(zfw .wArg 不一定为简单闭曲线不一定为简单闭曲线,其可按正向或负向绕原其可按正向或负向绕原点若干圈点若干圈.,)(不不经经过过原原点点则则上上不不为为零零在在 Czf1.对数留对数留数的数的几何意义几何意义
5、,d)()()(dLnzzfzfzf 因为因为.)(dLn21d)()(21 CCzfizzfzfi所以所以 的改变量的改变量的正向绕行一周的正向绕行一周沿沿当当)(Ln21zfCzi 的改变量的改变量的正向绕行一周的正向绕行一周沿沿当当)(ln21zfCzi .)(Arg的的改改变变量量zfi 单值函数单值函数等于零等于零:)(Arg的的改改变变量量zfi;,)1那那么么改改变变量量为为零零不不包包含含原原点点如如果果,2,)2ik 那那么么改改变变量量为为包包含含原原点点如如果果结论结论:(k总为整数总为整数)对数留数的对数留数的几何意义几何意义是是 绕原点的绕原点的回转次数回转次数k 其
6、中其中k为为w沿沿围绕原点的圈数，逆时针为正，围绕原点的圈数，逆时针为正，顺时针为负。顺时针为负。的的辐辐角角的的改改变变量量的的正正向向绕绕行行一一周周沿沿若若将将)(,zfCz)(ArgzfC 记记为为由由定理一定理一以及对数留数的几何意义得以及对数留数的几何意义得)(Arg21zfPNC 0,)(PCzf内解析时内解析时在在当当)(Arg21zfNC 可计算可计算f(z)在在C内零点的个数内零点的个数此结果称为此结果称为辐角原理辐角原理2定理二定理二(辐角原理辐角原理)如果如果 f(z)在简单闭曲线在简单闭曲线C上与上与C内解析内解析,且在且在C上不等于零上不等于零,那么那么 f(z)在
7、在C内零点的个数等于内零点的个数等于 21乘以当乘以当z沿沿C的正向绕行一周的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量的辐角的改变量.)(Arg21zfPNC 三、三、Rouche定理定理定理三定理三（路西定理（路西定理Rouche Theorem）,)()(内解析内解析上和上和在简单闭曲线在简单闭曲线与与设设CCzgzf,)()(zgzfC 上满足条件上满足条件且在且在.)()(的的零零点点的的个个数数相相同同zgzf 说明说明:与与内内那么在那么在)(zfC利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较.,)()(内内解解析析上上和和在在简简单单闭闭曲曲线线与
8、与设设CCzgzf,)()(zgzfC 上满足条件上满足条件且在且在证证,0)(zfC上上则则在在,0)()()()(zgzfzgzf,)()()(:内内部部的的零零点点个个数数在在与与与与设设CzgzfzfNN 在在C内部解析内部解析),(Arg21zfNC .)()(Arg21zgzfNC 0)(,zfC上上因为在因为在,)()(1)()()(zfzgzfzgzf所以所以 )()(ArgzgzfC )()(1ArgzfzgC )(ArgzfC.)()()(的的零零点点个个数数相相同同与与即即zgzfzf,)()(1zfzgw 令令,1)()(1 zfzgw则则,1为为中中心心的的单单位位圆
9、圆内内在在以以即即w,不不围围绕绕原原点点的的象象曲曲线线因因此此 C,0)()(1Arg zfzgC从而从而,NN 所以所以证毕证毕例例1 试证方程试证方程)0(001110 aazazazannnn.个个根根有有n证证,)(0nzazf 令令nnnnnzaazazazazfzg012211)()(则则,111020201nnzaazaazaa ,)(111nnnazazazg ,Rz 取取,)()(:成成立立上上和和圆圆外外在在圆圆即即zgzfRz 在在圆圆内内有有相相同同个个和和由由路路西西定定理理)()()(,zgzfzf.数的零点数的零点在圆内的零点数为在圆内的零点数为n在圆内的零点
10、数也为在圆内的零点数也为n,)()(zgzf 又又因因在在圆圆上上和和圆圆外外,在在圆圆上上和和圆圆外外无无根根0)()(zgzf,1)()(,zfzgR使使充充分分大大.个根个根所以原方程有所以原方程有n例例2 的的关于圆周关于圆周求函数求函数 zzzzf2cos11)(2对数留数对数留数.解解,012得得令令 z()1cos20,g zz再令得有无穷多个零点有无穷多个零点)(zg,0)(ng且且所以这些零点是二级零点所以这些零点是二级零点,.,)(iizf 有有两两个个一一级级零零点点.,2,1,0,nnzn,04)(2 ng从而是从而是 f(z)的二级极点的二级极点.的的内内部部有有因因为为在在圆圆周周 z:和七个二级极点和七个二级极点,24 z所以由对数留数公式得所以由对数留数公式得 d)()(21zzzfzfi272 .12 的两个一级零点的两个一级零点)(zf,00 z,12 z,11 z,23 z,35 z.36 z思考题思考题.10154内内根根的的个个数数在在区区域域求求方方程程 zzz思考题答案思考题答案只有一个根只有一个根.
