1、总界面总界面 结束结束 第七节第七节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程一阶常系数齐次线性差分方程的求解一阶常系数齐次线性差分方程的求解一阶常系数非齐次线性差分方程的求解一阶常系数非齐次线性差分方程的求解思考题思考题小结小结内容回顾内容回顾第十章第十章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程CH10 2/34 1.差分的定义差分的定义 2.差分方程与差分方程的阶差分方程与差分方程的阶 3.差分方程的解、初始条件和通解、特解差分方程的解、初始条件和通解、特解 4.常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构内容回顾内容回顾CH10 3/34为为未未知知函函数数为为已已知知函函数数
2、，其其中中程程一一阶阶常常系系数数线线性性差差分分方方的的方方程程为为为为常常数数形形如如xxxyxfaxfayy)(.)0()(1 一阶常系数线性差分方程的求解一阶常系数线性差分方程的求解为为非非齐齐次次的的时时称称为为齐齐次次的的当当0)(,0)(xfxfCH10 4/34一、一、一阶常系数一阶常系数齐次齐次线性差分方程的求解线性差分方程的求解迭迭代代法法.1)1()0(01 aayyxx中中得得，依依次次代代入入将将xxayyx 1,2,1,0.,021201yaayyayy ),2,1,0(0 xyayxx一般的，一般的，为为已已知知，设设0y,2,1,0 xCayCyxx的的通通解解
3、形形式式为为次次线线性性差差分分方方程程为为任任意意常常数数，则则一一阶阶齐齐令令为为迭迭代代法法。方方程程的的解解。这这个个方方法法称称因因此此是是差差分分满满足足差差分分方方程程容容易易验验证证，.0yayxx 这是等比数列所满足的关系式这是等比数列所满足的关系式,由等比数列通项公式由等比数列通项公式CH10 5/34 21 axxCy 21021 xxyy例例1 求求的通解的通解.解解:故原方程的通解为故原方程的通解为其中其中C为任意常数为任意常数.0)21(1 xxyy原原方方程程可可改改写写为为CH10 6/342.特征根法特征根法设设代入方程得：代入方程得：得得故故是齐次方程的一个
4、解，是齐次方程的一个解，从而从而是齐次方程的通解是齐次方程的通解,C为任意常数为任意常数.(是齐次方程的特征方程是齐次方程的特征方程)(特征根特征根)1()0(01 aayyxx)0(xxy01 xxa ,0 x 0 a a xxay xxCay ，根根据据xxxxaaaaa11 ）变变形形为为方方程程（1 )0(01为常数为常数 ayayxx.函函数数的的形形式式一一定定为为某某一一指指数数可可以以看看出出xyCH10 7/34 20 yxxCy 31xxy 312031 xxyy20 y例例2 求求满足初始条件满足初始条件的解的解.解解:故故原方程的通解为原方程的通解为由初始条件由初始条件
5、得得C=2.所以所以即为所求特解即为所求特解.31 013 031 xxyy原原方方程程可可改改写写为为特征方程是特征方程是CH10 8/34 nnCy5 为为：由由上上讨讨论论知知方方程程的的通通解解53530 Cy代代入入得得：将将件的特解为：件的特解为：所以原方程满足初始条所以原方程满足初始条153553 nnny530501 yyynn其其中中求求解解差差分分方方程程练习练习解解:05 特征方程是特征方程是5 CH10 9/34二、一阶常系数二、一阶常系数非齐次非齐次线性差分方程的求解线性差分方程的求解 由上节定理由上节定理3知道知道,差分方程差分方程(2)的通解应由的通解应由对应齐次
6、差分方程的通解对应齐次差分方程的通解(前面已学过前面已学过)和和非齐次非齐次差分方程的特解差分方程的特解两部分组成两部分组成.我们只学习后部分我们只学习后部分.求解方程非齐次方程的特解求解方程非齐次方程的特解,常用的方法是常用的方法是待待定系数法定系数法,以下对常见的类型以下对常见的类型,分别介绍特解的求分别介绍特解的求解方法解方法)2()0()(1 axfayyxxCH10 10/34.)()0()(.11次次多多项项式式）为为（其其中中nxPxfaxfayynxx xxxyyy 1 由由方程要恒等，应设：方程要恒等，应设：若若,1 )1(a)()1(xPyaynxx nnnnnaxaxax
7、axQxy 21110)()(方程要恒等，应设：方程要恒等，应设：若若,1 )2(a)()()(21110nnnnnaxaxaxaxxxQxy );(xQxynk 特解可设为：特解可设为：是是特特征征方方程程的的根根不不是是特特征征方方程程的的根根1 ,11 ,0k xPxfn 1.型型 也也应应该该是是多多项项式式，是是多多项项式式，因因此此由由于于 xnyxp .1 次次多多项项式式是是次次多多项项式式，是是且且 nynyxxCH10 11/34 031 xxyyxxCY3 设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为ayx (3)非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为 13 =+=*xxxxC
8、yYy123 aaa1 xy231 xxyy例例3 求求的通解的通解.(1)先求相应的齐次方程先求相应的齐次方程解解:的通解：的通解：代入原方程得：代入原方程得：03 特征方程是特征方程是3 通解：通解：不不是是特特征征方方程程的的根根，1)2(CH10 12/34解解.3221的的通通解解求求差差分分方方程程xyyxx 对应齐次方程通解对应齐次方程通解(1)(1)特征方程特征方程，02 特征根特征根，2 xxCY2 不不是是特特征征方方程程的的根根，1)2(，设设2120bxbxbyx 代入方程代入方程,得得，可可得得方方程程组组。比比较较两两端端同同次次幂幂的的系系数数9632 xxyx于
9、于是是（3 3）原方程通解为）原方程通解为.96322 xxCyxx2212021203)(2)1()1(xbxbxbbxbxb 例例4963210 bbb，可算得：可算得：CH10 13/34 11 xyyxx10 y例例5 求差分方程求差分方程满足满足的特解的特解.01 xxyy解解:(1)对应的齐次方程对应的齐次方程CYx 设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为 xbaxyx 21,21 baxxyx21212 (3)非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为xxCyx21212 10 y1 Cxxyx212112 所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为通解为通解为所以
10、所以bxax 2代入方程得代入方程得 1)1(122 xbxaxxbxa12 xbaax112 baa所以所以（4）由）由101 特征根为特征根为特征方程为特征方程为是是特特征征方方程程的的根根，1)2(CH10 14/34解解:代代入入原原方方程程故故设设因因,3)(,15Kyxfx 4335 KKK得得,543xxCy 方方程程的的通通解解为为12374337370 Cy代入，则代入，则将将4351237*xxy故故方方程程的的特特解解CH10 15/34解解:)3(23)2)(1(23xxxxxxx )3(xyx 则则)1()(nnnxx 由由)(41)4(为为任任意意常常数数故故方方程
11、程的的通通解解为为CCxyx 4)4(xyx 得得CY 通通解解：得得对对应应齐齐次次差差分分方方程程的的由由01.1简简单单的的方方式式求求解解这这类类方方程程可可用用另另一一种种较较是是特特征征方方程程的的根根，右右边边为为阶阶乘乘函函数数方方程程左左边边为为xy 43341,xdxxyxy则则想想CH10 16/34(1)当当0、1 时时,即类型即类型1.xxxzy(2)当当0、1时时,设设 xPxfnx 型型2.可化为可化为类型类型1.10 且且为为常常数数，*,1 xz可可得得到到解解：的的方方法法根根据据*xxz 特特解解为为：则则可可得得到到原原差差分分方方程程的的)2()0()
12、(1 axfayyxx代入方程得代入方程得 xpzaznxxxxx 11 xpazznxxx 1 ，即即得得消消去去1类型类型CH10 17/34 xxxxyy21 例例7 求差分方程求差分方程的通解的通解.01 xxyy解解:(1)对应的齐次方程对应的齐次方程 xxCY1 xxxzy 2(2)令令xzzxx 129231 xzx可求得特解可求得特解 92312xyxx(3)原方程的通解为原方程的通解为 923121xCyxxx通解为通解为,得原方程的特解为得原方程的特解为,原方程化为原方程化为 xxxxxxzz22211101得得特特征征根根由由 化为化为类型类型1 1了了CH10 18/3
13、4 xxxyy221 例例8 求差分方程求差分方程的通解的通解.021 xxyy解解:(1)对应的齐次方程对应的齐次方程 xxCY2 xxxzy 2(2)令令211 xxzzxzx21 求得特解求得特解xxxy221 (3)原方程的通解为原方程的通解为xxxCy221 通解为通解为,原方程化为原方程化为,得原方程的特解为得原方程的特解为 xxxxxzz222211特征方程特征方程，02 特征根特征根，2 CH10 19/34解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程，0 a 特征根特征根，a xxaCY ，原方程化为，原方程化为设设xxxzy 2121 xxazz.21的的通通解解求
14、求xxxayy 2121 xxzaz即即 xxxxxzaz22211例例8CH10 20/34 时时是是特特征征方方程程的的根根，即即211 a；特解特解xzx21 时时不不是是特特征征方方程程的的根根，即即212 a；特解特解azx 21；于是于是 22212221aaaxyxxx.22212221 aaCaaxCayxxxxx即通解即通解CH10 21/34),(),()(),()(2121nynynfnfnf 定定对对应应的的的的和和组组成成，则则可可分分别别设设是是由由两两个个结结构构的的函函数数另另外外，如如果果.),()(,21进进一一步步可可得得通通解解得得整整个个方方程程的的特
15、特解解为为：代代入入方方程程求求出出特特解解nynyy CH10 22/34xbxbayyxx sincos211 差分方程为差分方程为(1)时时当当0sin)(cos22 aD，为待定系数为待定系数令令),(sincos2121BBxBxByx 代代入入原原方方程程得得到到11sin)(cos2bBaB 221)(cossinbaBB 型型xbxbxf sincos)(21 3.CH10 23/34 sin)(cos1211babDB 解解方方程程组组得得 sin)(cos1122babDB xBxBAayxx sincos21 通解为通解为(2)(2)sincos(021xBxBxyDx
16、时，令时，令当当代代入入原原方方程程得得 xbxbxBBxBBaxBBxBBa sincossin)sincos(sin)(coscos)sincos(sin)(cos2112122121 CH10 24/34的充要条件为的充要条件为注意到注意到0 D 1)12(12,0sin0cosakaka 或或即即 得得为为整整数数，将将上上式式代代入入其其中中 k22112211,bBbBbBbB 或或，故故得得方方程程的的通通解解为为或或由由于于11 aa xkbxkbAyxkbxkbxAytxx )12sin()12cos()1()2sin2cos(2121 或或CH10 25/348例例)3co
17、s3cos(.3sin.3cos3sin.3cos.3sin421211xBxBxDxBCxBxBBxBAxyyxx 的特解形式为的特解形式为解解.,03sin)13(cos,22BDB故故取取但但是是或或显显然然，只只能能取取 CH10 26/34解解xxAy5 对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解,0,2sin2cos21 DxBxByx且且又又设设 05152121BBBB代入原方程为代入原方程为1251,2626BB 解解之之得得到到xxAyxx2sin2612cos2655 所所求求通通解解为为CH10 27/34 .1221的的通通解解求求差差分分方方程程nnnenyy 例例8解解
18、:21953210 eAaa比较系数有：比较系数有：nneneAAeaana 12)2(33100neenny219532)(所以：所以：nnneenCy219532)2(所求通解为：所求通解为：C为任意常数为任意常数.nCy）（：对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解为为2 代入方程有：代入方程有：则：则：nAeanay 10nAenyanany )()(2101设设CH10 28/34 求解非齐次线性方程的通解求解非齐次线性方程的通解,除了利用线性方程除了利用线性方程解的结构定理解的结构定理,通过分别求出对应齐次方程通解和非通过分别求出对应齐次方程通解和非齐次方程一个特解的方法实现外齐次方程
19、一个特解的方法实现外,还可以直接用迭代还可以直接用迭代法计算法计算,将方程改写成将方程改写成迭代方程形式来求解迭代方程形式来求解.,2,1)(,2,1)(11 nnfayynnfayynnnn改改写写为为：方方程程：有递推形式为：有递推形式为：)1()0()1()0(021201fafyafayyfayy )2()1()0(2033faffayayCH10 29/34由数学归纳法可证：由数学归纳法可证：,2,1),()1()2()1()0(0210nnyyanfnaffafayaynnnnn)1()1()2()1()0()(1021 infanfnaffafanyniinn其其中中：.,00为
20、为任任意意常常数数的的通通解解为为对对应应齐齐次次方方程程为为原原方方程程的的特特解解ycyan CH10 30/34)1(2)(,3110 infanfaniin代代入入将将)31(2651611)61(12)61(22)31(111101101 nnnnniinniiniy.53256)31()31(2651)31(11111为任意常数为任意常数所求通解为：所求通解为：CCCCynnnnn .2311的的通通解解求求差差分分方方程程nnnyy 例例9解解:CH10 31/34思考题思考题代代入入原原方方程程有有：设设为为：，对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解因因212022ananayC
21、yan 12)()2(22101020 naaanaana5425,4,22210 nnyaaa所以：所以：比较系数得：比较系数得：为任意常数为任意常数其中其中所求通解为：所求通解为：CnnCnyn5422)(2 .12221的的通通解解求求差差分分方方程程 nyynn解解:CH10 32/34一、一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解一阶常系数齐次线性差分方程的求解特特征征根根法法迭迭代代法法;为为任任意意常常数数通通解解形形式式为为CCayxx,)(001 aayyxx小结小结二、非齐次方程的求解二、非齐次方程的求解 关键是求非齐次特解关键是求非齐次特解,本节求特解要求掌本节求特解要求掌握待
22、定系数法：握待定系数法：);(xQxynk 特解可设为：特解可设为：是是特特征征方方程程的的根根不不是是特特征征方方程程的的根根1 ,11 ,0k xPxfn 1.型型CH10 33/34(1)当当0、1 时时,即类型即类型1.xxxzy(2)当当0、1时时,设设 xPxfnx 型型2.可化为类型可化为类型1.10 )(1 且且为为常常数数，方方程程化化为为xPazznxx*,1 xz可可得得到到解解：的的方方法法根根据据*xxz 特特解解为为：则则可可得得到到原原差差分分方方程程的的)2()0()(1 axfayyxx总界面总界面 结束结束 作作 业业P419 ex 1,2,3(偶偶),4(奇奇)预习：预习：第八节第八节第十章第十章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程
