1、任意角及其度量任意角及其度量1.初中所学角是如何定义的？初中所学角是如何定义的？2、平面内由一条射线绕着、平面内由一条射线绕着其端点从初始位置其端点从初始位置旋转旋转到到终止位置所形成的图形。终止位置所形成的图形。1 1、从一点出发的两条射线所、从一点出发的两条射线所组成的图形组成的图形oAB始边终边顶点2.初中学习过哪些角？初中学习过哪些角？3.初中学习的角大小范围？初中学习的角大小范围？0360锐角、直角、钝角、锐角、直角、钝角、平角、周角平角、周角1.钟表的指针旋转钟表的指针旋转角的形成2.自行车的车轮周而复始地转动自行车的车轮周而复始地转动 一根辐条一根辐条3.在跳水运动中，在跳水运动
2、中，“转体转体720”、“转体转体1080”等动等动作名称的含义作名称的含义旋转形成的角有不同的方向和大小，旋转形成的角有不同的方向和大小，为了准确刻画为了准确刻画不同状态的角不同状态的角，需要，需要推广角的概念。推广角的概念。按按逆时针逆时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角.按按顺时针顺时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角.如如=-150.=-150.没有作任何旋转没有作任何旋转的角的角.记作记作=0.正角：正角：负角：负角：零角：零角：角的概念推广后，它包括任意大小的角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角正角、负角和零角任意角任意角2.钟表经过钟表经过4小时，时针与小时，
3、时针与分针各转了分针各转了_ -120、-14401.从中午从中午12点到下午点到下午3点，点，时针走过的角度是时针走过的角度是 -900看谁答得快看谁答得快在直角坐标系内在直角坐标系内,角的顶点与原点重合角的顶点与原点重合,始边与始边与x轴的正半轴重合轴的正半轴重合,那么角的终那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是边在第几象限，我们就说这个角是第第几象限角几象限角.xyoB2角的位置角的位置:1.象限象限角角B1终边定位置终边定位置xyo2.非象限角（界限角、轴线角）非象限角（界限角、轴线角）当角的终边不落在象限内当角的终边不落在象限内,这样的角这样的角还是象限角吗还是象限角吗?终边落在终
4、边落在x轴轴和和y轴轴上的角上的角xyo否否1.在直角坐标系中，作出下列各角在直角坐标系中，作出下列各角（1）30 （2）120（3）-60 （4）225指出它们是第几象限角指出它们是第几象限角30 是第一象限角是第一象限角120 是第二象限角是第二象限角-60 是第四象限角是第四象限角225 是第三象限角是第三象限角xyo2.2.在同一直角坐标系内作出在同一直角坐标系内作出3030、390390、-330-330、750,观察它观察它们终边的位置关系们终边的位置关系与与3030终边相同的角的集合终边相同的角的集合=30=30 k k360360,kZ,kZ390=30+-330=30+136
5、0(-1)360750=30+2360归纳归纳:终边相同的角的表示方法终边相同的角的表示方法归纳：归纳：一般地一般地,所有与角所有与角终边相同的终边相同的角，连同角角，连同角在内，可构成一个集合在内，可构成一个集合 S=S=+k k360360,kZ,kZ角的关系角的关系:(4)终边相同的角不一定相等，但相等终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角的角终边一定相同，终边相同的角有有无数无数多个，它们多个，它们相差相差360的整数倍的整数倍注意以下四点：注意以下四点：Zk(1)(2)是是任意角任意角；0360k0360k0360k(3)与与 之间是之间是“+”号，号，如如 -
6、30，应看成，应看成 +(-30)写出与写出与60终边相同的角的集合终边相同的角的集合=60 k360,kZ写出与写出与0终边相同的角的集合终边相同的角的集合=0 k360,kZ写出终边在写出终边在y轴正半轴上的角的集合轴正半轴上的角的集合=90 k360,kZ写出终边在写出终边在y轴上的角的集合轴上的角的集合=90 k180,kZ辩一辩辩一辩.下列命题中正确的是下列命题中正确的是()A.终边在终边在y轴上的角是直角轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角第四象限角一定是负角 D.若若360（Z），则），则与与终边相同终边相同D判断任意角的位置判断任
7、意角的位置例例1 1：判断判断-200-200，20002000，10601060 ，630630 ，-496-496 各属于哪个象限？各属于哪个象限？思路点拨：思路点拨：先将任意角化成先将任意角化成+k k360360,kZ,kZ，0 0360再判断再判断所在象限所在象限最小正角最小正角判断任意角的位置判断任意角的位置变式练习：变式练习：落在区间落在区间(-540-540，-450-450)内，则内，则在在第第_象限象限三三用集合表示第三象限角：用集合表示第三象限角：|180 k360 270 k360,kZ例例2.写出与写出与60角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合S,并把并把S中适合
8、不等式中适合不等式-360 720 的元素的元素写出来写出来.解解S=60+k 360,kZ.S中适合中适合-360 720 的的元素是元素是:60 -1360=-300,60 +0360=60,60 +1360=420.写出与写出与-45角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合S,并把并把S中适合不等式中适合不等式-720360的元素的元素写出来写出来.S=-45+k 360,kZ.S中适合中适合-720 360的的元素是元素是:-405-45315解解模仿一下吧能力提升 角角的终边经过的终边经过P(-3,0),则角则角()A.是第三象限角是第三象限角B.是第二象限角是第二象限角C.既是第二
9、象限角又是第三象限角既是第二象限角又是第三象限角D.不属于任何象限不属于任何象限D已知已知A=第一象限的角第一象限的角,B=锐角锐角,C=小于小于90的角的角,则下列关系式正确的是则下列关系式正确的是()A.A=B=CB.BC=AC.AC=BD.BC=CD若若是锐角是锐角,则则k180+,(kZ)所在的象限是所在的象限是()A.第一象限第一象限 B.第一、二象限第一、二象限C.第一、三象限第一、三象限 D.第一、四象限第一、四象限C角角的的概概念念角的角的大小大小角的角的位置位置角的角的关系关系正角正角 负角负角 零角零角象限角象限角轴线角轴线角同终边角同终边角小结：小结：1.掌握掌握终边相同
10、的角终边相同的角的的表示方法及判定表示方法及判定2.2.注意注意：0 00 0到到90900 0的角；的角；0 00 03603600 0的角；的角；第一象限角；锐角；第一象限角；锐角；小于小于90900 0的角的区别的角的区别1.通过实例和旋转运动，使学生理解角的通过实例和旋转运动，使学生理解角的概念推广的必要性概念推广的必要性2.理解任意角的概念，根据角的终边理解任意角的概念，根据角的终边 旋转方向旋转方向,能判定正角、负角和零角能判定正角、负角和零角教学目的教学目的:3.学会建立直角坐标系来讨论任意角学会建立直角坐标系来讨论任意角,能够根据终边判断象限角能够根据终边判断象限角,掌握终边掌
11、握终边 相同角的表示方法相同角的表示方法教学重点教学重点:4.培养学生用运动变化的观点审培养学生用运动变化的观点审 视事物视事物;通过与数的类比通过与数的类比,理解正理解正 角、负角和零角角、负角和零角,让学生感受图让学生感受图 形的对称美、运动美形的对称美、运动美1.任意角的概念，象限角的概念任意角的概念，象限角的概念2.掌握终边相同的角的表示方法掌握终边相同的角的表示方法 及判定及判定突破方法：突破方法：教学难点教学难点:把终边相同的角用集合和符号语言把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来正确地表示出来在平面内建立适当的坐标系，通过数在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几
12、何表示和终边相形结合来认识角的几何表示和终边相同的角集合同的角集合角的大小如何度量？角的大小如何度量？思考思考1 1：在平面几何中，：在平面几何中，1 1 的角是怎样规的角是怎样规定的？定的？将圆周分成将圆周分成360360等份，每一段圆等份，每一段圆弧所对的圆心角就是弧所对的圆心角就是1 1 的角的角.在在角度制下，当把两个带着度、分、角度制下，当把两个带着度、分、秒秒各单位各单位的角相加、相减时，由于运算进的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困率非十进制，总给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角单位，使难那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规
13、在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？的十进制加减法一样去做呢？思考思考2 2：在半径为：在半径为r r的圆中，圆心角的圆中，圆心角n n所所对的圆弧长如何计算？对的圆弧长如何计算？2360rln联想：有了角的度量，可以计算弧长，联想：有了角的度量，可以计算弧长，那么能否利用弧长表示角的大小？那么能否利用弧长表示角的大小？观察上述式子，有观察上述式子，有_个变量，角度大个变量，角度大小由小由_确定确定2360rln180rn弧长与半径的比值弧长与半径的比值3比值比值 只与只与n有关，不会随半径变化而变化。有关，不会随半径变化而变化。所以可以用这个比值来表示角度。所以可以用
14、这个比值来表示角度。lr180为定值OPPQQrr,180180n rn rll180llnrr定义定义:把长度等于半径长把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做的圆弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角，记作弧度的角，记作1rad1rad，读作读作1 1弧度弧度.O OA AB Br rr r1rad1rad弧度制弧度制弧度制在数学和其他学科研究中经常弧度制在数学和其他学科研究中经常用到，将为三角函数建立带来方便用到，将为三角函数建立带来方便约定：正角的弧度数为正数，负角的弧约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数度数为负数，零角的弧度数为为0.0.思考思考3 3：如果将半径为如果
15、将半径为r r圆的一条圆的一条半径半径OAOA，绕圆心顺时针旋转到，绕圆心顺时针旋转到OBOB，若弧，若弧ABAB长为长为2r2r，那么，那么AOBAOB的大小为多少弧度？的大小为多少弧度？2 2 radradB2rOAr弧度数的计算弧度数的计算p32O思考思考4 4：如果半径为如果半径为r r的圆的圆心角的圆的圆心角所所对的弧长为对的弧长为l，那么，角，那么，角的弧度数的绝的弧度数的绝对值如何计算？对值如何计算？rl思考：思考：1 1等于多少弧度？等于多少弧度？1rad1rad等于多少等于多少度？度？01120.01745360180radrad00001180136057.3057 182
16、rad探究：度与弧度的换算探究：度与弧度的换算 分析：分析：由定义，由定义，1弧度弧长弧度弧长l等于半径长等于半径长r，相，相当于原周长当于原周长2r的的 ，所以所以1弧度相当于弧度相当于360 的的1212反之，反之，1 是圆周角的是圆周角的 ，即，即2的的13601360探究：度与弧度的换算探究：度与弧度的换算 01801rad01180rad对于角对于角，设它的角度为，设它的角度为n，弧度为，弧度为，则则180n180n从定值角度理解则有从定值角度理解则有180n知识应用知识应用 例例1 1 按照下列要求，把按照下列要求，把67673030化成弧度：化成弧度：（1 1）精确值；）精确值；
17、（2 2）精确到）精确到0.0010.001的近似值的近似值.练习：将下列各度化为弧度练习：将下列各度化为弧度150，22 223030，-202-202计算器例将例将3.14rad3.14rad换算成角度（用度换算成角度（用度数表示，精确到数表示，精确到0.0010.001）练习：将下列各度化为弧度练习：将下列各度化为弧度343105(0.01)精确到度角度制与弧度制互化时要抓住角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键弧度这个关键180思考思考3 3：根据度与弧度的换算关系，下表根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？中各特殊角对应的弧度数分别是多少？今后用弧度制表示角时
18、，今后用弧度制表示角时，“弧度弧度”二字二字或或“radrad”通常略去不写，而只写该角所通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数对应的弧度数.如如=2=2表示表示是是2rad2rad的角，的角，sin1.2sin1.2表示表示1.21.2弧度的角的正弦弧度的角的正弦.度度0 00 030300 045450 060600 090900 01201200 01351350 01501500 01801800 02702700 03603600 0弧弧度度0 06432324365232思考思考4 4：在弧度制下，角的集合与实数集在弧度制下，角的集合与实数集R R之间可以建立一个一一对应关系，这个
19、之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？对应关系是如何理解的？三角函数定义域为R设扇形的圆心角为设扇形的圆心角为(02)，半径，半径为为r，弧长为，弧长为l，面积为，面积为S，求证：，求证：(1)l=r21(2)2Sr1(3)2Slr引进弧度制后，扇形的弧引进弧度制后，扇形的弧长和面积公式显得简单了长和面积公式显得简单了莱昂哈德莱昂哈德欧拉（欧拉（Leonhard Euler，1707年年4月月15日日1783年年9月月18日），瑞士数学家和物理学家，近代数学日），瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一。先驱之一。1707年欧拉生于瑞士的巴塞尔，年欧拉生于瑞士的巴塞尔，13岁时
20、入岁时入读巴塞尔大学，读巴塞尔大学，15岁大学毕业，岁大学毕业，16岁获硕士学位。欧岁获硕士学位。欧拉是数学史上最多产的数学家之一，平均每年写出八百拉是数学史上最多产的数学家之一，平均每年写出八百多页的论文。多页的论文。在三角学方面，他首先提出弧度制思想，把半径在三角学方面，他首先提出弧度制思想，把半径1作为作为弧的度量单位，这一思想将线段与弧的度量统一起来，弧的度量单位，这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算。大大简化了三角公式及计算。例例3 用弧度制表示用弧度制表示 轴上的角的集合）终边在（x1轴上的角的集合）终边在（y2(1)2xkkZ解：若 终边在 轴正半轴，则=，
21、2+xkkkZ若 终边在 轴负半轴，则=，=,kkZ 合并两部分结果，则(2)|,Z2kk(1)(2)练习：用弧度制表示：终边在坐标轴上的角的集合；第一、二、三、四象限的角的集合；(1)|,Z2kk 解：(2)2,2(Z)2kkk2,2(Z)2kkk32,2(Z)2kkk32,(22)(Z)2kkk练习练习3 写出终边落在阴影部分写出终边落在阴影部分(含边界含边界)的角的集合的角的集合练习练习4 如果一扇形的如果一扇形的圆心角为圆心角为72，半径，半径等于等于20cm，则扇形的，则扇形的面积为面积为240.cmA280.cmB240.cmC240.cmD练习练习5 如果一扇形的面积为如果一扇形
22、的面积为1，周长为，周长为4，则中心角的弧度数为则中心角的弧度数为_2421212RRR4.?2例若，则22(Z)2kkk解：24kk2(Z)2224kn nnn当时，；521(Z)(21)2.24knnnn当时，2 或 1234123412右图中的 表示第一象限的角所对应的角终边所在的范围。2当,时，的终边的范围也分别如图所示。.,2,32变式练习，问：的终边在什么位置？22(Z)2kkk解：22(1)(Z)3336kkk3(Z)2236kn nnn当时，；2531(Z)22336knnnn当时，；4332(Z)22.332knnnn当时，3 或或 13也可利用右图，三个 所在的区域就是终边
23、所在的象限。(2)424kk2y终边在第一、二象限或轴正半轴。(3)42kk 2或则半径为设扇形的中心角为,r如果一扇形的周长为如果一扇形的周长为20cm，问扇形的半径和圆心角，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？各取什么值时，才能使扇形的面积最大？rrrr220,202221rS扇形222021rrr210)10(rrrr,5)1(210时当r2,25max此时扇形S扇形面积最大时圆心角为扇形的半径为答,2,5:radcm拓展练习拓展练习5(1)2,2(Z)43(2),(Z)643(3)2,2(Z)43kkkkkkkkk画区域：436443(1),(2),(3),xy 若
24、角与角的终边互为反向延长线，则之间满足关系式_若角与角的终边关于轴对称，则之间满足关系式_若角与角的终边关于轴对称，则之间满足关系式_(1)2,Zkk解：(2)2,Zkk(3)2,Zkk(1)(2)2(3)2(4)(5)(6)222若，判断象限：；。(1)2解：将顺时针旋转，(2)只需考虑，第二象限(3)将逆时针旋转，第一象限。(4)x先关于轴对称，第四象限第二象限。x而与终边关于轴对称，再逆时针旋转，(5)2，则,，22从而,.(6)2,2 ,2,1748年，欧拉发表著名的年，欧拉发表著名的无穷小分析引论无穷小分析引论一书，一书，指出：指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值三角函数是一种
25、函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为这个角的顶点为圆心圆心，以某定长为半径作圆，由角的，以某定长为半径作圆，由角的一边与一边与圆周圆周的交点的交点P向另一边作向另一边作垂线垂线PM后，所得的后，所得的线段线段OP、OM、MP(即函数线即函数线)相互之间所取的比值相互之间所取的比值(如图八如图八)，sin=MP/OP，cos=OM/OP，tan=MP/OM等。若令半径为单位长，那么所有的六个三等。若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化。角函数又可大为简化。欧拉的这个定义使三角学从静态地只是
26、研究三角形解欧拉的这个定义使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形几何图形去去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是才是三角学三角学的的真正真正确立确立。
