1、1 1 1一、线性相关与线性无关的定义一、线性相关与线性无关的定义二、向量组线性相关的充要条件二、向量组线性相关的充要条件第二讲第二讲第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性三、向量组线性相关性的判定定理三、向量组线性相关性的判定定理2 2 2定义 对于向量组 ，若存在不全为零的数 ，使得)1(,21 mm mkkk,2102211 mmkkk 成立，则称向量组 线性相关.m ,21若当且仅当 时，等式021 mkkk02211 mmkkk 才成立，则称向量组 线性无关.m ,21一、向量组线性相关、线性无关的定义一、向量组线性相关、线性无关的定义3 3 3例1.判别向量组 1111
2、32421321 ,的线性相关性.解:由定义1231212310411 kkk上式即下面的线性方程组4 4 4 因此，考虑向量组的线性相关性等价于考虑相应的齐次线性方程组是否有非零解.12312312320230.40kkkkkkkkk可以验证:1231,3,7kkk是该齐次线性方程组的解，即073321 所以该向量组是线性相关的.5 5 5的线性相关性.333223121321 ,例2.判别向量组6 6 6事实上，要考察 是不是线性相关，就是要看有没有不全为零的数 使321 ,321x,x,x0332211 xxx 0320322033321321321xxxxxxxxx2211 xx 03
3、21 xxx有无非零解，因为其系数矩阵非奇异，即系数矩阵的秩为 (向量的个数向量的个数)，因此方程组只有零解，即当且仅当 时才有 ，这表明 线性无关.3033 x321 ,即看方程组 333223121321 ,7 7 72.包含零向量的任何向量组是线性相关的.是两向量共线；充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义它线性相关的对于含有两个向量的向量组,.3 注意注意.,0,0,1.线性无关则若线性相关则若时向量组只包含一个向量 8 8 8定理1 向量组线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.二、向量组线性相关的充要条件二、向量组线性相关的充要条件定理2 向量组 线性
4、相关的充是小于向量的个数向量组线性无关的充要条件要条件是它所构成的矩阵 的秩9 9 912341,1,2,0,1,0,1,0,1,0,0,1TTTT例如：一定线性相关.nA min,R Am nnm推论：对 个 维向量，若 ，则该向量组线性相关.证：记这些向量组成的矩阵为 ，则则 由定理2知该向量组线性相关.mnm 101010例1 讨论向量组的线性相关性.1231,1,1,0,2,5,1,3,6TTT32213152101101101123022022156055000rrrrrrA 解:(向量个数)，所以线性相关.23R A 111111例2 讨论3维单位向量的线性相关性.解:因为所以向量
5、组线性无关.1231000,1,0001eee 123,3R AR e e e121212.,线性无关试证线性无关已知向量组321133322211321bbbbbb 0 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有,0)()()332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 .0 ,0 ,0 322131xxxxxx证证例例3 3,0)()(133322211 xxx）（即13131302 110011101 由于此方程组的系数行列式.,321线性无关bbb ，所以向量组故方程组只有零解0321xxx 141414三三.向量组线性相关性的几个判定定
6、理向量组线性相关性的几个判定定理r,21 定理3 若 线性相关，则 也线性相关.mrr,121 m,211 r若 维向量组 线性无关，则维向量组 也线性无关.rm,21,rrTiiiiiim1211,rTiiiiim121定理4 设151515例例4 讨论下列向量组的线性相关性.1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTeee321 ,解:因为向量组 分别是由321e,e,e加上一个分向量得到的,而321 ,线性无关，所以 也线性无关.123100010,001242 1616161.线性相关与线性无关的概念；2.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个充要条件，两个定理（难点难点）小结小结:
