1、第十八章 隐函数定理及其应用第五节隐函数的求导公式隐函数的求导公式 8-58-5隐函数的隐函数的 微分法微分法 与一元函数的情形类似，多元函也有隐函数。如果在方程式0),(zyxF中，2),(Ryx时，相应地总有满足该方程的唯一的 z 值存在,则称该方程在 内确定隐函数。),(yxfz 每一个方程都能每一个方程都能 确定一个隐函数吗？确定一个隐函数吗？0122 yx 此外，隐函数不一定都能显化。此外，隐函数不一定都能显化。如果在方程式0),(uXF中，nRX时，相应地总有满足该在 内确定隐函数。)(Xfu 方程的唯一的 u 值存在,则称该方程 将概念推广到一般情形将概念推广到一般情形 一元函数
2、的隐函数的求导法 一、设0),(yxF确定隐函数。)(xfy 若,),(1CyxF则对方程两边关于 x 求导，得0),(yxF0ddxyyFxF从而得到一元隐函数求导公式这是利用多元函数的偏导数求这是利用多元函数的偏导数求一元函数的隐函数导数的公式一元函数的隐函数导数的公式设,022yxxy求。xydd解令,22),(yxxyyxF则xF2ln2xyyF2ln2yx故xyddyFxF2ln22ln2yxxy)02ln2(yx例例二二、由一个方程确定、由一个方程确定 的隐函数的求导法的隐函数的求导法 定理定理 2(隐函数存在定理)设1.2.3.;),(U(),(0001zyxCzyxF;0),(
3、000zyxF,0),(000zyxFz则方程0),(zyxF在),U(00yx内唯一确定一个函数),(U(),(001yxCyxfz且,),(000yxfz。0),(,(yxfyxF 由隐函数存在定理的条件及一元隐函数求导方法,利用多元函数求导方法，对方程 F(x,y,u)=0 两边关于x,y 求偏导，得 由于,),(U(),(0001zyxCzyxF又,0),(000zyxFz由连续函数性质,),U(00yx在其中,0),(zyxFz 自己算一下，自己算一下，z 对对 x,y 的的偏导数是多少。偏导数是多少。求方程xyez20ze所确定的函数),(yxzz 的偏导数。解令),(zyxFxy
4、e,ze则xF,xyyez2yF,xyxezF,2ze故zFxFxzzxyeye22zxyeye)02(zezFyFyzzxyexe22zxyexe)02(ze例例设0),(xyzzyxF确定),(yxzz 求,xz,yz其中，。1CF 解xF,21FyzFyF,21FxzFzF,21FxyFxz21FyzF21FxyFyz21FxzF21FxyF例例定理定理(隐函数存在定理隐函数存在定理)设1.2.3.；),(U(),(001uXCuXF；0)(0XF,0),(00uXFu则方程0),(uXF在)U(0X内唯一确定一个函数)U()(01XCXfu且,)(00Xfu。0)(,(XfXF 请同学
5、们自己将上面的隐函数存在请同学们自己将上面的隐函数存在定理推广至一般的定理推广至一般的 n 元函数情形元函数情形三三、由方程组确定的、由方程组确定的 隐函数的求导法隐函数的求导法 雅可比行列式雅可比行列式,)(),(121CxxxFunii),2,1(ni),(),(2121nnxxxuuuJ ),(),(2121nnxxxFFF11xF21xFnxF112xF22xFnxF21xFnnnxF2xFn 当所出现的函数均有一阶连续偏导数时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：1.1),(),(),(),(21212121nnnnuuuxxxxxxuuu2.),(),(),(),(),(),(212
6、121212121nnnnnntttxxxxxxuuutttuuu设方程组0),(0),(zyxGzyxF确定函数,)(xzz 求,ddxy。xzdd,1CGF想一想，怎么做想一想，怎么做？,)(xyy 问题问题1 1方程组中每个方程两边关于x 求导：xFxyyFdd0ddxzzFxGxyyGdd0ddxzzG运用克莱满法则解此二元一次方程组运用克莱满法则解此二元一次方程组移项，得xyyFddxzzFddxFxyyGddxzzGddxG当0),(),(zyGF时，方程组有唯一解：xydd ),(),(zxGF),(),(zyGFxzdd ),(),(xyGF),(),(zyGF这样我们实际上已
7、找到了求方程组确这样我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式定的隐函数的偏导数的公式(之一之一)。zGxGzFxFzxGF),(),(xGyGxFyFxyGF),(),(zGyGzFyFzyGF),(),(问题问题2 2设方程组0),(0),(vuyxGvuyxF确定函数,),(yxuu,),(yxvv,1CGF求,xu,yu,xv。yv 利用问题 1 的结论，你可能已经知道应该怎么做了。依葫芦画瓢哦！将将 x 或 y 看成常数看成常数自己动手做！自己动手做！0),(),(vuGF当时，xu),(),(vxGF ),(),(vuGFxv ),(),(xuGF),(),(vuGF 将
8、将 y 看成常数看成常数 公式公式0),(),(vuGF当时,yu),(),(vyGF ),(),(vuGFyv ),(),(yuGF),(),(vuGF 将将 x 看成常数看成常数 公式公式设0022yvuxvu确定函数),(yxuu),(yxvv 求,xu,yu,xv。yv解令,),(2xvuvuyxF,),(2yvuvuyxG则),(),(vuGFvu211214 uv),(),(vxGFv2011v2 xu14uvv2例例同理可得),(),(xuGF0112u1 xv14uv1),(),(vyGFv21101 yu14uv1),(),(yuGF1102uu2 yv14uvu2 问题 1
9、 和问题 2 的方法可以推广到更一般的情形。定理定理(隐函数存在定理)设,),(U(),(001YXCYXFi；mi,2,1,0),(00YXFi1.2.；mi,2,13.0),(),(),(002121YXyyyFFFmm其中，,),(21nxxxX,),(21myyyY方程组0),(,0),(1YXFYXFm则在)U(0X内唯一确定一组函数)(U()(01XCXyIi且,0)(,),(,(1XXXFmi,),2,1(mi。)(,),(0010XXYm一一 问题的提出问题的提出定义定义.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xf
10、y 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题2:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?问题问题1:隐函数是否可导隐函数是否可导?二二 隐函数求导法隐函数求导法.01dxdyyexyey的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程例例 yexydxdy ,求导求导方程两边对方程两边对x解解0 ydxdyxdxdyey直接对方程两边求导直接对方程两边求导例例2 2.)0,0(,02357处的值处的值在点在点求求设设yyyxx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x05212146 yyyx得得代入代入0,0 yx;2100 yxy求求导导得
11、得两两边边再再对对将将上上方方程程x05)(2021264235 yyyyyx得得2100 yxy,0,0 yx代代入入.000 yxy三三 对数求导法对数求导法1 对数求导法对数求导法2 2 适用范围适用范围:.)()(的求导的求导数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu先在先在 两边取对数两边取对数,然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导方法求出求导方法求出y的导数的导数.)(xfy 幂指函数求导：幂指函数求导：)0)()()(xuxuyxvydxdyydxd 1ln然后两端取导数然后两端取导数ydxdyyln 得得)()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuyxv
12、所以所以uvylnln 先先两两端端取取对对数数例例3 3解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 函数函数的导数也可转化为指数的导数也可转化为指数xxysin 的导数的导数求导方法，求出求导方法，求出然后利用复合函数然后利用复合函数的导数的导数yeyxx ,lnsin)1sinln(cos )ln(sin)(lnsinlnsinlnsinxxxxexxeeyxxxxxx )sinln(cossinx
13、xxxxx 例例4 4解解等式两边取对数得等式两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy求导得求导得上式两边对上式两边对 x4131)2(11121 xxxxyy.,)4)(3()2)(1(yxxxxy 求求设设4131)2(111)4)(3()2)(1(21 xxxxxxxxy四四 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx xy2 消参数法消参数法 消参困难或无法消参的求导可用复合函数消参困难或无法消参的求导可用
14、复合函数 求导方法求导方法1 由参数方程确定的函数的定义由参数方程确定的函数的定义2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法由参数方程所确定的函数的求导数的方法2xy 例如例如 t ttyt tx2114),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt ,)()(中中在方程在方程 tytxdtdxdtdydxdy 故故,)()(二阶可导二阶可导同样得到函数同样得到函数 tytx)
15、(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 故故例例5 5解解:先求运动的方向先求运动的方向。的运动方向和速度大小的运动方向和速度大小抛射体在时刻抛射体在时刻求求设抛射体的运动方程为设抛射体的运动方程为tgttvytvx ,21,221xyovxvyv0v.,可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映轨道的切线方向轨道的切线方向时刻的运动方向，即时刻的运动方向，即在在t)()21(tan122 tvgttvdxdy 12vgtv 水水平平分分速速度度为为1vdtdxvx gtvdtdyvy 2时刻
16、抛射体的速度为时刻抛射体的速度为故在故在t22yxvvv 2221)(gtvv ，则则设设切切线线的的倾倾角角为为 再求速度的大小再求速度的大小铅铅直直分分速速度度为为例例6 6解解dtdxdtdydxdy tatbcossin abdxdyt 4.方方程程处的切线处的切线在在求椭圆求椭圆4sincos ttbytax.22,22,4byaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)22(22axabby abbxay2 即即例例7 7 解解.arctan)1ln(2表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 ttytxdtdxdtdydxdy tttt211211122 )(
17、22dxdydxddxyd tttt41122122 五五 相关变化率问题相关变化率问题.,)()(变变化化率率称称为为相相关关变变化化率率这这样样两两个个相相互互依依赖赖的的之之间间也也存存在在一一定定关关系系与与从从而而它它们们的的变变化化率率之之间间存存在在某某种种关关系系与与而而变变量量都都是是可可导导函函数数及及设设定定义义：相相关关变变化化率率dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率解决的问题相关变化率解决的问题:已知其中一个变化率时求出另一个变化率已知其中一个变化率时求出另一个变化率例例7 7解解?,500./140,500率是多少率是多少观察员视线的仰角增加观察员视线的仰角
18、增加米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为上升上升米处离地面铅直米处离地面铅直一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升,ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米时米时当当h)/(14.0分分弧度弧度 dtd 米米500米米500例例8 8解解大大速速率率。厘厘米米时时，气气体体体体积积的的增增求求在在半半径径为为秒秒的的速速度度增增大大，厘厘米米已已知知一一气气球球半半径径以以 10/103334rV
19、Vr，则则，体体积积为为设设气气球球的的半半径径为为dtdrrdtdv24 于是有于是有240,10rdtdVscmdtdr 则则已知已知scmdtdVcmr324000104010 时，时，当当六六 小结与思考判断题小结与思考判断题隐函数求导方法隐函数求导方法:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率;由其中一个变化率
20、时求出另一个变化率由其中一个变化率时求出另一个变化率思考题思考题1,2,2222 tdxydtttdxdytytx设设下面的计算是否正确下面的计算是否正确0),(.1 yxF一、一个方程的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式.yxFFdxdy 隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的某一邻域内具有的某一邻域内具有 连续的偏导数，且连续的偏导数，且0),(00 yxF，.0),(00 yxFy 则方程则方程0),(yxF在点在点),(00yxP的某一邻域内的某一邻域内 恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的
21、 函数函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并有，并有 0),(yxF例例验证方程验证方程0122 yx在点在点)1,0(的某邻域内能的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且唯一确定一个单值可导、且0 x时时1 y的隐函的隐函 数数)(xfy ，并求这函数的一阶和二阶导数在，并求这函数的一阶和二阶导数在 0 x的值的值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1,0(的的某某邻邻 域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时 1 y的的函函数数)(xf
22、y .1 ,000 yx均连续。均连续。yxFFdxdy ,yx ,00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y .1022 xdxyd函数的一阶和二阶导数为函数的一阶和二阶导数为例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，用公式求，用公式求dxdy.解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,22yxyx ,22yxxy yxFFdxdy .xyyx xxxyyxF arctanln22 yyxyyxF arctanln22 0),(.2 zyxF隐函数存在定理隐函数存在定理 2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点),(000zyxP的某一邻域的
23、某一邻域 内有连续的偏导数，且内有连续的偏导数，且0),(000 zyxF，0),(000 zyxFz，则方程，则方程0),(zyxF在点在点 ),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一个个 单值连续且具有连续偏导数的函数单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz 它满足条件它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ，zyFFyz .0),(zyxFzyFFyz zyFFyz 例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFzzxFFxz 22xz2)2()2(zxzxz
24、 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz ,2zx xzx 2 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .解解1：).,(),(xyzzyxfzzyxF 令令xvxuxyzfzyxf)()(,zyxu ,xyzv ).(vufzxf ).,(vufzF xxvufzF),(),(vufzyf yvyuxyzfzyxf)()(yyvufzF),(.1 vufyxf yvyuxyzfzyxf)()(1 zzvufzF),(于是，于是，zxFFxz .1vuvufxyffyzf xyFFyx .vuvufyzffxzf .1vuvufxzffxyf yz
25、FFzy ).(vufzxf yyvufzF),(.1 vufyxf yvyuxyzfzyxf)()(1 zzvufzF),(xxvufzF),(),(vufzyf 思路思路2：把把z看看成成yx,的的函函数数，对对x求求偏偏导导数数得得xz ，把把x看成看成yz,的函数，对的函数，对y求偏导数得求偏导数得yx ，把把y看看成成zx,的的函函数数，对对z求求偏偏导导数数得得zy .解解2：令令,zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看成看成yx,的函数，对的函数，对x求偏导数得求偏导数得 xvvfxuufxz )1(xzfu ),(xzxyyzfv vuvufyzfxzfxyf )1
26、(整理得整理得xz ,1vuvufxyffyzf 把把x看成看成yz,的函数的函数，对对y求偏导数得求偏导数得 )1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvufyzffxzf yx 把把y看看成成zx,的的函函数数，对对z求求偏偏导导数数得得 )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvufxzffxyf 第十八章 隐函数定理及其应用 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形？何时唯一确定函数何时唯一确定函数),(),(yxvvyxuu?xu?yu?xv?yv隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在点
27、在点),(0000vuyxP的某的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,(00yxF 0),00 vu，0),(0000 vuyxG，且偏导数所组成的，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式）函数行列式（或称雅可比式）),(),(vGuGvFuFvuGFJ 在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),(vuyxF、0),(vuyxG 在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，,),(),(1vu
28、vuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu ),(yxvv ，它它们们满满足足条条件件),(000yxuu ,vv 0),(00yx 并并有有 vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 下面推导公式：下面推导公式：0),(0),(vuyxGvuyxF).,(),(yxvvyxuu 确定了确定了即，即，0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式两边对等式两边对 x 求导，求导，00 xvGxuGGxvFxuFFuuxvu
29、x xuuxvuGxvGxuGFxvFxuF现现 xuuxvuGxvGxuGFxvFxuF这是关于这是关于xvxu ,的的二元线性方程组。二元线性方程组。vuvuGGFFD ,0 J方程组有唯一解。方程组有唯一解。vxvxGGFFD 1vxvxGGFF ),(),(vxGF xuxuGGFFD 2xuxuGGFF ),(),(xuGF DDxu1 .),(),(1vxGFJ DDxv2 .),(),(1xuGFJ 类似，对类似，对 0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式两边对等式两边对 y 求导，求导，得关于得关于yvyu ,的线性方程组。的线性方程组。解方程
30、组得解方程组得 yu.),(),(1vyGFJ yv.),(),(1yuGFJ DDxu1 .),(),(1vxGFJ DDxv2 .),(),(1xuGFJ 特别地，方程组特别地，方程组 0),(0),(zyxGzyxF且且可以确定函数可以确定函数 ),(),(xzzxyy ,),(),(),(),(zyzyzxzxGGFFGGFFzyGFzxGFdxdy .),(),(),(),(zyzyxyxyGGFFGGFFzyGFxyGFdxdz 例例5 设设 .432,50222zyxzyx.,dxdzdxdy求求解解 1：令令,050),(222 zyxzyxF.0432),(zyxzyxG则则
31、zyzyGGFFzyGF ),(),(,2xFx,2yFy,2zFz,1 xG,2 yG.3 zG3222zy.46zy zxzxGGFFzxGF ),(),(3122zx.26zx xxxxGGFFxyGF ),(),(zxzxGGFFzxGF ),(),(3122zx.26zx .42xy 1222xy),(),(),(),(zyGFzxGFdxdy zyzx4626 ),(),(),(),(zyGFxyGFdxdz ,233zyxz zyxy4642 ,232zyyx 时，时，当当 046 ),(),(zyzyGF .432,50222zyxzyx解解 2：方程两端对方程两端对 x 求导
32、。求导。.0321,0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx注意：注意：),(xyy ).(xzz 即即得得 .132,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy32zyD .23zy 即即 .132,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy32zyD .23zy 311 zxD,3xz 122 xyD.2yx DDdxdy1 DDdxdz2,233zyxz ,232zyyx 时，时，当当 0 D例例 6 6 设设 1,0 xvyuyvxu，求求 xu ，yu ，xv 和和yv .解解1 1直接代入公式；直接代入公式；解解2 2运用公式推导的方法。运用公式推导的方法。将所给方程的两边对将所给方
33、程的两边对 x 求导并移项求导并移项:,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJD ,22yx 当当 0 JD 时时，DDxu1 ,22yxyvxu DDxv2 ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得求导，用同样方法得,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv xvyuD 1 ,yvux vyuxD 2.xvyu xyyxJD ,22yx 隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1(yxF0),()2(zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小结（分下列几种情况）（分下列几种情况）常用解法：常用解法：公式法公式法方程两边求导法方程两
34、边求导法作业：作业：151页页 1,2,3(1 6)，4，5.第六节第六节 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用第六节第六节 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用一一 问题的提出问题的提出二二 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面(Applications of differential calculus in geometry)一一 问题的提出问题的提出 偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.我们可以利用偏导数来确定空间曲
35、线的切向量和空间曲面的法向量推导过程推导过程二二 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面1 空间曲线 切向量切向量：000,tttT 切线方程切线方程：000000tzztyytxx 法平面方程：法平面方程：0000000 zztyytxxt tztytx 0 z ,y ,0000ttxM (Tangent and normal plane of space curve)解：解：2tt3z ,2y ,1 ttxt 在（在（1，1，1）点对应参数为）点对应参数为 t=1 3 ,2 ,1 T切线方程：切线方程：312111 zyx法平面方程：法平面方程：(x-1)+2(y-1)+(z-1)=
36、0即：即：x+2 y+3 z=6例例1 求曲线求曲线 在点在点 处的处的切线及法平面方程。切线及法平面方程。3,2,tztytx )1,1,1(2 切线方程：切线方程：000001tzztyyxx xzxy:z ,y ,0000 xM法平面方程法平面方程：000000 zztyytxx 0)z ,y ,G(x 0 )z ,y ,x F(:3 z ,y ,0000 xMyyxxxxzzzzyyGFGFzzGFGFyyGFGFxx 000 切线方程：切线方程：0 000 zzGFGFyyGFGFxxGFGFyyxxxxzzzzyy法平面方程法平面方程：例例2、求曲线、求曲线 在点在点（1，-2，1
37、）处的切线及法平面方程。）处的切线及法平面方程。0,6222 zyxzyx30163032 222222 12 12,12 12,12 12 121121,yxxzzyTyxxzzyT即：解：法平面方程：法平面方程：x-z=0 切线方程：切线方程：110211 zyx1 设曲面方程为0),(zyxF),(),(),(000tttT曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线,)()()(:tztytx三三 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线nTM(Tangent plane and normal line of surface),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFn
38、zyx令令则则,Tn 由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线，它们在M的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面.切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即
39、处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.2 空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz 因为曲面在M处的切平面方程为3 全微分的几何意义),(yxfz 在),(00y
40、x的全微分，表示曲面),(yxfz 在点),(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量.若、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z轴的正向所成的角 是锐角，则法向量的方向余弦为,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff),(00yxffxx),(00yxffyy 其中解,632),(222 zyxzyxF)1,1,1()1,1,1(6,4,2zyxn,6,4,2切平面方程为切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2 zyx,032 zyx法线方程为法线方程为.614121 zyx.处的切平面及法线方程(1,1,1)在点632 面3
41、222zyx椭球求例例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0,2,1(处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程.解解,32),(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4 zyx,042 yx.001221 zyx解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(2)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,221412000zyx .42000zyx .0212 5222平行的切平面，是其与平面求椭球面例zyxzyx2,4,2000zyxn 法向量法向量因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx,1120 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),118,221,112(2112 zyx切平面方程切平面方程1 空间曲线的切线与法平面2 曲面的切平面与法线四四 小结小结五五 思考判断题思考判断题轴轴成成定定角角。的的切切线线与与螺螺旋旋线线Zbtztaytax sincos
