1、第十章第十章证证 明明 1、证明概述、证明概述 证明是由一个或几个已知真实判断进而证明是由一个或几个已知真实判断进而推断另一个判断的真实性的逻辑方法。推断另一个判断的真实性的逻辑方法。数学证明是运用假设、公理、定义和定数学证明是运用假设、公理、定义和定理作为推理的依据，并用推理的方法，推理作为推理的依据，并用推理的方法，推断某一数学命题的真实性的思维形式。断某一数学命题的真实性的思维形式。第一节第一节 证明证明【例】求证：三角形的内角和为【例】求证：三角形的内角和为180o。【证明】作三角形【证明】作三角形ABC，延长延长AC，作，作CDAB 并命名并命名1，2，3 由由CDAB可得可得B=2
2、(两线平行，内错角等两线平行，内错角等)A=3(两线平行，同位角等两线平行，同位角等)因为因为 1+2+3=180o(平角定义平角定义)所以所以 1+B+A=180o(等量代换等量代换)即知，即知，三角形的内角和为三角形的内角和为180o。证毕。证毕。证明由三个部分组成：论题、论据、论证明由三个部分组成：论题、论据、论证。证。论题：就是真实性需要加以确定的那论题：就是真实性需要加以确定的那个判断。个判断。论据：就是为了确定论题的真实性而论据：就是为了确定论题的真实性而引用的那些判断。引用的那些判断。论证：就是引用论据证明论题的推理论证：就是引用论据证明论题的推理过程。过程。经证明是正确的命题可
3、作为定理。经证明是正确的命题可作为定理。证明与推理有密切联系证明与推理有密切联系 它们它们都以判断为其组成要素的思维形都以判断为其组成要素的思维形式。式。一个命题的证明往往包含一个或一连一个命题的证明往往包含一个或一连串的推理。串的推理。它们的组成部分有相关性。它们的组成部分有相关性。论题相当于推理的结论，论题相当于推理的结论，论据相当于推理的前提，论据相当于推理的前提，论证相当于推理方式。论证相当于推理方式。证明与推理有所区别证明与推理有所区别 证明与推理的任务不同：证明与推理的任务不同：推理的任务是由已知判断推出一个新推理的任务是由已知判断推出一个新判断；判断；证明的任务是已知为真的判断去
4、确定证明的任务是已知为真的判断去确定某一判断的真实性某一判断的真实性。证明与推理的进程不同：证明与推理的进程不同：推理的进程是由前提出发得出结论；推理的进程是由前提出发得出结论；证明则是由论题出发，进而找出证明证明则是由论题出发，进而找出证明该命题的论据，然后论证论题的真实性。该命题的论据，然后论证论题的真实性。证明与推理对各自组成部分之间的逻证明与推理对各自组成部分之间的逻辑联系的要求不同：辑联系的要求不同：推理对前提与结论之间的联系没有特推理对前提与结论之间的联系没有特殊要求，可以是必然的，也可以是或然的；殊要求，可以是必然的，也可以是或然的；证明则不然，论证具有必然联系证明则不然，论证具
5、有必然联系。证明与推理的结构不同：证明与推理的结构不同：证明必然包含推理，而且往往是多种证明必然包含推理，而且往往是多种推理的复杂组合；推理的复杂组合；推理不必然包含证明。推理不必然包含证明。2、证明分类、证明分类 根据证明论题的方式不同，证明可分为直接证根据证明论题的方式不同，证明可分为直接证法和间接证法。法和间接证法。直接证法：直接证法：从命题所给的条件出发，根据已有的定义、从命题所给的条件出发，根据已有的定义、公理、定理等，通过一系列的推理，一直推到所公理、定理等，通过一系列的推理，一直推到所要证的结论为止。要证的结论为止。直接证法包含分析法、综合法、演绎法、完直接证法包含分析法、综合法
6、、演绎法、完全归纳法等。全归纳法等。间接证法：间接证法：不直接证明原命题，而是去证明原命题的等不直接证明原命题，而是去证明原命题的等价命题，达到间接地证明原命题的目的。价命题，达到间接地证明原命题的目的。间接证法包含反证法、同一法等。间接证法包含反证法、同一法等。数学命题的证明多采用直接证法，当命题用直数学命题的证明多采用直接证法，当命题用直接证法证明有困难时，往往采用间接证法。接证法证明有困难时，往往采用间接证法。3、证明规则、证明规则 任何一个正确的证明，除了恰当地运用证明方任何一个正确的证明，除了恰当地运用证明方法外，还必须遵守下列规则：法外，还必须遵守下列规则：论题规则：论题要明确，并
7、保持同一。论题规则：论题要明确，并保持同一。论题是证明的目的，必须清楚、明白、确切。论题是证明的目的，必须清楚、明白、确切。如果含混不清，就无法进行证明。论题必须保持如果含混不清，就无法进行证明。论题必须保持前后一致，不能随意改变。前后一致，不能随意改变。【例】连结四边形各边中点所组成的图形是平行【例】连结四边形各边中点所组成的图形是平行四边形。四边形。这里没有指出如何连结，有可能得到的并非这里没有指出如何连结，有可能得到的并非四边形。四边形。【例】两个相似三角形的高的比等于相似比。【例】两个相似三角形的高的比等于相似比。这里没有指出是什么高的比。这里没有指出是什么高的比。两例论题都不清楚，属
8、于两例论题都不清楚，属于“论题不明论题不明”错误，无错误，无法进行证明。法进行证明。【例】因为【例】因为52=2.5，说明，说明2能除尽能除尽5，所，所以以2能整除能整除5。这里以这里以“除尽除尽”代替不同概念的代替不同概念的“整整除除”，犯了，犯了“偷换论题偷换论题”错误。错误。【例】因为矩形的四个角都是【例】因为矩形的四个角都是90o，所以四，所以四个角的和为个角的和为360o，从而四边形的内角和为，从而四边形的内角和为360o。这里以特殊的这里以特殊的“矩形矩形”代替一般的代替一般的“四四边形边形”，犯了，犯了“偷换论题偷换论题”错误。错误。论据规则：论据必须真实，论题不能作论据规则：论
9、据必须真实，论题不能作为论据。为论据。证明是由论据的真实进而确定论题的真实。证明是由论据的真实进而确定论题的真实。如果论据的真实性未经确定，值得怀疑甚至如果论据的真实性未经确定，值得怀疑甚至是虚假的，那么论据作为论证根据的作用就是虚假的，那么论据作为论证根据的作用就不能实现，论题的真假也就无从判明了。不能实现，论题的真假也就无从判明了。【例】因为：无理数【例】因为：无理数+无理数无理数=无理数无理数 而而2是是无理数，无理数，3是是无理数，无理数，所以所以2+3是是无理数。无理数。此例论据此例论据“无理数无理数+无理数无理数=无理数无理数”虚假，虚假，如如2和和-2都是都是无理数，但无理数，但
10、2+(-2)=0是有理是有理数，数，从而证明是错误的。从而证明是错误的。在证明过程中，论据不能直接或间接地依赖论在证明过程中，论据不能直接或间接地依赖论题。如果用来证明论题的真实的论据，其本身的题。如果用来证明论题的真实的论据，其本身的真实性又需要用待证的论题来证明，那就等于论真实性又需要用待证的论题来证明，那就等于论题是用自己来证明的，这种证明是徒劳的。题是用自己来证明的，这种证明是徒劳的。【例】因为：直线外一点到直线上各点的连接线【例】因为：直线外一点到直线上各点的连接线段中，垂线段最短，段中，垂线段最短，所以：所以：直角三角形的斜边大于直角边直角三角形的斜边大于直角边。此证法犯了此证法犯
11、了“循环论证循环论证”的错误，这是因为的错误，这是因为其论据其论据“直线外一点到直线上各点的连接线段中，直线外一点到直线上各点的连接线段中，垂线段最短垂线段最短”就是由就是由“直角三角形的斜边大于直直角三角形的斜边大于直角边角边”推证所得推证所得，从而论证是错误的。从而论证是错误的。论证规则：论题和论据要有逻辑联系。论证规则：论题和论据要有逻辑联系。论证是借助推理进行的，因此论证的规论证是借助推理进行的，因此论证的规则实际上就是各种推理的规则，如果违反则实际上就是各种推理的规则，如果违反了各种推理规则，就犯了了各种推理规则，就犯了“推不出来推不出来”的的错误。错误。1、反证法概述、反证法概述
12、从命题结论的反面入手，先假定结论的反面成从命题结论的反面入手，先假定结论的反面成立，由此假定出发，根据已有的定义、公理、定立，由此假定出发，根据已有的定义、公理、定理等推出与原命题的已知条件相矛盾的结果，或理等推出与原命题的已知条件相矛盾的结果，或与已知的定义、公理、定理相矛盾的结果，与已知的定义、公理、定理相矛盾的结果，这种矛盾的产生，不是由于推理的错误，而是这种矛盾的产生，不是由于推理的错误，而是由结论的反面所作的假定不能成立而产生的，从由结论的反面所作的假定不能成立而产生的，从而得到结论的正面是正确的。而得到结论的正面是正确的。第二节第二节 返证法概述及实例返证法概述及实例 2、反证法的
13、一般步骤、反证法的一般步骤 反设：假设待证的结论不成立，也就是肯定反设：假设待证的结论不成立，也就是肯定原结论的反面；原结论的反面；归谬：把反设作为辅助条件，添加到题设中，归谬：把反设作为辅助条件，添加到题设中，再从这些条件出发，通过一系列正确的逻辑推理，再从这些条件出发，通过一系列正确的逻辑推理，最终得到矛盾；最终得到矛盾；结论：推出的矛盾说明反设错误，从而原命结论：推出的矛盾说明反设错误，从而原命题成立。题成立。由于反证法是由于反证法是“反设反设”后通过后通过“归谬归谬”使命题使命题得证，所以反证法通常也就归谬法。得证，所以反证法通常也就归谬法。有些命题，其结论的反面可能有多种情况，则有些
14、命题，其结论的反面可能有多种情况，则应将各种情况穷举出来，并将它们一一驳倒后，应将各种情况穷举出来，并将它们一一驳倒后，才能推断原结论成立。通常把结论的反面多于一才能推断原结论成立。通常把结论的反面多于一种情况的反证法称为穷举归谬法。种情况的反证法称为穷举归谬法。3、反证法应用规则、反证法应用规则 反证法应用甚广，一般来说，当直接证明反证法应用甚广，一般来说，当直接证明不易下手，结论反面更具体简单时，可以不易下手，结论反面更具体简单时，可以使用反证法。使用反证法。以下几方面的命题用反证法更为有利：以下几方面的命题用反证法更为有利：证明证明“结论无限多结论无限多”的命题的命题(例例1)；证明证明
15、“否定结论否定结论”的命题的命题(例例2)；证明证明“唯一结论唯一结论”的命题的命题(例例3)；从已知条件出发，推理的根据甚少的从已知条件出发，推理的根据甚少的命题命题(例例4)。【例【例1】求证质数有无限多个。】求证质数有无限多个。【分析】这是结论无限多的命题，其对立面为唯一【分析】这是结论无限多的命题，其对立面为唯一结论，较为容易分析。故应考虑应用反证法。结论，较为容易分析。故应考虑应用反证法。【证明】设质数是有限个，它们是【证明】设质数是有限个，它们是2，3，5，7，N，N是最大的质数，是最大的质数，考察数考察数K=(2357N)+1，由上设知，由上设知K非质数，且非质数，且KN，如果如
16、果K是质数，则与反设是质数，则与反设N最大相矛盾，最大相矛盾，如果如果K不是质数，则必是合数，而由不是质数，则必是合数，而由K的构成的构成可知，分别用可知，分别用2，3，5，7，N这些质数去除这些质数去除K，总有余数总有余数1，说明还有一更大的质数，说明还有一更大的质数MN，使，使M整整除非质数除非质数K，这样又与假设，这样又与假设N是最大的质数相矛盾，是最大的质数相矛盾，从而反设谬误，使原命题得证成立。从而反设谬误，使原命题得证成立。【例【例2】AB、CD为圆的两条相交弦，且不全为直为圆的两条相交弦，且不全为直径。求证径。求证AB、CD不能互相平分。不能互相平分。【分析】这是否定结论，而相关
17、定理多是肯定判【分析】这是否定结论，而相关定理多是肯定判断，故可考虑应用反证法。断，故可考虑应用反证法。【证明】设【证明】设AB、CD互相平分于互相平分于P，由于由于AB、CD不全为直径，不全为直径，知点知点P与圆心与圆心O不不重合，可连结重合，可连结O与与P，则半径，则半径AP=BP，而而P为为AB中点，可知中点，可知PO为等腰三角形底边上为等腰三角形底边上的高，从而有的高，从而有OPAB。同理可证同理可证OPCD。这就是说，过点这就是说，过点P有两条直线有两条直线AB、CD都垂直都垂直于于OP，这与定理，这与定理“过一点只有一条直线与已知直过一点只有一条直线与已知直线垂直线垂直”相矛盾。即
18、知，相矛盾。即知，AB、CD不能互相平分。不能互相平分。【例【例3】求证两相异直线相交只有一个交点。求证两相异直线相交只有一个交点。【分析】两直线相交只有两种情况：唯一交点和【分析】两直线相交只有两种情况：唯一交点和无数交点，而后一情况有一公理无数交点，而后一情况有一公理“过两点有且只过两点有且只有一条直线有一条直线”易推出矛盾。易推出矛盾。因此可以应用反证法。因此可以应用反证法。【证明】假设直线【证明】假设直线a和和b相交有两个以上交点，其相交有两个以上交点，其中两个交点为中两个交点为O、P，这时，直线这时，直线a是由是由O、P两点确定的直线，直两点确定的直线，直线线b也是由也是由O、P两点
19、确定的直线，两点确定的直线，这样，由这样，由O、P两点就确定了两条直线，两点就确定了两条直线，这与公理这与公理“过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线”相矛相矛盾，盾，所以两条直线相交只有一个交点。所以两条直线相交只有一个交点。【例【例4】求证】求证2是无理数。是无理数。【分析】【分析】我们对无理数的了解很少，而对有理数我们对无理数的了解很少，而对有理数的定义、性质、运算律相对了解得多。因此应该的定义、性质、运算律相对了解得多。因此应该考虑应用反证法。考虑应用反证法。如何利用已有知识引出矛盾呢？如何利用已有知识引出矛盾呢？因为只因为只有一个数，所以数的运算、运算律等知识无法使有一个数，所
20、以数的运算、运算律等知识无法使用，只有在有理数的定义、表示、性质上找突破用，只有在有理数的定义、表示、性质上找突破口。口。假设假设2是有理数，则由有理数定义可知，存是有理数，则由有理数定义可知，存在互质的正整数在互质的正整数m、n，使，使 2=m/n。如何从这个。如何从这个等式中得出矛盾？等式中得出矛盾？可以从可以从“m、n为互质的正为互质的正整数整数”入手，通过入手，通过2的存在引出的存在引出“偶数偶数”分析得分析得出矛盾。出矛盾。【证明】反设【证明】反设2是有理数，是有理数，于是由有理数定义得于是由有理数定义得2=m/n，m、n为互质整为互质整数，数，则有则有2=m2/n2，亦即，亦即m2
21、=2n2，可知可知m2是偶数，于是是偶数，于是m2=2k，k为整数，为整数，又因又因k=m(m/2)与与m都是整数，知都是整数，知m/2也是整数，也是整数，从而从而m可被可被2整除，即整除，即m是偶数，是偶数，那么，那么，2n2=(2k)2=4k2，又得，又得n2=2k2，同上理，同上理可证可证n是偶数，是偶数，于是，于是，m、n不互质，与假设矛盾。不互质，与假设矛盾。所以所以:2是无理数。是无理数。同一法的根据是逻辑规律中的同一律。同一法的根据是逻辑规律中的同一律。同一原理：同一原理：如果一个命题的已知条件与如果一个命题的已知条件与结论中所指的事物都是独一无二的事物，结论中所指的事物都是独一
22、无二的事物，那么原命题与逆命题的成立与否是完全一那么原命题与逆命题的成立与否是完全一致的，这个原理叫同一原理。致的，这个原理叫同一原理。同一法：同一法：如果一个命题符合同一原理，如果一个命题符合同一原理，但证明原命题成立有困难，可改证它的逆但证明原命题成立有困难，可改证它的逆命题成立，再根据同一原理得知原命题成命题成立，再根据同一原理得知原命题成立，这样的证明方法叫做同一法。立，这样的证明方法叫做同一法。同一法是间接证法的一种，常用于几何同一法是间接证法的一种，常用于几何证明。证明。第三节第三节 同一法概述同一法概述 同一法的证题步骤：同一法的证题步骤：验证命题是否符合同一原理；验证命题是否符合同一原理；作出符合命题结论的图形（或表达式）；作出符合命题结论的图形（或表达式）；证明所作图形（或表达式）符合已知条件；证明所作图形（或表达式）符合已知条件；根据图形（或表达式）的唯一性，确定所根据图形（或表达式）的唯一性，确定所作图形（或表达式）与已知图形（或表达式）作图形（或表达式）与已知图形（或表达式）相合；相合；肯定原命题的真实性。肯定原命题的真实性。
