1、第4章 概率论基础4.1 什么是概率什么是概率4.2 怎样求概率怎样求概率4.3 概率的计算概率的计算学习目标 n阐述概率的定义；阐述概率的定义；n了解概率的三种计算方法；了解概率的三种计算方法；n掌握概率的运算规律；掌握概率的运算规律；n在生活中经常会遇到这样一些关于不确定性的问题，比如：在生活中经常会遇到这样一些关于不确定性的问题，比如：n（1）在新产品上市前，经销商需要知道顾客是否会购买这种）在新产品上市前，经销商需要知道顾客是否会购买这种产品。为了降低风险，经销商通常进行市场调查，如随机抽产品。为了降低风险，经销商通常进行市场调查，如随机抽取取500人进行调查，询问他们对新产品的反应以
2、及可能的建人进行调查，询问他们对新产品的反应以及可能的建议。议。n（2）汽车行业最近竞争很激烈。企业为确保达到汽车整车性）汽车行业最近竞争很激烈。企业为确保达到汽车整车性能检测标准，需要从生产的汽车中选取一些样本进行检测。能检测标准，需要从生产的汽车中选取一些样本进行检测。显然，如果所有汽车都接受检测，那么就没有用于销售的汽显然，如果所有汽车都接受检测，那么就没有用于销售的汽车了。于是随机抽取若干辆汽车进行检测，根据检测结果，车了。于是随机抽取若干辆汽车进行检测，根据检测结果，可得知汽车性能是否达标。可得知汽车性能是否达标。n（3）在经济危机的情况下，是否可以购买新的汽车或房子呢？）在经济危机
3、的情况下，是否可以购买新的汽车或房子呢？n有关概率的问题在日常生活和在统计课中一样是经常出现的。有关概率的问题在日常生活和在统计课中一样是经常出现的。这一章中我们将讨论概率在统计中的意义以及我们如何应用这一章中我们将讨论概率在统计中的意义以及我们如何应用它来进行统计分析。它来进行统计分析。4.1 什么是概率n概率与某事件发生的机会、可能性或确定程度有关。n概率概率(probability)就是一个数字。介于0和1之间，描述一个事件发生的经常性。n小概率(接近零)的事件很少发生，而大概率(接近1)的事件则经常发生。n例如：一个人中一次彩票一等奖的概率很小；一年中至少有一场飓风袭击我国沿海地区的概
4、率就很大，因为在大部分年份中都多于一场飓风发生。n试验试验（experiment）是导致所有可能观测中有且仅有一个出现的过程。在统计学中一个试验有两个或两个以上的结果，发生哪一个都是不确定的。n结果结果（outcome）是指一个试验的特定结果。例如，抛硬币是一个试验，你可以观察抛硬币，但你不知道将会出现“正面”或是“反面”，因为一个结果是“正面”，另一个是“反面”。n一个试验的结果组成的集合称之为事件事件（event）。n我们用两个例子来描述试验、结果与事件。在掷一枚骰子的试验中，有6种可能的结果，因为有1到6个点数，但是有很多可能的事件；又例如，在计算世界500强企业中的CEO年龄超过60岁
5、的人数时，可能的结果从0到总的人数，该试验中有很多可能的事件。4.2 怎样求概率n4.2.1利用等可能性事件求概率利用等可能性事件求概率n古典概率（古典概率（classical probability）：如果试验有如果试验有n种可能的结果，一个有种可能的结果，一个有k种种结果的子集为有利的，那么结果的子集为有利的，那么k/n就是这就是这个有利事件出现的概率。个有利事件出现的概率。n对于掷骰子的问题，出现一面的结果是对于掷骰子的问题，出现一面的结果是k=1，而，而n=6种可能的结果，则出现某种可能的结果，则出现某一面的概率是一面的概率是1/6。对于一副扑克牌有。对于一副扑克牌有k=13个红桃及个
6、红桃及n=52张牌，则抽出红桃张牌，则抽出红桃或其它某一花色的概率是或其它某一花色的概率是13/52=1/4。4.2.2使用相对频数的方法n事件并不一定是等可能的，或者人们对事件并不一定是等可能的，或者人们对于其出现的可能性一无所知。于其出现的可能性一无所知。n这时就要靠观察它在大量重复试验中出这时就要靠观察它在大量重复试验中出现的频率来估计它出现的概率。现的频率来估计它出现的概率。n它约等于事件出现的频数它约等于事件出现的频数k除以重复试验除以重复试验的次数的次数n，该比值，该比值k/n称为称为相对频数相对频数（relative frequencyrelative frequency）或频率
7、）或频率。4.2.2使用相对频数的方法n例如，假定想知道某个服装店橱窗设计吸引注意例如，假定想知道某个服装店橱窗设计吸引注意力的概率，可以观察有多少过往的人在它面前逗力的概率，可以观察有多少过往的人在它面前逗留观看。留观看。n如果观察了如果观察了500人人(相当于相当于500次试验次试验)，有，有12个个人在该橱窗前逗留，那么可以大致地说，该橱窗人在该橱窗前逗留，那么可以大致地说，该橱窗吸引行人的概率近似地为相对频数吸引行人的概率近似地为相对频数k/n=12/500。n试验次数试验次数n越大则该值越接近于想得到的越大则该值越接近于想得到的概率。概率。4.2.3利用主观概率的方法n一些概率既不能
8、由等可能性来计算，也不一些概率既不能由等可能性来计算，也不可能从试验得出。比如，你今年想学开车可能从试验得出。比如，你今年想学开车概率、你五年内去欧洲旅游的概率等概率、你五年内去欧洲旅游的概率等n这种概率称为这种概率称为主观概率主观概率(subjective(subjective probability)probability)。n可以说，主观概率是一次事件的概率。或可以说，主观概率是一次事件的概率。或为基于所掌握的信息，某人对某事件发生为基于所掌握的信息，某人对某事件发生的自信程度。的自信程度。4.3 概率的计算n在掷骰子中，得到在掷骰子中，得到6 6点的概率是点的概率是1/61/6，而，而
9、得到得到5 5点的概率也是点的概率也是1/61/6。n那么掷一次骰子得到那么掷一次骰子得到5 5或者或者6 6的概率是多的概率是多少呢？少呢？n在掷在掷1010次骰子中有次骰子中有一半或以上一半或以上的次数得的次数得到到5 5或或6 6的概率又是多少呢？的概率又是多少呢？n读者很快就可能很快会得到答案。但再读者很快就可能很快会得到答案。但再复杂一些，也许就不简单了。复杂一些，也许就不简单了。4.3 概率的计算n如果今天下雨的概率是如果今天下雨的概率是1010，则今天不下雨的概，则今天不下雨的概率就是率就是9090。n如果你中奖的概率是如果你中奖的概率是0.00010.0001，那么不中奖的概率
10、，那么不中奖的概率就是就是1 10.0001=0.99990.0001=0.9999。n这种如果一个不出现，则另一个肯定出现的两个这种如果一个不出现，则另一个肯定出现的两个事件称为事件称为互补事件互补事件（complementary events，或者或者互余事件互余事件或或对立事件对立事件）。如果一个事件记为）。如果一个事件记为A，那么另一个记为那么另一个记为AC（称为（称为A的余集或补集）。的余集或补集）。n互补事件的概率之和为互补事件的概率之和为1，即，即P(A)+P(AC)=1，或，或者者P(AC)1P(A)。n赌博时常常爱用赌博时常常爱用优势优势或或赔率（赔率（odds）来形容输赢来
11、形容输赢的可能。它是互补事件概率之比，即的可能。它是互补事件概率之比，即P(A)/P(AC)P(A)/1-P(A)来表示。来表示。4.3.1概率的加法n如果两个事件不可能同时发生，那么至少其中之如果两个事件不可能同时发生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概率的和。一发生的概率为这两个概率的和。n比如比如“掷一次骰子得到掷一次骰子得到3或者或者6点点”的概率是的概率是“得得到到3点点”的概率与的概率与“得到得到6点点”的概率之和，即的概率之和，即1/6+1/6=1/3。n但如果两个事件可能同时发生时这样做就不对了。但如果两个事件可能同时发生时这样做就不对了。n假定掷骰子时，一个事件假定掷骰子时
12、，一个事件A为为“得到偶数点得到偶数点”（有（有3种可能：种可能：2、4、6点），另一个事件点），另一个事件B为为“得到得到大于或等于大于或等于3点点”（有（有4种可能：种可能：3、4、5、6点）；点）；n事件事件A的概率等于的概率等于3/6=1/2，即，即P(A)=1/2。而。而事件事件B的概率为的概率为P(B)=4/6=2/3。但是，。但是，“得到得到大于或等于大于或等于3点或者偶数点点或者偶数点”的事件的概率就不是的事件的概率就不是P(A)+P(B)=1/2+2/3=7/6了；了；4.3.1概率的加法n这显然多出来了。概率怎么能够大于这显然多出来了。概率怎么能够大于1 1呢？呢？n按照中
13、学时关于集合的记号，该事件称为按照中学时关于集合的记号，该事件称为A A和和B B的的并，记为并，记为ABAB。刚才多出来的部分就是。刚才多出来的部分就是A A和和B B的共的共同部分同部分ABAB（称为（称为A A和和B B的交）的概率（这个概率的交）的概率（这个概率算了两遍）；算了两遍）；n它为它为“得到既是偶数，又大于等于得到既是偶数，又大于等于3”的部分，即的部分，即4和和6两点。出现事件两点。出现事件4或者或者6的概率为的概率为1/6+1/6=1/3。n于是应该把算重了的概率减去。这样于是应该把算重了的概率减去。这样“得到大于得到大于或等于或等于3点或者偶数点点或者偶数点”的事件的事
14、件AB的概率就是的概率就是P(AB)P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+2/3-1/35/6。n这种这种P(AB)P(A)+P(B)-P(AB)的公式也适的公式也适用于两个不可能同时发生的事件；但因为那时用于两个不可能同时发生的事件；但因为那时P(AB)=0，所以只剩下，所以只剩下P(AB)P(A)+P(B)了。了。4.3.1概率的加法n这种交等于空集（这种交等于空集（AB=F F，这里这里F F表示表示空集或空事件）的事件为两个不可能同空集或空事件）的事件为两个不可能同时发生的事件，称为时发生的事件，称为互不相容事件互不相容事件（mutually exclusive events）。4.
15、3.2概率的乘法n如果你有一个固定电话和一个手机，假定如果你有一个固定电话和一个手机，假定固定电话出毛病的概率为固定电话出毛病的概率为0.01，而手机出，而手机出问题的概率为问题的概率为0.05，n那么，两个电话同时出毛病的概率是多少那么，两个电话同时出毛病的概率是多少呢？呢？n马上会猜出，是马上会猜出，是0.010.05=0.0005。n但是这种乘法法则，即但是这种乘法法则，即P(AB)P(A)P(B)，仅仅在两个事件，仅仅在两个事件独立独立(independent)时才成立。时才成立。4.3.2概率的乘法n如果事件不独立则需要引进如果事件不独立则需要引进条件概率条件概率(condition
16、al probability)。n比如三个人抽签，而只有一个人能够抽中，因此比如三个人抽签，而只有一个人能够抽中，因此每个人抽中的机会是每个人抽中的机会是1/3。n假定用假定用A1、A2和和A3分别代表这三个人抽中的事分别代表这三个人抽中的事件，那么，件，那么，P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3。n但是由于一个人抽中，其他人就不可能抽中，但是由于一个人抽中，其他人就不可能抽中，n所以，这三个事件不独立。刚才的乘法规则不成所以，这三个事件不独立。刚才的乘法规则不成立；立；n这时，这时，P(A1A3)P(A1A2)P(A2A3)0；如错误照搬乘法规则会得到错误的如错误照搬乘法规则会得到错误
17、的(1/3)2=1/9。n但是可以计算条件概率，比如第一个人但是可以计算条件概率，比如第一个人抽到（事件抽到（事件A1），则在这个条件下其他），则在这个条件下其他两 个 人 抽 到 的 概 率 都 为两 个 人 抽 到 的 概 率 都 为 0；记 为；记 为P(A2|A1)=P(A3|A1)=0。n如第一个人没有抽到（事件如第一个人没有抽到（事件A1C），那），那么其他两人抽到的概率均为么其他两人抽到的概率均为1/2，记为，记为P(A2|A1C)=P(A3|A1C)=1/2。n一般地，在一个事件一般地，在一个事件B已经发生的情况已经发生的情况下，事件下，事件A发生的条件概率定义为（贝发生的条件
18、概率定义为（贝叶斯公式）叶斯公式）Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-19n列联表n决策树 Red 2 24 26 Black 2 24 26Total 4 48 52 Ace Not Ace TotalFull Deck of 52 CardsRed CardBlack CardNot an AceAceAceNot an Ace 224224Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-20n韦恩图nL
19、et A=acesnLet B=red cardsABA B=ace and redA U B=ace or redBusiness Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-21联合概率的例子P(Red and Ace)BlackColorTypeRedTotalAce224Non-Ace242448Total262652522cards of number totalace and red are that cards of numberBusiness Statistics:A First Course,5e 2
20、009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-22Marginal Probability ExampleP(Ace)BlackColorTypeRedTotalAce224Non-Ace242448Total262652524522522)BlackandAce(P)dReandAce(PBusiness Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-23 P(A1 and B2)P(A1)TotalEvent边缘概率&联合概率P(A2 and B1)P(A1 and B1)EventTotal1联合概率联合
21、概率边缘概率边缘概率 A1 A2B1B2 P(B1)P(B2)P(A2 and B2)P(A2)Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-24一般加法法则例子P(Red or Ace)=P(Red)+P(Ace)-P(Red and Ace)=26/52+4/52-2/52 =28/52不要将 red aces计算2次!BlackColorTypeRedTotalAce224Non-Ace242448Total262652Business Statistics:A First Course,5e 20
22、09 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-25n如果一辆汽车已安装空调，那么安装CD播放器的概率是多少条件概率例子n例如：70%的汽车有空调（用AC表示）及40%的汽车有CD播放器（用CD表示）.20%的汽车既有空调又有CD播放器求：P(CD|AC)Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-26条件概率例子No CDCDTotalAC0.20.50.7No AC0.20.10.3Total0.40.6 1.0 70%安装有空调(AC)40%有 CD 播放器(CD).20%都有.0.285
23、70.70.2P(AC)AC)andP(CDAC)|P(CDBusiness Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-27条件概率例子：No CDCDTotalAC0.20.50.7No AC0.20.10.3Total0.40.6 1.00.28570.70.2P(AC)AC)andP(CDAC)|P(CD续Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-28使用决策树有 AC没有 AC有 CD没有 CD有 CD没有 CDP(A
24、C)=0.7P(AC)=0.3P(AC and CD)=0.2P(AC and CD)=0.5P(AC and CD)=0.1P(AC and CD)=0.27.5.3.2.3.1.所有所有汽车汽车7.2.条件概率条件（前提）是有 AC 或 没有 AC:Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-29有 CD没有 CD有 AC没有 AC有 AC没有 ACP(CD)=0.4P(CD)=0.6P(CD and AC)=0.2P(CD and AC)=0.2P(CD and AC)=0.1P(CD and A
25、C)=0.54.2.6.5.6.1.所有所有汽车汽车4.2.条件是有 CD 或者没有 CD:条件概率Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-30边缘概率n事件 A的边缘概率:n式中，B1,B2,Bk 表示K个互斥、完备事件。)P(B)B|P(A)P(B)B|P(A)P(B)B|P(A P(A)kk2211Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-31贝叶斯定理n用来基于新的信息修正原先已经计算的概率。n由托
26、马斯.贝叶斯于18世纪提出的.n是条件概率的拓展.Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-32n式中:Bi=K个互斥且完备事件中的第I个事件A=新的可能会影响B事件概率的事件)P(BB|P(A)P(BB|P(A)P(BB|P(A)P(BB|P(AA)|P(Bk k 2 2 1 1 i i i Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-33例如：n一个钻井公司估计了他们的一个新井发现油矿的机会为40%。n详细
27、的实验制定为了更多信息。往年的数据显示：60%成功的井有进行详细实验；20%不成功的井有进行详细实验。n假定这个新井已经制定了详细实验，则成功的概率是多少？Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.n假定 S=成功的井 U=不成功的井nP(S)=0.4,P(U)=0.6 （先验概率）n假定制定详细实验事件为Dn条件概率:P(D|S)=0.6 P(D|U)=0.2n目标是求 P(S|D)Business Statistics:A First Course,5e 2009 Prentice-Hall,Inc.Chap 4-350.6670.120.240.24(0.2)(0.6)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)U)P(U)|P(DS)P(S)|P(DS)P(S)|P(DD)|P(S应用贝叶斯定理:Chap 4-36n假定制定详细的实验，成功的概率是0.667 而不是 0.4。事件先验概率条件概率联合概率修正概率S(成功l)0.40.6(0.4)(0.6)=0.240.24/0.36=0.667U(不成功）0.60.2(0.6)(0.2)=0.120.12/0.36=0.333Sum=0.36
