1、2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）一、单选题（共8小题）.1设集合Ax|2，集合By|y（）x，xR，则AB（）A（1，3）B（0，3）C0，3）D1，3）2设i是虚数单位，复数z1i2021，复数z2，则z1+z2在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知2ln3，ln，则，的大小关系是（）ABCD4如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A+2B+4C+2D+45已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l的是（）Alm，ln，m，nBlm，mC，lDlm，m6变量x，y满足约束条件，若目标函数
2、zx+2y的最大值为12，则实数a（）A12B12C4D47下列四个叙述中，错误的是（）A“pq为真”是“pq为真”的必要不充分条件B命题p：“xR且x0，x+的值域是（，22，+）”，则p：“x0R且x00，使得x0+（2，2）”C已知a，bR且ab0，原命题“若ab，则”的逆命题是“若，则ab”D已知函数f（x）x2，函数g（x）（）xm，若对任意x11，3，存在x20，1，使得f（x1）g（x2）成立，则m的范围是1，+）8已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为ai，j，如a3，17，a4，315，则ai，j2021时，log2（i+19）（）A5
3、4B18C9D6二、多选题（共4小题）.9已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16，下列说法正确的是（）A三棱柱ABCA1B1C1的体积是B三棱柱ABCA1B1C1的表面积是18C直线AB1与直线A1C1成角的余弦值是D点A到平面A1BC的距离是10ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足+，为正实数，则下列结论正确的是（）A的最小值为16B的最大值为C+的最大值为16D+的最小值为411已知由样本数据（x1，y1）（i1，2，3，8）组成的一个样本，得到回归直线方程为2x0.4且2，去除两个歧义点（2，7）和（2，7）后
4、，得到新的回归直线的斜率为3则下列说法正确的是（）A相关变量x，y具有正相关关系B去除歧义点后的回归直线方程为3x3.2C去除歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小D去除歧义点后，样本（4，8.9）的残差为0.1（附：y1）12已知函数f（x）3|sinx|+4|cosx|，则（）A是函数f（x）的一个周期B直线x（kZ）为函数f（x）的对称轴方程C函数f（x）的最大值是5Df（x）4 在0，有三个解三、填空题（共4小题）.13二项式（x）8展开式中的常数项是 （用数字作答）14若方程x2+y2+xy+2kx+4y+5k+0表示圆，则k的取值范围为 15ABC中，内角A，B，C对的边长分
5、别为a，b，c，且满足2cosBcosC（tanB+tanC）cosBtanB+cosCtanC，则cosA的最小值是 16若以函数yf（x）的图像上任意一点P（x1，y1）为切点作切线，yf（x）图像上总存在异于P点的点Q（x2，y2），使得以Q为切点的直线l1与12平行，则称函数f（x）为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是 yx32x；y3x+；ycosx；y（x2）2+lnx四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在6a1a2+a3，a42a1+a2+a3，2（a3+2）a2+a4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中问题：正项等
6、比数列an的公比为q，满足anan+1，a2+a3+a428，_？（1）求数列an的通项公式：（2）若bnanlog2an，Sn为数列bn前n项和，若对任意正整数n恒有Sn+（n+m）an+10成立，求m的取值范围18已知函数f（x）4sin（x）cos（x）（1）求f（x）的对称中心坐标：（2）若f（x）3m+20有解，求m的最小值19如图，三棱锥PABC中，PAAB，ABAC，ABAC，PBPC，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且PN2NB（1）证明：BD平面CMN；（2）求直线CN与平面ABC所成角的正切值20为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中
7、学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的22列联表：学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合计周做题时间不少于12小时6076周做题时间不足12小时64合计180（1）请完成上面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（2）（）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望（）通过调查问卷发现，从全校本学期检测
8、数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，A类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：B类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：C类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名同学中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望附：参考公式和数据：K2，n+a+b+c+d附表：P（K2k0）0.1000.0500.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.82821已知椭圆C：+1（ab0），F1，F2为其左、右焦点，离
9、心率为，F1（，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P（x0，y0）（x0y00），点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为k0，PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由（3）设点P（x0，y0）（y00），点P在椭圆C上，点Q（t，0）在F1PF2的角分线上，求t的取值范围22已知函数f（x）lnx+tx2，函数g（x）（2t+1）x，tR（1）t1时，讨论函数f（x）的单调性：（2）令h（x）f（x）g（x），若h（x）在x1处取得极值，且在（0，e上的最大值为1，求t的值参考答案一、单选题（共8小题）.1设集合Ax|2，集合By|y
10、（）x，xR，则AB（）A（1，3）B（0，3）C0，3）D1，3）解：Ax|1x3，By|y0，AB（0，3）故选：B2设i是虚数单位，复数z1i2021，复数z2，则z1+z2在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：因为复数z1i2021i，z2，所以z1+z2，故z1+z2在复平面上对应的点为，在第一想象故选：A3已知2ln3，ln，则，的大小关系是（）ABCD解：ln3lne1，1，01，lnln10，0，故选：C4如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A+2B+4C+2D+4解：由三视图知，该几何体是圆锥体的部分，画出图形，如图所示：结合
11、图中数据，计算该几何体的表面积是：S（S底面圆+S侧面）+SAOC+SBOC（12+1）+12+12+2故选：C5已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l的是（）Alm，ln，m，nBlm，mC，lDlm，m解：由，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，知：对于A，lm，ln，m，n，则l与相交、平行或l，故A错误；对于B,lm，m，则l与相交、平行或l，故B错误；对于C，l，则l与相交、平行或l，故C错误；对于D，lm，m，则由线面垂直的判定定理得l，故D正确故选：D6变量x，y满足约束条件，若目标函数zx+2y的最大值为12，则实数a（）A12B1
12、2C4D4解：联立，可得两直线交点为（），代入直线4xy+a0，解得a，若a，分析可得可行域为则a，由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），由zx+2y，得y，由图可得，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为，即a12故选：B7下列四个叙述中，错误的是（）A“pq为真”是“pq为真”的必要不充分条件B命题p：“xR且x0，x+的值域是（，22，+）”，则p：“x0R且x00，使得x0+（2，2）”C已知a，bR且ab0，原命题“若ab，则”的逆命题是“若，则ab”D已知函数f（x）x2，函数g（x）（）xm，若对任意x11，3，存在x20，1，使得f（x1）g（x2）成立，
13、则m的范围是1，+）解：对于A：当“pq为真”时，则“pq为真”，但是当“pq为真”时“pq不一定为真”，故“pq为真”是“pq为真”的必要不充分条件，故A正确；对于B：命题p：“xR且x0，x+的值域是（，22，+）”，则p：“x0R且x00，使得x0+（2，2），故B正确；对于C：已知a，bR且ab0，原命题“若ab，则”的逆命题是“若，则ab”故C正确；对于D：已知函数f（x）x2，函数g（x）（）xm，若对任意x11，3，存在x20，1，使得f（x1）g（x2）成立，即，则m的范围是，+），故D错误故选：D8已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为
14、ai，j，如a3，17，a4，315，则ai，j2021时，log2（i+19）（）A54B18C9D6解：奇数构成的数阵，令2n12021，解得n1011，故2021是数阵中的第1011个数，第1行到第i行一共有1+2+3+i个奇数，则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数，所以2021位于第45行，又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，所以2021位于第45行，从左到右第21列，所以i45，j21，则log2（i+19）故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得
15、0分，部分选对的得2分。9已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16，下列说法正确的是（）A三棱柱ABCA1B1C1的体积是B三棱柱ABCA1B1C1的表面积是18C直线AB1与直线A1C1成角的余弦值是D点A到平面A1BC的距离是解：三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16，如图所示：对于A：设外接球的半径为R，则4R216，解得R2设三棱柱的高为h，由于AB3，所以球心O到ABC的中心的距离d，ABC的中心到A的距离r，故，解得h2，故，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：在三棱柱A
16、BCA1B1C1的一侧构造一个完全一样的三棱柱ABDA1B1D1，所以异面直线AB1与直线A1C1成角即为AB1与直线D1B1所成的角，连接AD1，在AD1B1中，由于D1B13，则，故C正确；对于D：连接A1B和A1C，利用，得，解得h，故D错误故选：AC10ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足+，为正实数，则下列结论正确的是（）A的最小值为16B的最大值为C+的最大值为16D+的最小值为4解：因为D为AC上一点且满足，所以，因为+，则，又P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有+41，由基本不等式可得，解得，当且仅当时取等号，故的最大值为，故选项A错误，选项B正确；
17、由公式可得，当且仅当时取等号，故+的最小值为4，故选项C错误，选项D正确故选：BD11已知由样本数据（x1，y1）（i1，2，3，8）组成的一个样本，得到回归直线方程为2x0.4且2，去除两个歧义点（2，7）和（2，7）后，得到新的回归直线的斜率为3则下列说法正确的是（）A相关变量x，y具有正相关关系B去除歧义点后的回归直线方程为3x3.2C去除歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小D去除歧义点后，样本（4，8.9）的残差为0.1（附：y1）解：由2，代入2x0.4，得，去除两个歧义点（2，7）和（2，7）后，得到新的，又得到新的回归直线的斜率为3，新的线性回归方程的，则去除两个歧义点后
18、的线性回归方程为，故B正确；又由斜率31，相关变量x，y具有正相关关系，故A正确；且去除歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变大，故C错误；当x4时，则去除歧义点后，样本（4，8.9）的残差为8.98.80.1，故D正确故选：ABD12已知函数f（x）3|sinx|+4|cosx|，则（）A是函数f（x）的一个周期B直线x（kZ）为函数f（x）的对称轴方程C函数f（x）的最大值是5Df（x）4 在0，有三个解解：函数f（x）3|sinx|+4|cosx|，对于选项A，f（x）3|sin（x）|+4|cos（x）|3|sinx|+4|cosx|3|sinx|+4|cosx|f（x），所以是函
19、数f（x）的一个周期，故选项A正确；对于选项B，因为f（x）3|sin（x）|+4|cos（x）|3|sinx|+4|cosx|f（x），又f（x）的周期为，所以f（x）f（x+k）f（kx），即f（x）f（kx），故直线x（kZ）为函数f（x）的对称轴方程，故选项B正确；对于选项C，因为f（x）的周期为，不妨取一个周期0,进行分析，则f（x）3|sinx|+4|cosx|，当时，f(x)3sinx+4cosx5sin(x+)，其中，故当x+时，f（x）取得最大值为5，当时，f（x）3sinx4cosx5sin（x），其中，故当x+时，f（x）取得最大值为5，综上所述，函数f（x）的最大值为5
20、，故选项C正确；当x0时，f（x）3sin0+4cos04，当x时，f（x）3sin+4cos3，当x时，f（x）3sin4cos4，所以函数一个周期中有两个最大值5，且关于直线x对称，又f（0）4，f（）3，f（）4，作出图象如图所示，所以f（x）4 在0，有四个解，故选项D错误故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13二项式（x）8展开式中的常数项是28（用数字作答）解：通项公式Tr+1x8r（1）r，令80，解得r6常数项28故答案为：2814若方程x2+y2+xy+2kx+4y+5k+0表示圆，则k的取值范围为（，1）（4，+）解：根据题意，若方程x2+y2+xy
21、+2kx+4y+5k+0表示圆，则0，方程为x2+y2+2kx+4y+5k0，即（x+k）2+（y+2）2k25k+4，必有k25k+40，解可得k1或k4，即k的取值范围为（，1）（4，+），故答案为：（，1）（4，+）15ABC中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，c，且满足2cosBcosC（tanB+tanC）cosBtanB+cosCtanC，则cosA的最小值是解：2cosBcosC（tanB+tanC）2cosBcosC（），2sinBcosC+2sinCcosB2sin（B+C）2sinA，cosBtanB+cosCtanCsinB+sinC，所以sinB+sinC2sinA
22、，由正弦定理得，b+c2a，由余弦定理得，cosA，当且仅当bca时取等号，此时A故答案为：16若以函数yf（x）的图像上任意一点P（x1，y1）为切点作切线，yf（x）图像上总存在异于P点的点Q（x2，y2），使得以Q为切点的直线l1与12平行，则称函数f（x）为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是yx32x；y3x+；ycosx；y（x2）2+lnx解：由题意得，函数是“美函数”的条件是方程ya（a是导数值）至少有两个根对于，由y3x22，当y2时，x的取值唯一，只有0，不符合题意；对于，由y3a（x0且a3），即3a，此方程有两不同的个根，符合题意；对于，由ysinx和三角函数的周
23、期性知，sinxa（1a1）的解有无穷多个，符合题意；对于，由y2x4+（x0），令2x4+a，则有2x2（4+a）x+10，当0时解唯一，不符合题意故四个函数中是“美函数”的是故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在6a1a2+a3，a42a1+a2+a3，2（a3+2）a2+a4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中问题：正项等比数列an的公比为q，满足anan+1，a2+a3+a428，_？（1）求数列an的通项公式：（2）若bnanlog2an，Sn为数列bn前n项和，若对任意正整数n恒有Sn+（n+m）an+10成立，求m
24、的取值范围解：当选条件时：（1）由题设可得：，解得：，an2n；（2）由（1）可得：bnanlog2ann2n，Sn21222323n2n，又2Sn22223(n1)2nn2n+1，两式相减得：Sn2122232n+n2n+1+n2n+1(n1)2n+1+2，Sn(1n)2n+12，Sn+（n+m）an+1(1n)2n+1+(n+m)2n+12(m+1)2n+12，又对任意正整数n恒有Sn+（n+m）an+10成立，(m+1)2n+120对任意正整数n恒成立，m1恒成立，1随n增大而减小，当n1时，1有最大值，m，m的取值范围为(,+)当选条件时：（1）由题设可得：，解得：，an2n；（2）由
25、（1）可得：bnanlog2ann2n，Sn21222323n2n，又2Sn22223(n1)2nn2n+1，两式相减得：Sn2122232n+n2n+1+n2n+1(n1)2n+1+2，Sn(1n)2n+12，Sn+（n+m）an+1(1n)2n+1+(n+m)2n+12(m+1)2n+12，又对任意正整数n恒有Sn+（n+m）an+10成立，(m+1)2n+120对任意正整数n恒成立，m1恒成立，1随n增大而减小，当n1时，1有最大值，m，m的取值范围为(,+)当选条件时：（1）由题设可得：，解得：，an2n；（2）由（1）可得：bnanlog2ann2n，Sn21222323n2n，又2
26、Sn22223(n1)2nn2n+1，两式相减得：Sn2122232n+n2n+1+n2n+1(n1)2n+1+2，Sn(1n)2n+12，Sn+（n+m）an+1(1n)2n+1+(n+m)2n+12(m+1)2n+12，又对任意正整数n恒有Sn+（n+m）an+10成立，(m+1)2n+120对任意正整数n恒成立，m1恒成立，1随n增大而减小，当n1时，1有最大值，m，m的取值范围为(,+)18已知函数f（x）4sin（x）cos（x）（1）求f（x）的对称中心坐标：（2）若f（x）3m+20有解，求m的最小值解：因为f（x）4sin（x）cos（x），4sinx（），2sinxcosx+
27、2sin2x，sin2xcos2x，2sin（2x），（1）令2xk得x，kZ，故函数f（x）的对称中心（，0），kZ；（2）因为f（x）3m+20有解，所以3m2f（x）有解，即3m2f（x）min，所以3m22，故m0，即m的最小值019如图，三棱锥PABC中，PAAB，ABAC，ABAC，PBPC，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且PN2NB（1）证明：BD平面CMN；（2）求直线CN与平面ABC所成角的正切值【解答】（1）证明：连接PD交CM于O，O为PAC重心，PO2OD，连接ON，因为PN2NB，所以ONBD，因为ON平面CMN，BD平面CMN，所以BD平面CMN（
28、2）解：因为PBPC，ABAC，PAPA，所以PABPAC，所以PACPAB90，又因为PAAB，ABACA，所以PA平面ABC，PA2,过N作NHAB于H，连接HC，因为NHPA，所以NH平面ABC，所以NHHC，直线CN与平面ABC所成角为NCH，所以直线CN与平面ABC所成角的正切值为20为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的22列联表：学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合计周做题时间不少于12小时
29、6076周做题时间不足12小时64合计180（1）请完成上面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（2）（）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望（）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，A类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：B类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：C类：周自主做数学题时间不足12小时的
30、有3人若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名同学中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望附：参考公式和数据：K2，n+a+b+c+d附表：P（K2k0）0.1000.0500.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由题中的数据可以直接填表，学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合计周做题时间不少于12小时601676周做题时间不足12小时4064104合计1008018029.1510.828，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学
31、生自主学习时间有关”；（2）（i）从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取一人，自主做数学题时间不少于12小时的概率为0.6，设从120名学生中抽取12人，这些人周做题不少于12小时的人数为随机变量Y，YB（12，0.6），E（Y）120.67.2，即数学期望为7.2（ii）X可能取值为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），E（X）0+1+2+321已知椭圆C：+1（ab0），F1，F2为其左、右焦点，离心率为，F1（，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P（x0，y0）（x0y00），点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为k0，PF1
32、，PF2的斜率分别为k1，k2，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由（3）设点P（x0，y0）（y00），点P在椭圆C上，点Q（t，0）在F1PF2的角分线上，求t的取值范围解：（1）有题设知，解得 ，椭圆 ；（2） 是定值8，下面证明之因为点 P（x0，y0）（x0y00），过点 P 作椭圆 C 的切线 l，斜率为 k0l：yk0（xx0）+y0且 k00，l 与 联立消 y 得（*），由题设得 ，即 ，因为点P在椭圆C上，代入上式得 ， 定值）， 是定值8；（3）由题设知 ，点 P（x0，y0）（y00）， 即 ， 即 ，点 Q（t，0）在F1PF2的角分线上，点 Q 到直线
33、PF1和直线 PF2的距离相等，点 P 在椭圆 C 上，故得 ，得 ，t 的取值范围是 22已知函数f（x）lnx+tx2，函数g（x）（2t+1）x，tR（1）t1时，讨论函数f（x）的单调性：（2）令h（x）f（x）g（x），若h（x）在x1处取得极值，且在（0，e上的最大值为1，求t的值解：（1）f（x）lnxx2，（x0），令f（x）0得结合x0可知，当时，f（x）0；当时，f（x）0所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（）（2）h（x）lnx+tx2（2t+1）x，（x0），所以，由h（x）0得：，因为h（x）在x1处取得极值，故当时，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，故h（x）在（0，e上的最大值为f（1）1，解得t2，符合题意；当时，h（x）在上单调递增，在（）上单调递减，故h（x）在（0，e上的最大值应在，或xe处取得，又h（）0，故h（e）lne+te2（2t+1）e1，解得，符合题意；当时，h（x）在上单调递增，在（1，）上单调递减此时h（x）在（0，e上的最大值在x1，或xe处取得，此时h（1）1t0，故h（e）lne+te2（2t+1）e1，解得，与矛盾当时，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，最大值只能是f（1）1t0不符合题意综上所述，所求t的值为2，或
