1、2021届云贵川桂四省高三上学期12月联合考试文科数学试卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的概念进行运算即可.【详解】由，所以.故选：B2. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出，再求出复数即可；【详解】解：由题意得.所以故选：B3. 从2，3，4，5，6，7，9，11，12这9个数中任意选取1个，则这个数是质数概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用古典
2、概型的概率公式求解即可.【详解】这9个数中2，3，5，7，11是质数，故由古典概型的概率公式得所求概率为.故选：C4. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，设命题，C为钝角关于命题p有以下四个判断：p为真命题；为，C不是钝角；p为假命题：为，C不是钝角其中判断正确的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理判断；利用全称量词命题否定判断.【详解】当或7时，则C为钝角，为真命题，故正确错误；因为特称命题的否定是全称命题，所以为，C不是钝角，故正确错误；故选：A5. 某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（ ）A. 从
3、7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势B. 这10天白天的平均气温的极差大于6C. 这10天中白天的平均气温为26的频率最大D. 这10天中白天的平均气温大于26的有5天【答案】D【解析】【分析】观察折线图可得选项A和选项B正确；选项C，这10天中白天的平均气温为26的频率比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；选项D，白天的平均气温大于26的只有4天，所以该选项错误.【详解】选项A，从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势，所以该选项正确；.选项B，这10天白天的平均气温的极差大于6，所以该选项正确；选项C，这10天中白天的平均气温为26的频率为0.3，比其他平均气温的频率都要大
4、，所以该选项正确；选项D，这10天中白天的平均气温大于26的只有4天，所以该选项错误.故选：D.6. 在平行四边形中，且.则 （ ）A. B. C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据条件先将写成，再根据的关系、的关系，将用、表示出来，然后即可求解出的值，从而结果可求.【详解】因为，所以，则，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据图形特点以及点的位置利用、表示出，从而完成求解.7. 设双曲线的离心率为，则数列的前20项和为（ ）A. 400B. 410C. 420D. 440【答案】D【解析】【分析】根据题意及双曲线性质得离心率，根据等差数列求和公式计算即可.【详解】解
5、：因为，所以数列的前20项和为.故答案为：440.【点睛】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差或项数：在求解时，一般要运用方程思想；（2）求通项：和是等差数列的两个基本元素；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前项和：利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.8. 如图，某柱桩的底座由一个正六棱柱中间挖掉一个圆柱构成.已知该正六棱柱每个侧面是边长为的正方形，所挖掉的圆柱的底面半径为.为了延长底座的使用时长，需将底座地面之上的部分（除与地面直接接触的底面之外的表面）涂上防氧化层，则涂层的总面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
6、解析】【分析】由正六棱柱的侧面积加上上底面积加上圆柱的侧面积减支圆柱的上底面积即得【详解】涂层正六棱柱上底面正六棱柱侧面圆柱侧面圆柱上底面.故选：C9. 若抛物线上一点M到该抛物线焦点F的距离为6，过点M作x轴的垂线，垂足为N，设O为坐标原点，则四边形OFMN的面积为（ ）A. 12B. C. 16D. 【答案】B【解析】【分析】延长交准线于点，由，则,则可得，从而可求得答案.【详解】如图，抛物线的准线方程为，焦点，延长交准线于点，由，则因此，所以点的纵坐标为4，则由,即，由条件可得四边形OFMN为梯形，故四边形OFMN的面积为.故选：B10. 设的内角A，B，C满足，则函数图象的对称轴方程是
7、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据条件计算出的值，然后根据两角和的正弦公式以及辅助角公式化简，最后采用整体替换的方法求解出对称轴方程.【详解】因为，所以，.由，得，.故选：C.【点睛】思路点睛：（1）利用三角恒等变换的公式化简的思路：对于二次的正余弦形式，先采用降幂公式变形，再利用辅助角公式进行整合；（2）求解形如的函数的对称轴方程的思路：令，由此求解出关于的方程即为对称轴方程.11. 某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之向相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数与传染源感染后至
8、隔离前时长(单位：天)的模型：.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关的确诊病例人数约为（ ）A. 44B. 48C. 80D. 125【答案】D【解析】【分析】由已知数据求得和值，两式相除可得，然后代入计算可得【详解】依题意得，所以.故若某传染源感染后全隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为125.故选：D12. 已知底面为矩形的四棱锥P-ABCD每个顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则棱PB的中点到平面PCD的距离为（ ）A. B. C. D. 【
9、答案】B【解析】【分析】首先证明平面ABCD即可推出侧棱PC为球O的直径，根据球的体积求出AB，过A作于G，取棱PA的中点F，连接EF，利用等体积法求出，E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离.【详解】，又，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD.底面ABCD为矩形，侧棱PC为球O的直径，设球O的半径为R，则，即，又，解得.过A作于G，取棱PA的中点F，连接EF.易证平面APD，则，平面PCD，平面PCD，平面PCD.，即，可得，则F到平面PCD的距离为，则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，故棱PB的中点到平面PCD的距离为.故选：B二填空题本大题共4小题每小题5分共20分
10、.把答案填在答题卡的相应位置.13. 若，则_.【答案】【解析】【分析】将分式的分子、分母同除以，然后代入的值求解出结果.【详解】因为，故答案为：.【点睛】方法点睛：已知的值，求解形如（或）的式子的值的方法：分式的分子、分母同时除以（或），将原式化简为关于的式子，再根据的值可求解出结果.14. 若函数，则的值域为_.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的单调性即可求出.【详解】因为在上单调递减，所以，所以的值域为.故答案为：.15. 若直线l过点，且倾斜角为，则l被圆所截得的弦长为_.【答案】【解析】【分析】先写出直线l的方程，求出圆心C到直线l的距离为d，由垂径定理有，可得答案.【详解】直线
11、l的倾斜角为，则斜率为1.由题意，可得l的方程为，易知点圆心C的坐标为.设点C到直线l的距离为d，则，则所求弦长为.故答案为：16. 函数为定义在R上的偶函数且在上单调递增，现有下列四个命题：函数为奇函数；函数有且只有3个零点；不等式的解集为；的解析式可能为.其中所有真命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据是偶函数利用定义得出可判断；根据的性质可得；讨论和再利用的单调性可求解；先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在的单调性即可判断.【详解】对，是偶函数，若，则，则为偶函数，故是假命题.对于，设函数，在上单调递增，在R上有且只有2个零点，所以，故在R上有且只有3个零点，故是真命题.对，因
12、为，所以当时，即，则，即；当时，即，即，则，故解集为，故是真命题.对，若，则则此函数满足为偶函数，又，设，.则为R上的增函数，在上，所以此函数还满足在上单调递增，是真命题.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解题的关键是正确利用偶函数的性质以及单调性的判断和利用单调性解不等式.三解答题17. 在直三棱柱中，.（1）证明：平面.（2）求点面A到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由即可证明；（2）利用等体积法，根据可求.【详解】（1）证明：在直三棱柱，中，因为平面，平面.所以平面.（2）解：在直三棱柱中，平面ABC，因为平面ABC，所以.又，所以，同理可得.
13、因为，所以.所以的面积为.设点A到平面的距离为h，由，得，解得.18. 为了解生猪市场与当地居民人均收人水平的关系农业农村部对160城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了随机调研得到如下表格：猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)615022759451601619（1）估计全国各地猪肉价格在(元/千克)内的概率；（2）估计这160个城镇的居民人均收人(元/月)的中位数(计算结果保留整数)；（3）根据所给数据完成下面的列联表并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.附：，其中.0.050.0100.005k3.8416.6357.
14、879猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)合计合计【答案】（1）；（2）中位数约为4357；（3）列联表见解析，有的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【解析】【分析】（1）根据频率的定义即可求出样本的频率，即可估计全国各地猪肉价格在（50，60（元/千克）内的概率；（2）根据中位数的定义即可求出；（3）根据题目所给的数据填写22列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论【详解】（1）因为这160个城镇的猪肉价格在(元/千克)内的频率为，所以据此得全国各地猪肉价格在(元/千克)内的概率约为；（2）因为居民人均收入(元/月)在的频率为，居民人均收入(元/月)在内的
15、频率为，所以居民人均收入(元/月)的中位数在之间，因为.所以中位数约4357；（3）列联表如下：猪肉价格(元/千克)人均收人(元/月)合计505557035105合计12040160因为，所以有的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【点睛】方法点睛：在频率分布中中位数的求法是：中位数的两边频率和都为0.5.19. 已知等比数列的公比为q.（1）试问数列一定是等比数列吗？说明你理由.（2）若，求的通项公式及数列的前n项和【答案】（1）数列不一定是等比数列，理由见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）可得当时，此时不是等比数列；（2）根据题意可求出数列通项公式，再分n为奇数和
16、偶数时两种情况可求和.【详解】解：（1）数列不一定是等比数列.理由如下：若，则，此时数列不是等比数列；若，则数列一定是公比为q的等比数列，故数列不一定是等比数列.（2）由，且；得.因为，所以，则，所以，所以的通项公式为，故，当n为偶数时，；当n为奇数时，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.20. 已知函数.（1）若曲线存在一条切线与直线垂直，求这条切线的方程.（2）证明：.【答案】（1）；
17、（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由可求得切点坐标，再利用点斜式可求得所求切线的方程；（2）设，利用导数得出，以及，进而可得出，即可证得所求不等式成立.【详解】（1），因为曲线的一条切线与直线垂直，所以这条切线的斜率为，令，得，所以切点为，所求切线的方程为，即；（2）证明：.当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以.设函数，则.当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.所以.因为，所以.又，所以.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是
18、根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21. 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，Q为C的上顶点，且满足.（1）求C的方程.（2）若P为直线上的动点，A，B分别为C的左右顶点，PA与C的另一个交点为M，PB与C的另一个交点为N，是否存在定点G使得直线MN恒过该定点G？若存在，求G的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在定点G，且G的坐标为.【解析】【分析】（1）由题得到关于的方程，解方程即得C的方程；（2）设动点P为，联立直线和椭圆的方程求出，再对直线的斜率分两种情况讨论得解.【详解】解：
19、（1）由题意，设，则，因此，故C的方程为.（2）由（1）可知，可设动点P为，则AP所在直线的方程为，BP所在直线的方程为.设，联立，得，同理可得.根据椭圆的对称性，若存在定点G，则点G必在x轴上，当直线MN的斜率不存在时，解得，此时直线MN的方程为，得.当时，直线MN的方程为，直线MN过点.当且直线MN的斜率存在时，所以M，N，G三点共线，则直线MN过点.综上，存在定点G，且G的坐标为.【点睛】方法点睛：定点问题常用的解题方法有：（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参
20、数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.22. 在直角坐标系中曲线C的参数方程为，(为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求C的极坐标方程；（2）若l与C相交，求m的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先把曲线C的参数方程化成直角坐标方程，再将直角坐标转化成极坐标；（2）先求出l的直角坐标方程，再根据直线和圆相交得到m的取值范围.【详解】解：（1）由，得，即，则C的极坐标方程为，即(或).（2）因为l的极坐标方程为，
21、所以l的直角坐标方程为.由（1）知，曲线C表示圆心为，半径为4的圆，则C到l的距离，解得，即m的取值范围为.【点睛】方法点睛：将参数方程转化为直角坐标方程，常用的方法有：（1）代入消参；（2）三角恒等式消参.无论用哪一种方法，都要注意变量的范围.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）等价于，根据绝对值解法求解；（2）根据双绝对值解出的最小值，原不等式等价于，平方化简即可.【详解】解：（1）由，得，则或，即或，故不等式的解集为，（2）因为，所以的最小值为.因为对恒成立，所以，又，所以.【点睛】含有绝对值的不等式的性质：（1）如果是实数，则；（2）如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立.
