1、2021届辽宁省大连市高三二模数学试题一、单选题1已知全集，则集合（ ）ABCD【答案】B【分析】根据条件可得，则，又，即可得答案.【详解】因为，所以，则，又，所以，即.故选：B2表示复数的共轭复数，若，则（ ）ABCD【答案】A【分析】直接利用复数的运算求解.【详解】由题得.故选：A3已知，则下列关系正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用指对数的性质，判断指对数的大小.【详解】，.故选：C.4若非零向量满足，且，则与夹角的余弦值是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据，可得，利用数量积公式，即可求得答案.【详解】因为，所以，由数量积公式得：，又，所以.故选：A5已知函数，对于任意实数，且
2、，都有，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【分析】由已知，在定义域内单调递减，即在上恒成立，即可求的范围.【详解】由题意知，在定义域内是单调递减函数，恒成立，即在上恒成立，.故选：D.6在公元前100年左右，我国古代数学著作周髀算经中有这样的表述：“髀者股也，正晷者勾也.”并且指出：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这就是我们熟知的勾股定理，勾股数组是指满足的正整数组.现将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，则三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是（ ）ABCD【答案】A【分析】由题设知骰子中能够成勾股数的数组为3,4,5，写出第一次出现3个数中的一个的
3、概率，第二次出现余下2个数中的一个的概率，第三次出现最后一个数的概率，应用乘法公式求概率即可.【详解】由题意知：骰子点数能够成勾股数的数组为3,4,5，第一次掷骰子得到其中一个的概率为；第二次掷骰子得到两个数中的一个的概率为；第三次掷骰子得到最后一个的概率为；三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率为.故选：A.7设，若函数恰好有三个不同的零点、，且，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】由题意，在上与有三个交点，应用数形结合的方法，确定、，根据正弦函数的性质确定它们的对称轴，进而求的值.【详解】由题设知：令在上有三个零点，即与有三个交点，如下图示，由图知，、关于对称，、关于对称，故.故选：A.
4、【点睛】关键点点睛：将零点问题转化交点问题，应用数形结合的思想，结合正弦函数的对称性确定对称轴，进而求零点之和.8点为边长为1的正四面体底面内一点，且直线与底面所成角的正切值为，则动点所在曲线长度为（ ）ABCD【答案】C【分析】求得正四面体的高为，根据直线与底面所成角的正切值为，在直角中，求得，得到点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在正内部的部分，结合扇形的弧长公式，即可求解.【详解】如图所示，边长为1的正四面体，可得正四面体的高为，可得为斜线与平面所成的角，因为直线与底面所成角的正切值为，在直角中，可得，所以，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在正内部的部分，可得，所以动点所在曲线长度为.故选
5、：C. 二、多选题9已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】BD【分析】根据正态曲线的性质可知，图象关于对称，的越小图象显得高瘦，结合这些可以判断选项.【详解】由正态曲线的性质可知，图象关于对称，的越小图象显得高瘦，据图可知，故选：BD.10已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ）AB存在点满足C直线与直线的斜率之积为D若的面积为，则点的横坐标为【答案】CD【分析】由椭圆方程有，A由椭圆定义即可知正误；B由当在椭圆上下顶点时最大，求出对应即可确定是否存在；C令，即有，由点在椭圆上即可确定是否为定值；
6、D由三角形面积可确定P点纵坐标，代入椭圆即可求其横坐标.【详解】由椭圆方程知：，A：，错误；B：当在椭圆上下顶点时，即最大值小于，错误；C：若，则，有，而，所以，即有，正确；D：若，的面积为，即，故，代入椭圆方程得，正确；故选：CD.11如图，在正方体中，点在线段 上运动，则（ ）A直线平面B直线平面C三棱锥的体积为定值D异面直线与所成角的取值范围是【答案】ABC【分析】A、B由正方体的性质，线面垂直的判定证线面垂直，线面垂直、面面平行的性质证线面平行；C利用线面平行即可知的体积是否为定值；D利用两线平行转移异面直线所成角，进而确定角的范围；【详解】A：由正方体的性质，在、上的射影分别为、，而
7、，则，所以面，正确；B：连接、，同A选项可证面，所以面面，而面，则平面，正确；C：在线段 上运动，由B知面，所以三棱锥的体积为定值，正确；D：由正方体性质有，即与所成角等于与所成角，所以角的取值范围是，错误.故选：ABC.12已知函数，则下列命题正确的是（ ）A在上是增函数B的值域是C方程有两个实数解D对于满足，则【答案】ABD【分析】利用导数可判断出函数的单调性和最值，由函数的值域可得方程根的个数，利用以及基本不等式可得【详解】，当时，在上单调递增；当时，；当时，则在上单调递增，在上单调递减；综上可得在上是增函数，故A正确；，故B正确；方程，可得或，方程共有三个实数解，故C错误；满足，即，则
8、，化简得，当且仅当时取等号令，则，解得，故故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究函数的单调性和最值，以及方程根的问题，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是对函数求导，利用自变量的范围讨论导函数的单调性，得出最值，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题三、填空题13已知，则_【答案】【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由，又由.故答案为：14写出一个离心率为的双曲线的标准方程_.【答案】(其他符合的也对)【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得，即，假设双曲线的焦点在轴且，求出双曲线的标准方程，即可得答案【详解】根据题意，要求双曲线的离心率，则
9、，若双曲线的焦点在轴，则，则要求双曲线的方程为故答案为：(其他符合的也对)15若，则_.【答案】【分析】所求为的系数，因为，利用其展开式通项公式，求得，即可得答案.【详解】展开式的通项公式为，令，则k=3，则，所以.故答案为：-35四、双空题16英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，.则_；数列的前项和为，则_.【答案】 【分析】根据题意，求得表达式，进而可得，表达式，可求得，所以，根据等比数列定义及通项、求和公式，即可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以
10、，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，【点睛】解题的关键是读懂题意，求得表达式，进而得到，再根据对数的运算性质求解，综合性强，属中档题.五、解答题17如图，已知平面四边形，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理求，根据勾股逆定理知，即可求.（2）由（1）得，应用正弦定理即可求的值.【详解】（1）在中，由余弦定理，有，即，.（1）在四边形中，在中，由正弦定理，则.18在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的所有取值组成的集合；若不存在，说明理由.问题：已知数列的前项和为，且对任意正整数都有，数列满足，成等差数列.若
11、数列满足 ，且的前项和为，是否存在正整数，使得？【答案】答案见解析.【分析】由已知递推关系，结合等差数列的定义可写出，的通项公式，由等差中项的性质可求的通项公式，根据所选的条件分别求的通项公式，根据数列不等式求的解集，即可判断是否存在正整数，使得.【详解】在中，令，则，数列是是以为首项，为公差的等差数列，由数列满足，成等差数列，得，即，.若选条件，则，.由，得，或，即存在正整数使，且的所有取值组成的集合.若选条件，则，.由，得，或，即存在正整数使，且的所有取值组成的集合若选条件，则，由得，不存在正整数使.【点睛】关键点点睛：根据递推关系及等差数列的定义写出通项公式和前n项和公式，再由等差中项的
12、性质求，结合所选条件求，进而判断是否存在正整数，使得成立.19如图，斜三棱柱体积为，侧面与侧面都是菱形，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，通过证明平面，来证明.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，根据二面角与法向量夹角之间的关系求得二面角余弦值.【详解】（1）取的中点，连接、，由菱形的性质及，为正三角形.，又，平面，又平面，.（2）三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一，四棱锥的体积是柱体体积的三分之二，即等于.平行四边形的面积为.设四棱锥的高为，则：，又，平面，以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系：.则，
13、设平面的一个法向量为，则，令，则，.平面的一个法向量为，则.二面角的余弦值为.【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，把二面角问题转化为法向量间的夹角问题，从而求解.20我市某医疗用品生产企业对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比技术升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式.质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各件该医疗用品，在抽取的件产品中，根据检测结果将它们分为“”、“”、“”三个等级，等级都是合格品，等级是次品，统计结果如表所示：（表一）等级频数（表二）合格品次品合计甲乙合计在相关政策扶持下，确保每件该医疗用品的合格品都有对口销售渠道，但按照国
14、家对该医疗用品产品质量的要求，所有的次品必须由厂家自行销毁.（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断是否有的把握认为产品的合格率与技术升级有关？（2）在抽检的所有次品中，按甲、乙生产线的生产的次品比例进行分层抽样抽取件该医疗用品，然后从这件中随机抽取件，记其中属于甲生产线生产的有件，求的分布列和数学期望.（3）每件该医疗用品的生产成本为元，等级产品的出厂单价分别为元、元.若甲生产线抽检的该医疗用品中有件为等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件该医疗用品比技术升级前多盈利不超过元，则等级产品的出产单价最高为多少元？附：，其中.【答案】（1）列联表见解析，有；
15、（2）分布列见解析，4；（3）元.【分析】（1）写出列联表，再利用独立性检验求解；（2）由题得甲生产线的数量的取值可能为，再求出对应的概率即得解；（3）求出甲生产线单件产品的利润，乙生产线单件产品的利润.解不等式即得解.【详解】根据所提供的数据，可得列联表：合格品次品合计甲乙合计可得，故有的把握认为产品的合格率与技术升级有关.由于所有次品中，甲、乙生产线的生产的次品比例为，故抽取的件中有件甲生产线的，件乙生产线，从中随机抽取件中属于甲生产线的数量的取值可能为，则，所以的分布列为所以.甲生产线抽检的产品中有件等级，件等级件等级，乙生产线抽检的产品中有件等级，件等级，件等级；因为用样本的频率估计概
16、率，所以对于甲生产线，单件产品的利润，对于乙生产线，单件产品的利润.，.即等级产品的出产单价最高为元.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第（3）问，关键是求出甲乙生产线的单价产品的利润.21已知动点到直线的距离比到点的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）点是直线 上任意一点，过点作曲线的切线，其中为切点，请判断是锐角、直角还是钝角？并写出你的理由.【答案】（1）；（2）钝角，理由见解析.【分析】（1）由已知，结合点线、两点距离公式列方程，讨论、求轨迹方程，注意验证轨迹方程是否合理；（2）设，利用导数的几何意义求抛物线在处的切线方程，进而得到的坐标，写出、的坐标，根据的符号即可判断.【详解】
17、（1）设动点的坐标为，由已知条件，得：，当时，两边平方得，当时，两边平方得，而，与矛盾.综上，动点所在的曲线的方程为；（2）抛物线的方程为，即，求导得，设，则切线方程为，即.令，得，即，是钝角.【点睛】关键点点睛：第二问，设切点，利用导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，根据向量数量积的符号，即知向量夹角的范围，即的范围.22已知函数，其中.（1）求证：若时，成立；（2）若函数，且关于的方程有且只有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）法一：由且、，根据的符号确定的单调区间，进而可得极小值，即可证结论；法二：由题设，可知恒成立，只需证，利用导
18、数研究极值即可证结论；（2）将问题转化为方程在上有且只有两个不相等实数根，即令，则在有且只有两个不相等的零点，利用导数研究的极值并确定符号，得到单调区间，并结合零点存在性定理确定区间零点的个数，进而求得参数a的范围.【详解】（1）法一：由得：，当时，即，当时，是减函数；当时，是增函数.法二：由，知：，下面只需证明，令，则，当时，是减函数；当时，是增函数.时，成立.（2）由，知：方程有且只有两个不相等实数根，等价于方程有且只有两个不相等实数根，令，则在有且只有两个不相等的零点，当，时，是减函数；此时至多有一个零点，这种情况舍去.当，有，当时，是减函数；当时，是增函数.，在有且只有两个不相等的零点，极小值，即.由（1）结论，知：上，即在上恒成立，令，有且开口向上有两个不相等的实数根，则，不妨令，必有.使，即，又，是减函数，由零点存在性定理知：在时有且只有一个零点，同理，使，又，是增函数，由零点存在性定理知：在时有且只有一个零点，在有且只有两个不相等的零点.综上，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：（1）利用导数研究函数极值，进而证明函数不等式；或由将问题转化为证即可；（2）将由不同实根问题转化为令，在上有且只有两个不相等的零点时，求参数范围.
