1、“超级全能生”2021高考浙江省3月联考数学注意事项：1本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置3全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效4回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号5考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2欧拉公式（为自然底数，为虚数单位）是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名、最美丽的公式之一根据
2、欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3若实数满足约束条件则的取值范围是（ ）A B C D4已知都大于零且不等于1，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知函数，其图象大致为（ ）A B C D6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D7在直角坐标系中，已知为坐标原点，点满足且，则（ ）A B C D8已知离散型随机变量的分布列为1351245则下列说法一定正确的是（ ）A BC D9如图，已知在中，为线段上一点，沿将翻转至，若点在平面内的射影恰好落在线段上
3、，则二面角的正切的最大值为（ ）A B1 C D10设数列满足，且对于任意，都存在正整数使得，则实数的最大值为（ ）A B C2 D3二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分11函数，则的最小正周期为_，对称轴方程为_12二项展开式，则_，_13已知圆内接四边形的边长，则_，四边形的面积为_14已知直线与圆相切，且被圆截得的弦长为，则_，_15已知实数满足，则的最大值为_16某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一
4、共有_种不同的答题顺序17已知非零向量的夹角为，若存在两不相等的正实数，使得，则的取值范围为_三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18（本小题满分14分）已知锐角中，（I）求；（）求的取值范围19（本小题满分15分）如图，在三棱锥中，为线段的中点已知，且二面角的平面角大小为（I）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值20（本小题满分15分）已知分别是等差数列和等比数列，且（I）若成等差数列，求的通项公式；（）当时，证明：21（本小题满分15分）如图，已知点分别是椭圆的左、右顶点，点是椭圆与抛物线的交点，直线分别与抛物线交于两点（不同于）（I）求证：直
5、线垂直轴；（）设坐标原点为，分别记的面积为，当为钝角时，求的最大值22（本小题满分15分）已知，函数（I）讨论函数的单调性；（）已知函数存在极值点，求证：“超级全能生”2021高考浙江省3月联考数学 答案12345678910CBAAADBDCB11【答案】 12【答案】80 31 13【答案】 14【答案】 15【答案】5 16【答案】6017【答案】18解：（）由正弦定理和已知条件得， （2分）由余弦定理知， （4分）联立得又，所以 （6分）（） （8分） （10分）因为为锐角三角形，所以，且，所以， （11分）所以， （13分）故的取值范围为 （14分）19解：（I）证明：如图，过点作，
6、连接又，易知为二面角的平面角，即， （2分）取中点，连接，则 （4分）又，平面 （6分）又平面， （7分）（）解法一：由（）易知两两垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则 （9分）设平面的法向量为，则即可取 （12分）设直线与平面所成角为则 （15分）解法二：连接，在平面内过点作为垂足由（1）知平面又平面， （9分）就是直线与平面所成角 （11分）易得， （13分） （15分）20解：（）设数列的公差为的公比为由题可得即 （2分）化简得，解得或因为，即，所以， （4分）所以 （6分）（）证明：由已知可得因为，所以， （8分）所以 （10分）证法一：当
7、时，因为，所以有； （13分）当时，所以有综上所述，当，且时， （15分）证法二：令，所以当时，所以，所以，所以；当时，所以，所以，所以综上所述，当，且时， （15分）证法三：当时，成立假设当时，命题成立，则有；当由数学归纳法可知，原不等式成立 （15分）证法四：由已知，所以，所以，所以，所以 （15分）21解：（）证明：由题可得点设，则直线，与抛物线的方程联立，消去得 （2分）由韦达定理得，所以 （4分）又直线，同理可得，所以，所以直线垂直轴 （6分）（）解法一：因为点是椭圆与抛物线的交点，所以且 （7分）因为， （9分），所以 （11分）因为为钝角，所以，即把代入上式，解得， （13分）易
8、知当时，取到最大值 （15分）解法二：因为点是椭圆与抛物线的交点，所以且由题可得直线，点到直线的距离，点到直线的距离， （9分） （11分）因为为钝角，所以，即，把代入上式，解得， （13分）易知当时，取到最大值 （15分）22解：（）由题可得的定义域为 （1分）当时，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； （3分）当时，所以函数在上单调递增 （5分）（）证法一：由（1）可得，且是的两根设，则在处取到极大值，在处取到极小值，所以 （7分）因为，所以命题等价于证，整理得，即 （10分）令，故， （12分）则令，易知在上单调递增因为，所以存在，使，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以， （14分）所以成立，所以 （15分）证法二：由（1）可得，且是的两根设，则在处取到极大值，在处取到极小值，所以 （7分）先证：当时，当时，令，则在上单调递增，当时，所以当时，有；同理，当时， （9分）因为，所以 （11分） （15分）
