1、2021届新高考课改专家高三数学命题卷试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】先求出，再求出得解.【详解】由题得，又，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2已知复数，则（ ）ABCD【答案】A【解析】先利用复数的运算法则计算，然后再利用模长公式求模长.【详解】所以，故选：【点睛】本题主要考查了复数的运算，求复数的模，属于基础题.3网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”（单位：.号），第二行是脚长（单位：），请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折，那
2、么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是（ ）鞋码3536373839脚长225230235240245ABCD【答案】B【解析】先建立函数关系，再求解即可.【详解】解：设“脚长”为，“鞋号”为，根据题意发现与满足的函数关系，当时，故选：B.【点睛】本题考查函数关系的建立，是基础题.4已知圆上的点到直线的最远距离为4，则实数的值是（ ）A0或4B或2CD2【答案】B【解析】圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离再加上半径,即可求出的值.【详解】由得，所以圆心为，圆心到直线的距离为 所以，解得或2.故选：【点睛】本题主要考查了圆上的点到直线的距离，关键是要找到到直线距离最大的点，属于中档题.5函数
3、的部分图象可能是（ ）ABCD【答案】D【解析】由，函数不具有奇偶性，以及时，函数值大于0，结合选项即可得解【详解】解：，则可排除A；又函数不具有奇偶性，则可排除C；当时，则可排除B故选：D【点睛】本题考查已知函数解析式，利用函数性质确定函数图象，常用排除法进行解题，属于中档题6已知向量，.若，则向量与的夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先根据向量垂直，得到，即可求出参数的值，从而取出与的坐标，最后根据计算可得；【详解】解：因为，所以，因为，所以，解得，所以，所以，所以，所以故选：A【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算以及平面向量的夹角的计算，属于中档题.7六个人排队，甲乙
4、不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，结合排列组合，利用插空法和特殊位置法，先排丙，再插甲乙，即可得解.【详解】丙排第一，除甲乙外还有3人，共种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得，此时共有种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有排法，甲和乙不排在第一位，则剩下3人有1人排在第一位，则有种排法， 此时故共有种排法.故概率.故选：C.【点睛】本题考查了排列组合，考查了插空法和特殊位置法，在解题过程中注意各种情况的不重不漏，有一定的计算量，属于较难题.8已知函数，则函数的零点个数为（ ）A6B5C4D3【答案】C【解析】作出函数的图象如下图所示，作直线，得出
5、时，与函数的图象有两个交点，时，直线与在处相切，再令，令，可得有三个解：，再结合函数的图象可以得出交点的个数，从而得选项.【详解】作出函数的图象如下图所示，作直线，如图，时，与函数的图象有两个交点，即有两个解，且，时，则，由，解得，而时，所以直线与在处相切，即时，方程有一个解，令，令，则，由上面的讨论知方程有三个解：，而有一个解，有两个解，有一个解，所以有4个解，所以函数有4个零点，故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数问题，关键在于得出函数的图象，运用数形结合的思想判断出两函数的图象的交点个数，属于较难题.二、多选题9从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整
6、理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中（ ）A直径落在区间内的个数为18B直径落在区间内的概率是0.2C直径的众数一定落在区间D直径的中位数一定落在区间【答案】AB【解析】利用频率分布直方图分别计算各选项的值即可判断正误.【详解】对于A，直径落在区间内的频率为，则该区间的个数为个，故A正确；对于B，用频率估计概率可知直径落在区间内的概率是，故B正确；对于C，估计的众数在区间内，但实际的众数不一定，故C错误；对于D，由频率分布直方图可知，直径落在的频率为，则中位数可能落在，也可能落在，故D错误.故选：AB.【点睛】本题考查频率分布直方图的相关性质，属于基础题.10下列关于点、线、面位置关系
7、的命题中正确的是（ ）A若两个平面有三个公共点，则它们一定重合B空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内C两条直线，分别和异面直线，都相交，则直线，可能是异面直线，也可能是相交直线D正方体中，点是的中点，直线交平面于点，则，三点共线，且，四点共面【答案】CD【解析】在正方体中，分析每个选项是否正确即可.【详解】对于选项A：如图三个公共点在一条直线上，平面与平面相交不重合，故选项A不正确；对于选项B：正方体中从点出发的三条棱不在同一个平面内，故选项 B不正确；对于选项C若则，确定一个平面，且，与直线，的交点都在此平面内，则，共面，与，是异面直线矛盾，故 直线，可能是异面直线，也可能是相交直线.故
8、选项C正确；平面平面，因为直线交平面于点，所以，即，三点共线，因为，三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面，所以，四点共面，故选项D正确.故选：CD【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，以及确定平面的公理，属于基础题.11设函数，在上存在导函数，且，不含常数项，对于任意的实数都有，当时，则（ ）A是偶函数B在区间上是减函数C在区间上是减函数D若，则【答案】BCD【解析】根据条件依次判断每个选项的正误.【详解】对于A，由，不含常数项可知，因为对于任意的实数都有，是奇函数，故A错误；对于B， 当时，即，故在区间上是减函数，故B正确；对于C，当时，则在上是减函数，是奇函数，在区间上是
9、减函数，故C正确；对于D，若，则，即，是减函数，解得，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查函数的性质的综合应用，属于中档题.12已知为坐标原点，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）A若，则点的横坐标为4B该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为D周长的最小值为【答案】ACD【解析】先求出，选项A求出点的横坐标为，判断选项A正确；选项B求出抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，判断选项B错误；选项C先判断外接圆的圆心的横坐标为1，再判断外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半
10、径，最后求出半径和外接圆面积，判断选项C正确；选项D直接求出的周长为，判断选项D正确.【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，则，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；选项D：因为的周长为，所以选项D正确.故选：ACD【点睛】本题考查
11、抛物线的定义的几何意义，双曲线的通径长，三、填空题13二项式展开式中常数项为_.【答案】【解析】写出二项式展开式,利用的次幂为0，即可得常数项.【详解】展开式通项为： 令 ，得，所以常数项为，故答案为：【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项，求展开式中某一项的系数，属于基础题.14曲线在处的切线方程为_.【答案】【解析】首先求出切点坐标，再利用导数求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程；【详解】解：因为，当时，所以切点坐标为, 所以所以切线方程为，整理得故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.15已知在棱长为1的正方体中，为的中心，为的中点，过作交于点，则
12、三棱锥体积为_.【答案】【解析】作出图示，由已知条件可得出为的中点，再运用等体积法，可求得答案.【详解】作出图示如下图所示，由已知得，所以满足，所以，又，所以，又为的中点，所以为的中点，所以，故答案为：.【点睛】本题考查运用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.四、双空题16过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，点是原点，若，则_，的面积为_.【答案】 【解析】先根据抛物线定义求出点A坐标，求出直线AB方程，代入抛物线方程可求出点B，即可求出和面积.【详解】由题可知，设，如图，由抛物线的定义可知，则，则，直线的方程为：，代入抛物线得，解得，则，.故答案为：；.【点睛】本题考查直线与抛物线关系，考
13、查抛物线的定义，属于基础题.五、解答题17数列的前项和为，且.（1）求和；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）在等式中，令可求得的值，由可求得的值；（2）由可求得数列的通项公式，可求得的表达式，然后利用裂项相消法可求得.【详解】（1），.当时，；（2）当时，满足，所以，对任意的，.，因此，.【点睛】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.18在中，它的内角，的对边分别为，且，求：（1）角_？（2）在若，且边，若，且边这两个条件中任选一个，求边的值？【答案】（1）；（2）；.【解析】（1）用余弦定理直接代入即可求解；（2）用三角形面积公式和余弦
14、定理可解；用两次余弦定理解方程组即可求解.【详解】解：（1），所以，（2）若，且边，则，所以，所以，所以；若，且边，和，得代入到中，所以.【点睛】考查应用余弦定理和三角形面积公式求三角形中的边和角，中档题.19自然资源部门对某市饮用水厂中的地下水质量进行监测，随机抽查了100眼水井进行监测，得到溶解性总固体浓度（单位：）和硫酸盐浓度（单位：）的分布如下表：溶解性总固体浓度硫酸盐浓度3315478133710（1）估计事件“该市某一水井中溶解性总固体浓度不超过500，且硫酸盐浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：溶解性总固体浓度硫酸盐浓度合计合计（3）根据（2）中的列联
15、表，判断是否有99%的把握认为该市水井中溶解性总固体浓度与硫酸盐浓度有关？附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）；（2）见解析；（3）有99%的把握认为该市水井中溶解性总固体浓度与硫酸盐浓度有关.【解析】（1）根据表格可知满足条件的有63个，再计算概率；（2）根据所给数据，直接计算填表；（3）根据数据计算，再和临界值表的数据比较.【详解】（1）由表格可知，该市100眼水井中“溶解性总固体浓度不超过500，且硫酸盐浓度不超过150”的水井有33+7+15+8=63（眼）.所以“该市某一水井中溶解总固体浓度不超过500，且硫酸盐浓度不超过150”的概率
16、为.（2）由所给数据，可得列联表：溶解性总固体浓度硫酸盐浓度合计631780101020合计7327100（3）根据列联表中的数据可得根据临界值表可知，有99%的把握认为该市水井中溶解性总固体浓度与硫酸盐浓度有关.【点睛】本题考查独立性检验，重点考查数据分析，计算能力，属于基础题型，读懂题意是本题的关键.20如图，在三棱锥中，分别为棱，的中点.已知，.（1）证明：平面平面；（2）若，为中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）利用勾股定理证明出，结合已知条件由线面垂直的判定定理可证明平面，进而可得命题成立；（2）建立空间直角坐标系，如图所示，写出的坐标，求出平
17、面的法向量，利用线面角的正弦公式求解即可【详解】（1），分别为棱，的中点，且，分别为棱，的中点，且，又，即，又，平面，又平面， 平面平面（2）建立空间直角坐标系，如图所示设平面的法向量为则与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查空间角的求法，考查空间点线面的位置关系，考查空间向量的应用，属于中档题21已知椭圆：的右焦点为，下顶点为，上顶点为，离心率为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为，椭圆上有一点（不与重合），直线与直线相交于.若，求点的横坐标.【答案】（1）；（2）0或【解析】（1）由所以，又，得，又联立即可求解；（2）可求出坐标，可知直线斜率存在且不为0,求出斜率，即可得出
18、直线方程，联立直线与椭圆就能求得的横坐标.【详解】（1）由题意：， 所以，又，又，联立以上三式得：，所以椭圆的标椎方程； （2），可知，则直线斜率，所以直线方程为，代入椭圆可得，解得或，所以点的横坐标为0或.【点睛】本题考查了椭圆的标椎方程的求法和直线相交的求解，属于基础题.22已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若，讨论函数的单调性.【答案】（1）；（2）见详解.【解析】（1）因为，代入直接求导，即可得解；（2）进行求导，根据极值点的取到与否，进行分类讨论，即可得解.【详解】（1）当时，函数，令，解得：，当时，为增函数，当时，为减函数，故当时，取得极大值，无极小值.（2），当时，若时，若，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，时，恒成立，所以在上单调递减；当时，时，时，所以在和上单调递减在上单调递增；当时，所以在递减，在上单调递增；当时，若，若时，所以在和上为减函数，在上为增函数，当时，时，所以在上单调递减，在单调递增.综上所诉：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时， 在上单调递减；当时，在和上单调递减在上单调递增；当时， 在递增，在上单调递减.【点睛】本题为导数的综合应用，考查了利用导数求单调性和极值点，考查了分类讨论思想，计算量极大，在求解过程中注意不重不漏，在高考中是压轴题，属于难题.
