1、江苏省苏北四市2021届高三4月新高考适应性模拟考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知集合M，N，则MN A B C D2若复数z满足（i是虚数单位），则 A1 B C5 D3已知，则a，b，c的大小关系是 Aabc Bcab Cbac Dcba4甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测5人的名次排列情况共有A5种 B8种 C14种 D21种5定义在R上的奇函数在(，0上单调递减，且，
2、则不等式的解集为 A(，10) B(0，10) C(，10) D(0，)6今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82021天后是A星期二 B星期三 C星期四 D星期五7将正整数12分解成两个正整数的乘积有112，26，34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解，当pq(p，q)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则A210111 B21011 C210101 D210108如图，直角三角形PQR的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB、BC、CA上，且PQ，QR2，PQR，则AB长度的最大值为 A B6C D二、多项选择题（本大题共4小题，每
3、小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有A与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C2010年与2020年艺体达线人数相同D与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加10已知，是函数(0)的两个不同零点，且的最小值是，则下列说法中正确的有A函数在0，上是增函数B函数的图像关于直线
4、对称C函数的图像关于点(，0)中心对称D当x，时， 函数的值域是2，111如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E、F分别为棱AB、A1D1的中点，则下列说法中正确的有ADB1CEB三棱锥DCEF的体积为C若P是棱C1D1上一点，且D1P1，则E、C、P、F四点共面D平面CEF截该长方体所得的截面为五边形1217世纪初，约翰纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明我们知道，任何一个正实数N可以表示成N(1a10，nZ)的形式，两边取常用对数，则有lgN
5、nlga，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有真数x2345678910lgx(近似值)0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数x111213141516171819lgx(近似值)1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A310在区间(104，105)内B250是15位数C若(1a10，mZ)，则m16D若m32(m)是一个35位正整数，则m12三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知两个单位向量、满足，则与的夹角为 14已
6、知F为双曲线(a0，b0)的右焦点，过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 15写出一个值域为1，2的周期函数 16已知正四棱锥SABCD的底面边长为2，侧棱长为，其内切球与两侧面SAB，SAD分别切于点P，Q，则PQ的长度为 四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）已知数列中，其前n项和满足(n2，n)（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和18（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且abc，现有三个条件：a，
7、b，c为连续自然数；c3a；C2A（1）从上述三个条件中选出两个，使得ABC不存在，并说明理由（写出一组作答即可）；（2）从上述三个条件中选出两个，使得ABC存在，并求a的值19（本小题满分12分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：（1）请将22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；（3）在抽出的
8、216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m(m)人，现从这(10m)人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值20（本小题满分12分）图1是由正方形ABCD，RtABE，RtCDF组成的一个等腰梯形，其中AB2，将ABE、CDF分别沿AB，CD折起使得E与F重合，如图2（1）设平面ABE平面CDEl，证明：lCD；（2）若二面角ABED的余弦值为，求AE长21（本小题满分12分）已知函数（1）若直线是曲线的切线，求实数k的值；（2）若对任意x(0，)，不等式成立，求实数a
9、的取值集合22（本小题满分12分）已知椭圆(ab0)的左焦点为F，过F的直线与椭圆在第一象限交于M点，O为坐标原点，三角形MFO的面积为（1）求椭圆的方程；（2）若ABC的三个顶点A，B，C都在椭圆上，且O为ABC的重心，判断ABC的面积是否为定值，并说明理由江苏省苏北四市2021届高三4月新高考适应性模拟考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知集合M，N，则MN A B C D答案：B解析：M1，5)，N(0，2)，所以MN，故B符合题意2若复数z满足（i是虚数单位），则 A1
10、 B C5 D答案：1解析：，故1，选A3已知，则a，b，c的大小关系是 Aabc Bcab Cbac Dcba答案：B解析：(0，1)，则，故cab，选B4甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测5人的名次排列情况共有A5种 B8种 C14种 D21种答案：C解析：当丙是第一时，有6种情况；当丙不是第一时，有8种情况故共有6814种，选C5定义在R上的奇函数在(，0上单调递减，且，则不等式的解集为 A(，10) B(0，10) C(，10) D(0，)答案：D解析：，据题意知，在R上单调递减，且，故
11、，解得，故D符合题意6今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82021天后是A星期二 B星期三 C星期四 D星期五答案：C解析：，故82021除以7的余数是1，故选C7将正整数12分解成两个正整数的乘积有112，26，34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解，当pq(p，q)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则A210111 B21011 C210101 D21010答案：A解析：当i为偶数时，0；当i为奇数时， 所以8如图，直角三角形PQR的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB、BC、CA上，且PQ，QR2，PQR，则AB长度的最大值
12、为 A B6 C D答案：C解析：设PQB，则RQC，所以BPQ，CRQ， 在PBQ中，由正弦定理，即， 在CRQ中，由正弦定理，即， 所以二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有A与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C2010年与2020年艺体达
13、线人数相同D与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加答案：BD解析：设2010年考生数为x，则2020年考生数为，因为x28%24%x36%，即A错误；因为1.25，即B正确；因为x8%8%x12%，即C错误；因为x32%28%x42%，即D正确10已知，是函数(0)的两个不同零点，且的最小值是，则下列说法中正确的有A函数在0，上是增函数B函数的图像关于直线对称C函数的图像关于点(，0)中心对称D当x，时， 函数的值域是2，1答案：ABD解析：易知的周期T2，所以2，即，当x0，时，单调递增，即A正确；当时，即B正确；，即C错误；当x，时，所以的值域是2，1，即D正确11如图，在长方体
14、ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E、F分别为棱AB、A1D1的中点，则下列说法中正确的有 ADB1CEB三棱锥DCEF的体积为C若P是棱C1D1上一点，且D1P1，则E、C、P、F四点共面D平面CEF截该长方体所得的截面为五边形答案：BCD解析：因为DB与CE不垂直，所以DB1不可能垂直于CE，故A错误；VDCEFVFCDE，即B正确；当P是棱C1D1上一点，且D1P1时，CEFP，故E、C、P、F四点共面，即C正确；由C可知，FP，PC，CE为截面的边，而截面又与平面ABB1A1以及平面ADD1A1相交，得两条截面的边，即共有五条边，即D正确1217世纪初，约翰纳皮尔为了简
15、化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明我们知道，任何一个正实数N可以表示成N(1a10，nZ)的形式，两边取常用对数，则有lgNnlga，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有A310在区间(104，105)内B250是15位数C若(1a10，mZ)，则m16D若m32(m)是一个35位正整数，则m12答案：ACD解析：，A正确； ，B错误； ，即m16，故C正确； ，则，则，又，即m12，D正确三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置
16、上）13已知两个单位向量、满足，则与的夹角为 答案：解析：cos，所以与的夹角为14已知F为双曲线(a0，b0)的右焦点，过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 答案：解析：15写出一个值域为1，2的周期函数 答案：解析：答案不唯一16已知正四棱锥SABCD的底面边长为2，侧棱长为，其内切球与两侧面SAB，SAD分别切于点P，Q，则PQ的长度为 答案：解析：该正四棱锥的侧面的高，则该正四棱锥的高，其体积，表面积，所以内切球半径，设球心为O，则上，所以，即P，Q位于侧面高的处，所以四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作
17、答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）已知数列中，其前n项和满足(n2，n)（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和解：（1）由题意得 即， 又，所以 所以数列是以1为首项，公差为2的等差数列， 所以； （2） 所以18（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且abc，现有三个条件：a，b，c为连续自然数；c3a；C2A（1）从上述三个条件中选出两个，使得ABC不存在，并说明理由（写出一组作答即可）；（2）从上述三个条件中选出两个，使得ABC存在，并求a的值解：（1）选时三角形不存在，理由如下：因为a，b，c为连续自然数，ab
18、c，所以ba1，ca2，又因为c3a，所以a23a，解得不满足所以ABC不存在；选时三角形不存在，理由如下：在ABC中，由正弦定理得，因为，所以，所以，又因为c3a，所以cosA，此时A不存在，所以ABC不存在，（2）选时三角形存在：因为a，b，c为连续自然数，abc，所以ba1，ca2， 在ABC中，由余弦定理得， 在ABC中，由正弦定理得，因为，所以， 所以， 所以，解得19（本小题满分12分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：（1）请将22列联表补充完整
19、，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m(m)人，现从这(10m)人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值解：（1）填写22列联表如下： 所以 所以有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”； （2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为
20、，且各次抽取之间相互独立， 所以，所以 故X的分布列为 （3）Y的可能取值为0，1，2， 所以 所以， 即，即， 解得，又所以m的最大值为220（本小题满分12分）图1是由正方形ABCD，RtABE，RtCDF组成的一个等腰梯形，其中AB2，将ABE、CDF分别沿AB，CD折起使得E与F重合，如图2（1）设平面ABE平面CDEl，证明：lCD；（2）若二面角ABED的余弦值为，求AE长解：（1）因为CDAB，AB平面ABE，CD 平面ABE， 所以CD平面ABE， 又CD平面ECD，平面ABE平面ECD所以； （2）因为，所以， 又平面ADE，平面ADE， 所以AB平面ADE， 因为平面ABC
21、D，所以平面ABCD平面AED， 过E作EOAD于点O，则O是AD的中点， 因为平面平面AEDAD，平面ADE， 所以EO平面ABCD， 以O为原点，与AB平行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 设，则 设平面ABE的法向量为， 则，即，取，则， 所以平面ABE的一个法向量为， 同理可求得平面BDE的一个法向量为， 所以，解得或， 检验发现时二面角ABED的平面角为钝角， 所以，此时，21（本小题满分12分）已知函数（1）若直线是曲线的切线，求实数k的值；（2）若对任意x(0，)，不等式成立，求实数a的取值集合解：（1）因为，所以， 设切点为，此
22、时切线方程为， 又直线过(0，1)，所以，即， 令，则，且在上单调递增， 所以方程有唯一解，所以， （2）不等式恒成立，即不等式恒成立， 令，则 所以是函数的极值点，所以，即 此时， 所以在上递减，在上递增， 所以，符合题意， 所以，实数a的取值集合为22（本小题满分12分）已知椭圆(ab0)的左焦点为F，过F的直线与椭圆在第一象限交于M点，O为坐标原点，三角形MFO的面积为（1）求椭圆的方程；（2）若ABC的三个顶点A，B，C都在椭圆上，且O为ABC的重心，判断ABC的面积是否为定值，并说明理由解：（1）直线过左焦点F，所以，所以， 又由得，即，所以， 由椭圆定义知，即， 所以椭圆的方程为， （2）当直线BC的斜率不存在时，设直线BC的方程为， 设，则，因为O为ABC的重心，所以，所以， 所以， 当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为，设， 由得，显然， 所以，所以， 所以BC的中点， 因为O为ABC的重心，所以， 由A在椭圆上得，化简得， 所以， 因为点A到直线BC的距离d等于O到直线BC距离的3倍，所以， 所以， 综上得，ABC的面积为定值
