1、2021北京海淀高三一模数 学2021. 04本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A1，Bx | xa）。若ABB，则实数a的取值范围是（A）（、1）（B）（，1（C）（1，）（D）1，）（2）如图，在复平面内，复数z对应的点为P.则复数的虚部为（A）1（B）1（C）2（D）2（3）已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若a5S55，则a1（A）5（B）4（C）3（D）2
2、（4）在的展开式中，x4的系数为12，则a的值为（A）2（B）2（C）1（D）1（5）函数，中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（A）（B）（C）（D）（6）已知函数满足，且当x1时，f（x）log2x，则（A）2（B）1（C） 1（D） 3（7）已知a，b是单位向量，ca2b，若ac，则|c|（A）3（B）（C）（D）（8）已知点，则“ABC是等边三角形”是“直线AB的斜率为0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）设无穷等比数列an的前n项和为Sn若a1a2a1，则（A）Sn为递减数列（B）Sn为递增数列（C）数列Sn有最大项（D
3、）数列Sn有最小项（10）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h的平面为a，记平面a截牟合方盖所得截面的面积为s，则函数Sf（h）的图象是第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知函数f（x）x3at若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为2.则实数a的值是_。（12）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为_。（13）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m
4、0），则cos=_,若B是以OA为边的矩形的项点，则m_。（14）若实数，满足方程组，则的一个值是_。（15）对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线axbyc0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l，记所有的点词l的距离的最小值为d，约定：d1越大，分类直线l的分类效果越好，某学校高三（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用x（单位：百元）和网购图书的费用y（单位：百元）的情况如图所示，现将P1，P2，P3和P4归为第I组点，樽Q1，Q2，和Q3归为第II组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L给出下列四个结论：
5、直线x2.5比直线3xy50的分类效果好；分类直线L的斜率为2；该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于L的同侧；如果从第I组点中去掉点P1，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L。其中所有正确结论的序号是_。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题共14分）如图，在四边形ABCD中，AB/CD，AB2，CD，cos A，cos 。（I）求cosBDC；（II）求BC的长.（17）（本小题共14分）在如图所示的多面体中，AB/CD，四边形ACFE为矩形，ABAE1，
6、ADCD2.（I）求证：平面ABE/平面CDF；（II）设平面BEF平面CDFl，再从条件、条件、条件这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角BlC的大小确定，并求此二面角的余弦值.条件：ABAD；条件：AE平面ABCD：条件：平面AED平面ABCD.（18）（本小题共14分）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12，（12，14，（14
7、，16，（16，18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（I）求a的值；（II）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14，（14，16，（16，18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人、现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16内的学生人数为X，求X的分布列；（III）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“P20（k）”表示这20名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在（10，12（单位：小时）内的概率，其中k0，1，2，20.当P20（k）最大时，写出k的值.（只需写出结论
8、）（19）（本小题共15分）已知函数f（x）x sin x.（I）判断函数f（x）在区间（0，）上的单调性，并说明理由；（II）求证：函数f（x）在（，）内有且只有一个极值点；（III）求函数g（x）在区间（1，上的最小值.（20）（本小题共14分）已知椭圆M：（ab0）过A（2，0），B（0，1）两点.（I）求椭圆M的离心率；（II）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点.（21）（本小题共14分）已知无穷数列an，对于mN*，若an同时满足以下三个条件，则称数列an具有性质P(m).条件：an0
9、（n1，2，）；条件：存在常数T0，使得anT（n1，2，）；条件：anan+1man2（n1，2，）.（I）若an54（n1，2，），且数列an具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；（II）是否存在具有性质P（1）的数列an?若存在，求数列an的通项公式；若不存在，说明理由；（III）设数列an具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列an的通项公式.2021北京海淀高三一模数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BA CBDCC A DD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12
10、）（13）（14）（15）答案 0.答案不唯一.满足或即可 三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（）在中，因为，所以，.所以.因为，所以.所以.（）在中，由正弦定理得.因为，所以.因为，在中，由余弦定理得.所以.（17）（本小题共14分）解：（）因为四边形为矩形，所以.又因为，平面，平面，平面，平面，所以平面平面.（）选择，或因为平面，平面，平面，所以，.又因为，所以分别以，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，.所以，.设平面的法向量为，则即令，则，.于是.由（）可得：平面.取平面的一个法向量为.所以.所以二面角的余弦值为.选择因为平面平面，平
11、面平面,，平面,所以平面.又因为平面，所以.在矩形中，.因为平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.分别以，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，.所以，.设平面的法向量为，则即令，则，.于是.由（）可得：平面.取平面的一个法向量为.所以.所以二面角的余弦值为.（18）（本小题共14分）解：（）由频率分布直方图可得：解得.（）由频率分布直方图可知，这500名学生中日平均阅读时间在，三组内的学生人数分别为人，人，人.若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取了人.现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为.，.所以的分布列为（）.（19）（本小题
12、共15分）解：（）由题意知，.因为，所以.所以在上单调递增（）设，则当时，所以在内单调递减又因为，所以存在唯一，使得与在区间上的情况如下：极大值所以在内有且只有一个极值点（）由（）（）可知，在内单调递增，在内单调递减.又因为，所以当时，又因为当时，所以，当且仅当时等号成立所以在上的最小值为（20）（本小题共14分）解：（）因为点，都在椭圆上，所以，.所以.所以椭圆的离心率.（）方法一：由（）知椭圆的方程为，.由题意知：直线的方程为.设（，），.因为三点共线，所以有.所以.所以.所以.因为三点共线，所以，即.所以.所以直线的方程为，即.又因为点在椭圆上，所以.所以直线的方程为.所以直线过定点.方
13、法二：直线过定点，理由如下：设直线为（且），直线为（且）.所以直线与轴的交点.因为直线的方程为，所以直线与直线的交点.所以直线的斜率，直线的斜率.所以.将代入方程得.所以点的横坐标为，则.将点的坐标代入直线的方程，整理得.所以.因为，所以.所以.所以直线过定点.（21）（本小题共14分）解：（）；答案不唯一.如.（）不存在具有性质的数列，理由如下：假设存在具有性质的数列，设为，则所以，.因为（），所以，即所以，即，累加得，对于常数，当时，与矛盾所以不存在具有性质的数列（）因为数列具有性质，由（）知 当时，即，所以若（为常数，且），则，经检验，数列（）具有性质.若，当时，与矛盾 当时，令，则，.
14、所以.所以所以，所以，所以当时，与矛盾综上所述，数列的通项公式为（为常数，且）.感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。在上帝带来好光景以前，你们每天都可以来拿一个面包。”瞬间，这些饥饿的孩子仿佛一窝蜂一样涌了上来，他们围着篮子推来挤去大声叫嚷着，谁都想拿到最大的面包。当他们每人都拿到了面包后，竟然没有一个人向这位好心的面包师说声谢谢，就走了。但是有一个叫依娃的小女孩却例外，她既没有同大家一起吵闹，也没有与其他人争抢。她只是谦让地站在一步以外，等别的孩子都拿到以后，才把
15、剩在篮子里最小的一个面包拿起来。她并没有急于离去，她向面包师表示了感谢，并亲吻了面包师的手之后才向家走去。第二天，面包师又把盛面包的篮子放到了孩子们的面前，其他孩子依旧如昨日一样疯抢着，羞怯、可怜的依娃只得到一个比头一天还小一半的面包。当她回家以后，妈妈切开面包，许多崭新、发亮的银币掉了出来。妈妈惊奇地叫道：“立即把钱送回去，一定是揉面的时候不小心揉进去的。赶快去，依娃，赶快去！”当依娃把妈妈的话告诉面包师的时候，面包师面露慈爱地说：“不，我的孩子，这没有错。是我把银币放进小面包里的，我要奖励你。愿你永远保持现在这样一颗平安、感恩的心。回家去吧，告诉你妈妈这些钱是你的了。”她激动地跑回了家，告诉了妈妈这个令人兴奋的消息，这是她的感恩之心得到的回报。
