1、第五章.轴对称模型（十九）海盗埋宝模型 模型讲解【结论】如图 ，ADC和BEC是等腰直角三角形，A，B为直角顶点，F为DE的中点，连接FA，FB，则FAB是等腰直角三角形. 【特征】两等腰直角三角形 一组底角共顶点另一组底角顶点相连取中点 口诀 【证明】（方法一倍长中线法）如图，延长 AF至点P使得 FP=AF，连接 PE，PB，延长 PE交AC于点Q.在DAF 和EPF 中，DF=EF, DFA=EFP, AF=PF,DAFEPF(SAS)，DA=EP,DAF=EPF. DAEP.EQCDAQ90.在四边形 EQCB 中，EQCEBC9090180，QEBQCB360-180=180.又QE
2、BPEB180， QCBPEB.在ACB和PEB中，AC=PE, ACBPEB, BC=BE,ACBPEB(SAS). AB=PB，ABCPBEABCABEPBEABE,即ABPCBE=90. ABP是等腰直角三角形.又F是AP 的中点，BFAP,BF=AF.FAB是等腰直角三角形，F为直角顶点.（方法二构造手拉手模型）将DAC沿 AC对称，得PAC，将EBC沿 BC 对称，得QBC，连接EP，DQ.易证PCEDCQ（手拉手模型）， PE=DQ，PEDQ（手拉手模型的结论）.AF是DPE的中位线，BF是DQE的中位线 ，AFPE，AFPE，BFDQ.BFDQ， AF=BF，AFBF，FAB是等
3、腰直角三角形，F为直角顶点典例秒杀典例1 在任意三角形 ABC中，分别以 AB 和AC 为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图所示，M是 BC的中点，连接 MD和 ME，则 MD与ME 具有怎样的数量关系和位置关系?并说明理由 【解析】MDME，MDME.理由如下如图，分别取 AB，AC的中点F，G，连接DF，FM，MG，EG，设AB与DM 交于点H ADB 和AEC都是等腰直角三角形，DFAEGA90,DFAFAB， EGAGAC，M是BC 的中点，FM和MG都是ABC的中位线， AFMG,AFDFMG, 四边形 AFMG是平行四边形， FM=AG=GE，AFMAGM， DFMMGE.在
4、DFM 和MGE 中， FMGE, DFMMGE, DFMG,DFMMGE(SAS), MDME,FDMGME, BHM90FDM90GME. 又AFMG，BHMHMGDMEGME， DME=90，即 MDME.典例2 在RtABC中，ACB=90，tanBAC，点 D在边AC上（不与A，C重合），连接 BD，F为BD的中点.若过点D作DEAB于点E，连接CF，EF，CE，如图1，设 CFkEF，则k=_.将ADE绕点A旋转，使得 D，E，B三点共线，点F仍为BD的中点，如图2所示，求证BEDE2CF.若BC6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD 的中点，求线段CF
5、长度的最大值. 【解析】F为BD的中点，DEAB，ACB=90， CFBD，EFBD，CF=EF, k=1.如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q. tanBAC ，D，E，B 三点共线， AEDB.BQCAQD,ACBAEQ90, QBCEAQ.ECAACG90，BCGACG90ECABCG.BCGACE, ，GB=DE.F是BD的中点，F是EG的中点.在 RtECG中，CF=EG, BEDEBEGBEG2CF.如图，当 ADAC时，取AB的中点M，连接 MF，CM. ACB=90,tanBAC，且BC6，AC12,AB6.M为AB的中点，CMAB3. AD=AC，AD
6、=4. M为 AB 的中点，F为 BD 的中点，FMAD2. 当且仅当 M，F，C三点共线且F在线段 CM的延长线上时，CF 最大.此时 CFCMFM23.如图，当 ADAC时，取 AB的中点M，连接 MF，CM ， 同可知，CF的最大值为 43.综上，线段 CF的长度的最大值为43.小试牛刀1.（）已知两个等腰 RtABC，RtCEF有公共顶点C，ABCCEF=90，连接 AF，M 是 AF的中点，连接 MB,ME.如图1，当 CB 与CE 在同一直线上时，求证MBCF.如图1，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长.如图2，当BCE=45时，求证BMME. 2. （）如图1，在AB
7、C中，ACB90，BC=AC，点D在边AB 上，DEAB交 BC于E，F是AE的中点.写出线段 FD 与线段 FC 的关系并证明.如图 2，将BDE绕点 B 逆时针旋转（090），其他条件不变，线段 FD与线段 FC 的关系是否变化?写出你的结论并证明.将BDE 绕点B 逆时针旋转一周，如果 BC=4，BE=2，直接写出线段 BF 长度的范围. 直击中考1.如图，四边形 ABCD是正方形，点O为对角线 AC的中点.（1）问题解决如图1，连接 BO，分别取CB，BO的中点 P，Q，连接 PQ，则 PQ 与 BO 的数量关系是_，位置关系是_。（2）问题探究如图 2，AOE是将图1中的AOB 绕点
8、A按顺时针方向旋转 45得到的三角形，连接 CE，点 P，Q分别为 CE，BO的中点，连接 PQ，PB.判断PQB 的形状，并证明你的结论. 第五章.轴对称模型（十九）海盗埋宝模型 答案：小试牛刀1. 解析 （1）方法一如图，延长 AB交CF于点 D. 易知BCD 为等腰直角三角形，又ABC是等腰直角三角形，AB=BC=BD, 点 B为线段 AD 的中点.又点 M为线段AF的中点， MB 为ADF的中位线， MB/CF.方法二如图，延长 BM交EF 于点D. ABC=CEF=90, ABCE,EFCE, AB/EF，BAM=DFM.M是AF的中点， AM=MF.在ABM和FDM中，BAM=DF
9、M， AM= FM,AMB=FMD， ABMFDM（ASA），AB=DF, BC=DFBECEBC，DEEFDF，BEDEBDE 是等腰直角三角形， EBM=45.在等腰直角CEF中，ECF=45，EBMECF，MBCF.（本小问可以用模型得出EMB 为等腰直角三角形，得到EBM=ECF=45，从而得到 BMCF）（2）方法一如图，延长 AB交CF 于点D. BCD与ABC为等腰直角三角形， ABBDBCa,ACCDa，点 B为AD 的中点.又点 M为 AF 的中点，BMDF.分别延长 FE与 CA 交于点G，则CEF与CEG 均为等腰直角三角形.GEEFCE2a,CGCF2a,点 E为 FG
10、 的中点，又点 M为 AF 的中点，ME=AGCGCF2a，CACDa， AGDFa,BMMEa=a.方法二如图，延长 BM交EF于点D. CBa,CE2a,BE=CECB2aaa. ABMFDM, BM=DM.又BED是等腰直角三角形， BEM 是等腰直角三角形，BMMEBEa（3）方法一如图，延长 AB交CE于点D，连接 DF. ABC与BCD为等腰直角三角形，AB=BC=BD,AC=CD,点B为AD的中点.又点 M为 AF 的中点，BMDF.分别延长 FE与 CB 交于点G，连接 AG，则CEF与CEG均为等腰直角三角形. CEEFEG,CFCG, 点E为 FG 的中点.又点 M为AF的
11、中点， MEAG.在ACG与DCF中，AC=CD,ACGDCF=45,CG=CF, ACGDCF（SAS）， DFAG. BMME.方法二如图，延长 BM交CF 于点D，连接 BE,DE. BCE=45,ACD=45245135，BACACF=45135=180,AB/CF, BAMDFM.M是AF 的中点， AMFM.在ABM 和FDM中，BAMDFM, AMFM, AMBFMD,ABMFDM（ASA），AB=DF,BM=DM, BC=DF.在BCE和DFE中， BC=DF,BCEDFE45,CE=FE,BCEDFE(SAS),BEDE,BECDEF. BEDBECCEDDEFCEDCEF9
12、0, BDE 是等腰直角三角形.又BMDM，BMMEBD,即 BMME.2. 解析 （1）结论FDFC，CFDF.理由 DEAB，ADE90，F是AE的中点，AFFE，又ACB90，DF=AF=EF=CF， FADFDA，FACFCA，DFEFDAFAD2FAD,EFCFACFCA2FAC. CA=CB, . BAC=45,DFCEFDEFC=2（FADFAC）90，DFFC.（2）结论不变. 理由如下方法一如图，延长 AC到点M，使得 CMCA，延长 ED 到点N，使得 DNDE，连接 BN，BM，EM，AN，延长 ME 交 AN 于点 H，交 AB于O.BCAM，AC=CM， BABM.同
13、理BEBN.易知ABMEBN90， NBAEBM，ABNMBE,ANEM，BANBME.AFFE,ACCM, CFEM, FCEM. 同理，FDAN, FDAN,FD=FC.BME BOM90,BOM = AOH,BANAOH=90, AHO=90, ANMH，FDFC.方法二如图，延长 CF到点M，使得 FMCF，连接 EM，CD，CE，DM，AM，延长 ME交 BC 于点H. F为AE 的中点， AFEF,又 FMCF，四边形 MECA 是平行四边形， ME=AC.又 ACBC， MEBC.DBC=45a,BEH90a, DEM=180DEBBEH18045(90a)=45a, DBCDE
14、M.在BDC 和EDM 中，BD=ED, DBCDEM, BCEM,BDCEDM(SAS). DMDC,BDCEDM,MDC=MDEEDC=BDCEDC=BDE=90, CDM 是等腰直角三角形， FDFC,FDFC.（3）如图，当点E落在边 AB 上时，BF的长最大，最大值为 3. 如图，当点E落在AB 的延长线上时，BF的长最小，最小值为. 综上所述，BF3。直击中考1. 解析（1）点P和点Q分别为CB，BO的中点，PQ为BOC的中位线， PQ=CO,PQCO.四边形 ABCD是正方形， COBO,COBO.PQBO,PQBO.（2）PQB是等腰直角三角形.理由如下如图，连接 OP并延长交 BC于点F. 由正方形的性质及旋转可得 ABBC，ABC90，AOE是等腰直角三角形，OEBC,OEOA,OEPFCP,POEPFC.又点 P是CE 的中点， CP=EP, OPEFPC（AAS）， OEFCOA,OPFP. BO=BF,OBF 是等腰直角三角形. BPOF,OPBP,BPO也是等腰直角三角形.又点 Q为OB 的中点，PQOB，且PQ=BQ， PQB 是等腰直角三角形.
