1、1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数第1课时任意角的三角函数的定义学 习 目 标核 心 素 养1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号(易错点)3.掌握公式并会应用1.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养了学生数学抽象和数学建模的核心素养.2.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升了学生直观想象和数学运算的核心素养.1任意角的三角函数的定义前提如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义正弦y叫做的正弦，记作sin ，即sin y余弦x叫做的余弦，记作cos ，即cos
2、x正切叫做的正切，记作tan ，即tan 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan 3.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”4诱导公式一思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？提示：一定相等1若角的终边经过点P(2，3)，则有()Asin Bcos Csin Dtan C这里x2，y3，则r，sin ，cos ，tan ，故选C.2已知sin 0，cos 0，则角是()A第一象限
3、角B第二象限角C第三象限角D第四象限角B由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角是第二象限角3sin sinsinsin.4角终边与单位圆相交于点M，则cos sin 的值为 cos x，sin y，故cos sin .三角函数的定义及应用探究问题1一般地，设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin ，cos ，tan 为何值？提示：sin ，cos ，tan .2sin ，cos ，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin ，cos ，tan 的值只与的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变【例1】(1)已知角的终边上有一点P(x，3)
4、(x0)，且cos x，求sin ，tan 的值为 ；(2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin ，cos ，tan 的值思路点拨：(1)(2)(1)，3由三角函数定义知，cos x.x0，x1，r.sin ，tan 3.(2)解直线xy0，即yx，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan ；在第四象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan .1将本例(1)中条件“x0”改为“x0”，结果如何？解x0，由x得x1.sin ，tan 3.2将本例(1)中条件“x0”改为“x0”，结果又怎样？解因为r，cos ，所以x，又x0
5、，所以x1，所以r.当x1时，sin ，tan 3，当x1时，sin ，tan 3.3将本例(1)中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cos ”去掉，结果又怎样？解x0，r|x|.当x0时，P在第一象限，为第一象限角，这时rx，则sin ，cos ，tan 3.当x0时，P在第三象限，为第三象限角，这时rx.则sin ，cos ，tan 3.4将本例(2)的条件“xy0”改为“y2x”其他条件不变，结果又如何？解当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1，2)，由r|OP|，得sin ，cos ，tan 2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)，由r|OQ|，得
6、：sin ，cos ，tan 2.由角终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值在的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0)则sin ，cos .已知的终边求的三角函数时，用这几个公式更方便(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论三角函数值符号的运用【例2】(1)已知点P(tan ，cos )在第四象限，则角终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)判断下列各式的符号：s
7、in 145cos(210)；sin 3cos 4tan 5.思路点拨：(1)先判断tan ，cos 的符号，再判断角终边在第几象限(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号(1)C因为点P在第四象限，所以有由此可判断角终边在第三象限(2)解145是第二象限角sin 1450.210360150，210是第二象限角，cos(210)0，sin 145cos(210)0.3，4，52，sin 30，cos 40，tan 50，sin 3cos 4tan 50.判断三角函数值在各象限符号的攻略：(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；(2)关键：准确记忆
8、三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号1已知角的终边过点(3a9，a2)且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是 2，3因为cos 0，sin 0，所以角的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为终边过(3a9，a2)，所以所以2a3.2设角是第三象限角，且sin，则角是第 象限角四角是第三象限角，则角是第二、四象限角，sin，角是第四象限角诱导公式一的应用【例3】求值：(1)tan 405sin 450cos 750；(2)sincostancos.解(1)原式tan(36045)sin(
9、36090)cos(236030)tan 45sin 90cos 3011.(2)原式sincostancossincostancos1.利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k的形式，其中0，2)，kZ.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角的某个三角函数值(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值3化简下列各式：(1)a2sin(1 350)b2tan 4052abcos(1 080)；(2)sincostan 4.解(1)原式a2sin(436090)b2tan(36045)2abcos(3360)a2sin 90b2tan 452abcos 0a2b2
10、2ab(ab)2.(2)sincostan 4sincostan 0sin0.1通过三角函数的定义的学习，为以后学习一切三角函数知识打下了基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点2三角函数的定义域是学习三角函数图象与性质的基础，通过对角的集合与函数值之间的对应关系，加深对三角函数定义的理解3三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式，也可用口诀只记正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”1有下列说法：终边相同的角的同名三角函数的值相等；sin 是“sin”与“”的乘积；若si
11、n 0，则是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos .其中正确的个数是()A0 B1C2D3B正确；错误；sin 是整体；错误，如sin 10；错误，cos ，故B选项正确2若sin cos 0，则在()A第一或第四象限B第一或第三象限C第一或第二象限D第二或第四象限B因为sin cos 0，所以sin 0，cos 0或sin 0，cos 0，所以在第三象限或第一象限3在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin ，则sin 设角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角的终边与单位圆相交于点Q(x，y)，由题意知ysin ，所以sin y.4求值：(1)sin 180cos 90tan 0；(2)costan.解(1)sin 180cos 90tan 00000.(2)costancostancostan1.
