1、19.1.2 函数的图象函数的三种表示方法教学设计一、教学目标知识与技能1.运用丰富的实例,帮助学生全面理解函数的三种表示方法,进一步了解三种表示方法的优缺点.2.会根据具体情况选择适当方法表示函数.过程与方法让学生通过观察、作图、交流等活动,加深对函数三种表示方法的认识,提高把实际问题化为数学问题的能力.情感、态度与价值观让学生通过实际操作,体会函数三种表示法在实际生活中的应用价值,激发学生对数学学习的兴趣.二、教学重难点【重点】 函数的三种表示方法及其应用【难点】 利用函数的图象解决问题.三、教学过程设计活动一：回顾思考，总结归纳通过前面几节课的学习,我们已经知道写出函数的解析式,或者列表
2、格,或者画函数图象,都可以表示具体的函数关系,这三种表示函数的方法分别称为解析式法、列表法和图象法.【思考】从前面的例子看,你认为三种表示函数的方法各有什么优点?【师生活动】学生分组活动,先独立思考,然后在组内交流并作记录,最后各组派代表汇报.教师小结:列表法直接给出部分函数值,解析式法明显地表示对应规律,图象法明显地表示变化趋势.在表示函数时,要根据具体情况选择适当的方法,有时为全面地认识问题,需要同时使用几种方法.【设计意图】通过分析、对比,让学生明晰函数三种表示法的优缺点,培养学生的探究、应用能力,为新课作准备.活动二：问题探究，新知领悟我们首先思考刚才提出的第一个问题:函数有哪些表示方
3、法?提问:表示函数有哪三种方法?学生结合引例,通过讨论,然后准确地描述出三种方法.学生讨论解决.问题1:这三种表示的方法各有什么优点?问题2:这三种表示的方法各有什么不足之处呢?问题3:请从全面性、准确性、直观性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点,填写下表: 表示方法全面性准确性直观性形象性列表法解析式法图象法【师生活动】学生四人为一组,通过观察,思考,讨论,并填好表格中的内容.教师参与学生的讨论,注意首先肯定学生的回答,确定其优点,再指出不足之处. 教师小结:从所填表中可以清楚看到三种表示方法各自的优缺点.在遇到实际问题时,就要根据具体情况选择适当的方法,有时为全面地认识问题
4、,需要几种方法同时使用.【归纳总结】1函数的三种表示方法：解析式法、列表法和图象法2函数的三种表示方法的优缺点：(1)解析式法能简单、准确地反映出整个变化过程中两个变量之间的关系，但不能直观、形象地反映出变量之间的变化趋势；(2)列表法能明显地显示出自变量与其对应的函数值，但具有局限性；(3)图象法形象直观，但画出的图象是近似的、局部的，往往不够准确【设计意图】通过学生的思考、培养学生的逻辑思维能力以及严谨的学习态度,使学生初步养成言之有据的习惯.活动三:典例分析，知识理解例(教材P80例4)一个水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示
5、水位高度t/h012345y/m33.33.63.94.24.5(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？(2)水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象，这个函数能表示水位的变化规律吗？(3)据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将为多少米？【思路引导】(1)图象法:在下面的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点:观察描出的点,这些点的位置特征是,再结合表中数据,可以发现每小时水位上升m.由此猜想,如果画出这5小时内其他时刻(如t=2.5 h等)及其水位高度所对应
6、的点,它们可能也在.即在这个时间段内水位可能是始终以同一速度均匀上升的.(2)解析式法:观察上图,由于水位在最近5 h内持续上涨,对于时间t的每一个确定的值,水位高度y都与其对应,所以是的函数.由于开始水位是3 m,以后每小时上升0.3 m,故y=(t 的范围是).其图象是下图中的线段AB.这个函数可以精确地表示水位的变化规律.如果水位的升速有些变化,也可近似地表示水位的变化规律.(3)函数及其图象的应用:如果这种上涨规律还会持续2 h,那么可以预测2 h后的水位:由函数解析式预测:当t=7时,y=5.1 m.由函数图象预测:在下图中,把函数图象(线段AB)向右延伸到t=7时所对应的位置,找出
7、其点所对应的纵坐标,也可看出大约是5.1 m.(注意,这个结果是近似的,而上面的是准确的)学生根据老师的引导整理解题过程.【解】(1)如教材图19.1-9,描出教材表19-6中数据对应的点.可以看出.这6个点在一条直线上,再结合表中数据,可以发现每小时水位上升0.3 m.由此猜想,如果画出这5 h内其他时刻(如t=2.5 h等)及其水位高度所对应的点,它们可能也在这条直线上,即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.(2)由于水位在最近5 h内持续上涨,对于时间t的每一个确定的值,水位高度y都有唯一的值与其对应,所以y是t的函数,开始时水位高度为3 m,以后每小时水位上升0.3 m,
8、函数y=0.3t+3(0t5)是符合表中数据的一个函数,它表示经过t h水位上升0.3t m,即水位y为(0.3t+3)m.其图象是教材图19.1-10中点A(0,3)和B点(5,4.5)之间的线段AB.如果在这5 h内,水位一直匀速上升,即升速为0.3 m/h,那么函数y=0.3t+3(0t5)就精确地表示了这种变化规律,即使在这5 h内,水位的升速有些变化,而由于每小时水位上升0.3 m是确定的,因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.(3)如果水位的变化规律不变,则可利用上述函数预测,再过2 h,即t=5+2=7(h)时,水位高度y=0.37+3=5.1(m).把教材图19.1-9中
9、的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7所对应的位置,得教材图19.1-10,从它也能看出这时的水位高度约为5.1 m.教材19.1-9教材19.1-10【设计意图】给学生提供充分的时间与空间,让他们进行自主探索,并与同伴交流,经历数学活动的过程,培养学生分析问题、解决问题的能力.就上面的例子中提几个问题，大家思考:(1)函数自变量t的取值范围:0t7是如何确定的?(2)2小时后的水位高度是通过解析式求出的好,还是从函数图象估算出的好?(3)函数的三种表示方法之间是否可以转化?学生代表发言,相互补充.(1)从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况,且估计这种上涨情况还会持续2小时,所以自变
10、量t的取值范围取0t7,超出了这个范围,情况将难以预计.(2)2小时后水位高度通过解析式求的值准确,通过图象估算直接、方便.就这个题目来说,虽然2小时后水位高度本身就是一种估算,但为了准确而言,我认为还是通过解析式求出较好.(3)从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化,因为题目中只给出了列表法,而我们通过分析求出解析式并画出了图象,所以我认为可以相互转化.【设计意图】通过例题的讲解,让学生进一步巩固函数的三种表示方法,并会根据实际选择适当的方法.【方法归纳】函数的三种表示方法可以根据需要相互转化，在转化过程中注意实际问题中自变量的取值与对应函数图象的关系活动四:迁移运用，转化提升课本8
11、1页练习1用列表法、解析法表示n边形的内角和m是边数n的函数2用解析法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数活动五:归纳小结，知识升华师生共同回顾本节课所学主要内容:1.函数的三种不同的表示方法:列表法、解析式法和图象法.2.三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法.其优缺点如下:表示方法含义优缺点列表法用表格形式列出自变量与因变量对应的取值,表示函数两个变量之间的关系优点:能明确地显示出自变量的值和与之对应的函数值缺点:不能反映出函数的全貌图象法用图象表示两个变量之间的函数关系优点:能直观地显示出数据的变化规律缺点:画出的图象多为近似的、局部的,由图象确定的函数值往往不够准确
12、解析式法用含自变量的各种数学算式构成的式子表示的方法优点:能准确、规范且简明扼要地表示函数缺点:并非所有函数都可以用四、 作业布置【必做题】教材第82页习题19.1第8题.【选做题】教材第83页习题19.1第11,12题五、板书设计函数的表示方法函数的三种表示法:1.列表法:把自变量x与其对应的一系列的函数y的值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法.2.解析法:用含自变量x的代数式表示函数y的方法叫解析式法.3.图象法:用图象来表示函数关系的方法叫做图象法.六、教学反思教学中,学生对具体的实际问题中如何选择函数的表示法存在疑惑,教师应该引导学生根据具体问题选择合适的表示方法,并引导学生归纳：,需要能准确反映整个变化过程中自变量与函数相应关系的,要选择解析法;不需要计算,就可查出自变量的对应值的,要选择列表法;能直观、形象地把函数关系表达出来,也能直观地研究函数的一些性质的,要选图象法.应用时,要根据具体情况选择适当的方法,有时为全面认识问题,需要几种方法同时使用.
