1、第十四章 整式的乘除与因式分解1、教学内容及地位本章属于课程标准中的 “数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。2、本章教学内容在学习上各部分知识之间的联系如下：从上面可以看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化
2、为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。3、教学目标课程标准目标人教材具体目标目标1：了解整数指数幂的意义和基本性质，会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）目标1：掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行计算.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行计算.目标2：会推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算.目标2：会推导乘法公式（平方
3、差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算.目标3：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）.目标3：理解因式的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握提公因式法和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解分解因式的一般步骤，能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.目标4：掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.目标解析:解析每个目标目标1中课标对整式乘法运算的要求其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。目标2中对乘法公式
4、的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。目标3中，课标要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转
5、化的辨证思想。通过学生的自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想，培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力，使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 课标总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握：课标是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但课标是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出课标要求的范围，因此应以课标为准绳把握教学目标。课标是
6、国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。4.本章教学重点、难点本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。5.课时安排本章教学时间约11课时，具体分配如下（仅供参考）：14.1整式的乘法 4课时14.2乘法公式 2课时14.3因式分解 3课时数学活动小结 2课时6、教学要求基本要求-会识别、能计算：u 经历幂的运算性质、整式的乘法法则、乘法公式的探索过程，能够进行简单的整式乘法运算（特别是利用乘
7、法公式进行计算）.掌握三个对象以内的数字指数的幂的运算，如：掌握可转化为幂的运算的数字简单问题，如：掌握三个以内单项式的乘法运算，如：掌握一个单项式与一个二项式的乘法运算，如：掌握两个一次二项式的乘法运算（特别是应用乘法公式的），如：u 经历整式除法法则的探索过程，会进行简单的整式除法运算.u 理解因式分解的意义，感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形.u 掌握因式分解的方法提取公因式法和公式法（直接使用公式不超过两次）.并能熟练地运用这些方法进行简单的因式分解略高要求-会运用性质解决相关问题u 能灵活地运用三个幂的运算性质进行计算，并能弄清各性质之间以及它们与合并同类项之间的区别与联系u 能
8、根据运算性质、法则进行整式的加、减、乘、除、乘方较简单的混合运算.u 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.如：4150.2515=（40.25）15=；（利用乘法交换律和结合律，逆用积的乘方性质简化运算）98102=（100-2）（100+2）=； 1022=（100+2）2=.（利用乘法公式将数的运算简化）u 能综合运用两个乘法公式进行计算，并把公式推广到三个数的情况.如：P155例5：运用乘法公式进行计算： (1)(x+2y-3)(x-2y+3)； (2)(a+b+c) 2u 体会代数与几何图形之间的联系，能用几何图形解释代数恒等式，从中体会数学的整体性.如平方差公式和完全平方公式.较高
9、要求-知识的灵活应用u 能够逆用幂的运算性质进行简化计算.如：若2m=a , 32n = b，则23m+10n = . （用a、b的代数式表示）u 会逆用乘法公式解决问题.如：若4y2 +my +9是一完全平方式，求m值.如：已知x-y=-10，求的值.（可以整体代入）u 能够综合应用本章的知识适当进行等式的恒等变形. 如：已知a+b=5，ab=3，求a2 +b2的值. 如：已知x+5y=6 , 求 x2+5xy+30y 的值. （利用因式分解，两次整体代入）如：在(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的积中，x3项的系数是-5，x2项的系数是-6，求a，b的值.（求待定系数的值）u 知道在实
10、数范围内分解因式. 11.（无特别说明都是指在有理数范围内分解因式）7、教学建议把握教学要求，重视 “过程”的教学为减轻学生负担，培养学生的创新精神和实践能力，新的课程标准中对于那些对后续学习意义不大、学得很早但用得很晚，以及过繁过难的内容进行了删减或降低要求。教学中要注意准确把握教学要求，避免将删掉或降低难度的内容重新拣回。本章整式乘除的运算性质、除法运算性质、乘法公式的得出过程，一般都是从数的运算，归纳得到式的运算性质，是一个由特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程。在性质和公式发生过程的教学中，要重视上述归纳的过程教学，使学生在这个过程中理解和掌握性质和公式。应是学生在理解的基础上加以记忆，
11、在运用的基础上予以巩固。改变教学方式，加强学生的自主活动教材中安排了大量的“探究”和“思考”栏目，以“观察归纳-类比概括”为主要线索呈现运算法则的探索过程。在探索活动中体会整式运算的规律，教学中应注重学生对算理的理解，能够合理安排运算顺序，寻找简捷的运算途径，有意识地培养学生的推理能力和表达能力。在本章教学中，可以通过设置合理的问题情境，引导学生观察、思考、探究和归纳；通过设置恰当数量和难度的符号运算，促进学生对算理的理解和基本运算技能的掌握；通过“探究”栏目，让学生体验获得结论的过程，获得成功的喜悦和信心；通过“思考”栏目可以拓展思维空间，促进数学思考，加深对问题的认识。在学习活动中要充分信
12、任学生，努力发挥他们的主观能动性，让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习。勤于思考，善于思考，是学好数学的先决条件。渗透思想方法，注意数学知识间的内在联系本章主要涉及的数学思想方法有：转化思想、数形结合思想、类比思想、分类讨论思想、一般到特殊再到一般的基本数学思想等。“转化思想”的使用在本章中极为突出。例如多项式的乘除法都是先转化为单项式的乘除，再转化为有理数的乘除与同底数幂的乘除法。由此可以看出，在整式的乘除法的学习中，只有打好基础，才能够熟练地进行后面的运算；只有在熟练运用转化方法的前提下，才能够顺利地取得较好的效果。在教学中，还要注意代数与几何之间的内在联系。数形结合，实
13、际上就是抽象与直观的结合。在以运算为主的“整式的乘除”一章中，抽象的运算公式、性质和法则借助于图形，就可以直观地反映它们的含义，揭示它们的本质，便于学生理解，增强记忆效果。比如教材在介绍单乘多、多乘多、平方差公式、完全平方公式时，都是先通过计算，得出用符号语言表达的法则，然后用文字语言加以概括和总结，最后用图形语言给出直观解释，将文字、符号、图形这三种数学语言的有机结合，有利于学生理解和掌握知识，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的数学交流能力。8、具体教学建议第一部分 对章前引言内容应给予一定重视一般地，章节前面的引言内容是一章的主线，是本章主要内容的经典浓缩，教学中，我们要给予一定重视。第十
14、五章“整式”以实际背景“长方形绿地”切入，引出数学问题“整式运算和因式分解”，即本章的核心知识，进而指出只有学习了本章知识，才能解决前面提到的实际问题，体现出“知识来源于生活，最后又应用于生活”的一般认识规律。第二部分 幂的乘除运算性质需要解决的问题： 如何得到正整数指数幂的运算法则？（了解前后知识间的联系，了解学科中局部与整体的关系，重视法则的探索过程） 怎样避免散、乱的练习，达到紧凑、高效的学习？（设计典型的例题，通过探索，达到一题多用，如：102103，可以通过变底数、变指数、变项数、变符号、变问题情境、变思维方式训练；或进行编题活动） 对字母指数幂的问题如何处理和掌握？（简单的字母指数
15、问题应涉及） 对形如的式子，如何处理？（对，可以通过探究，得到一般规律） 如何淡化记忆，强调经历，更有效地与学生固有知识结构相衔接？（教材不用黑体字，于前有别，注意体会，通过补充一定量的口答题、辨析题，组织学生交流、讨论，加强对幂性质的掌握） 需要不需要补充？补充多少？（补充一些应用类问题，如：已知，求的值） 建议一：幂的意义要复习到位关于底数、指数、幂的概念，尤其是幂的意义是学习幂的四个运算性质的基础，而这些概念是在有理数的乘法中学习的，储存知识的时间过长，学生可能遗忘。因此，在讲解之前，幂的意义一定要复习到位。复习：an 表示的意义是什么？其中a、n、an分 别叫做什么? n个a= ana
16、a a幂的意义：底数幂指数数an 建议二：同底数幂相乘要分析到位根据乘方的意义可以知道:12个103个1015个10问题1： 1012103 =(1010) (1010 10) = (101010) =1015 问题2：a12a3= 问题3：aman= 给出幂的性质运算一般的推导过程，目的是让学生感受到推导的意义和必要性。因为学生以前所经历的得出规律的过程，基本上用归纳的方法，他们对推导的意义和必要性会感到困惑。要向学生说明，前面的归纳过程帮助我们发现规律，但不能说明规律对所有情况都正确，所以要给出一般的推理说明。在这过程中，底数和指数都应当用字母表示，只有这样的推导过程才具有一般意义。幂的性
17、质运算是本章学习的起点，也是后续整式乘除运算学习的基础，它的掌握程度直接关系到本章是否能较顺利的学习。aman=am+n 这个性质在数学上是非常重要的，它体现了幂函数的本质特征。教学中要通过大量的特例让学生感受一般，鼓励学生用自己的语言描述在同底数幂运算过程中底数、指数发生了怎样的变化？反复体会幂运算的意义。建议三：教学设计要遵循知识形成的特点教材中幂的运算这部分知识设计特点是：特例计算建立猜想符号表示一般证明形成法则。建议在学生得出法则后有意识的引导学生对学习方法以及探究过程的回顾。建议四：重视算理，类比记忆幂的四个运算性质的记法：实数有三级运算:一级运算(加、减运算)，二级运算(乘、除法运
18、算)以及三级运算(乘方、开方运算)。幂的运算性质有这样的规律，其运算往往归结到它的指数的运算，其指数的运算恰好比幂的运算相应“降一级”，如：同底数幂的乘法运算（aman=am+n），其结果指数运算降一级，成为加法运算；幂的乘方运算（(am)n=amn），其结果指数降为乘法运算；幂的除法运算（aman=am-n）,其结果指数降为减法运算。引用学生的话来表述：位置低的底数乘法、乘方运算上升到位置高的指数运算时，运算级别相应地降为加法和乘法；在类比乘法对加法的分配律，可以把积的乘方看成是乘方对乘法的分配律。第三部分 整式的乘法需要解决的问题 怎样从已有知识结构出发，引导学生实践、探索与讨论，发现与上
19、节关系？（可以利用几何图形的面积表示来引入，如多项式乘以多项式。充分利用教材中的“讨论”，给出长和宽求面积，好求，但给出代数式，说出几何背景及其他不同的实际意义，则对学生能力培养非常重要） 字母指数的整式乘法要不要涉及？（简单的字母指数的整式乘法可以涉及，如 ：） 怎样利用几何图形解释整式乘法，提高学生综合能力？（结合“讨论”，对一些简单的整式乘法，探索其几何图形意义） 如何培养学生“整体”观念？（在多项式与多项式相乘中，应充分结合导图中的问题来理解，把其中的一个因式 (m+n)看作一个整体，再利用乘法分配律来理解 (m+n)与(a+b)相乘的结果，从而渗透整体观念 ） 需要不需要补充？补充多
20、少？（应重视知识的形成过程，重视法则的理解和应用，补充应用代数式恒等变形的问题，如：已知中不含x2项，求b的值.） 建议一：重视引入的设计设计问题情境：两个整式相乘，参与运算的整式有几种情况？根据整式的概念和运算律，两个整式相乘有三种情况：单单，单多，多多； 新知 旧知多多 单多 单单 同底数幂相乘 整式加减（化简） 易 繁 易渗透分类讨论思想，让学生有条理的对整式运算的几种情况分析归类，做到不重不漏，渗透转化思想，再次体会“新知转化为旧知”，“化易为繁，化繁为易”的转化思想.建议二：重视转化思想的渗透单项式的乘法是单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的基础，无论是单项式乘多项式还是多项式乘多项
21、式，都必须转化为单项式的乘法来计算，因此学好单项式的乘法是学好本单元的一个关键。初学时一定要让学生明白其算理，体会乘法适合交换律、结合律和同底数幂的运算性质在其中起了关键的作用。教学中要重视学生对算理的理解，使学生体会重要的数学思想方法转化，而不必要求学生背诵法则。第四部分 乘法公式需要解决的问题 本节与上节的关系是什么？（本节是上一节整式乘法的一些特例。不同的是，给了几个乘法公式的几何背景材料，帮助学生加深对乘法公式的理解和记忆） 如何利用几何背景材料，加深对公式的理解和记忆？ 如何更好地体会数形结合的数学思想方法？（让学生通过利用式子表示图形面积的运算而体会数形结合的数学思想） 掌握哪些应
22、用？（利用恒等式变形解决的一些应用问题，如：已知两正方形边长之和为36，面积之差为72，求这两个正方形的边长）乘法公式应用非常广泛，一方面可以简化计算，另一方面也是以后学习因式分解等内容的重要基础。乘法公式也是本章的重点之一，教学时要注意引导学生仔细观察分析公式的结构特征，掌握公式的实质，让学生在欣赏数学结构美的同时，体会数学公式的优越性。建议一 ：从不同角度推导、验证两个公式（1）从代数角度 由多项式的乘法法则推导得出。（2）从几何角度 代数恒等式几何背景教学，是对数形知识的综合应用，是数形结合思想的典型渗透，在这里利用面积来验证乘法公式，即用“形”解决“数”的问题。baabba图1图2代数
23、恒等式几何背景教学，是对数形知识的综合应用. 练习一：用图1可以说明 ：(a+b)2 a2+b2练习二：用图2可得等式：(a+b)2=(a-b)2+ . 建议二：重视公式的应用（1）感受公式的结构特点设计游戏 （ +）（ -）=2-2 （）2=22+2例如给出(a+b-c-d)(a-b-c+d)，讲清规则：把两个因式中完全相同的项分别填入上面的方框中，把互为相反数的项填到圆形框中，这既能让学生认清公式的本质特征又能体会其中字母的广泛含义.（2）理解字母的广泛含义 一般地，公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等。在这个过程中“整体思想”的渗透是运用公式的难点。（3）公式的灵活应
24、用 一题多变，一题多想正用、逆用、变形用练习 1、已知x-y=3 ，xy=2 , 求x2y2、（xy）2的值.2、如果二次三项式x2-6x+m2是一个完全平方式，求 m的值.第五部分 整式除法建议：提倡算法多样化由于乘除法互为逆运算，整式除法的运算可以转化为整式的乘法来进行，因此整式乘法是整式除法的基础。对于“整式的除法”这一单元来说，同底数幂的除法是单项式除以单项式的依据，而单项式除以单项式又是多项式除以单项式的基础，因此学好单项式的除法是学好本单元内容的关键。整式的除法是以后学习公式及分式方程等的基础，事实上，单项式除以单项式就是分式的约分，多项式除以单项式的法则就是用作为分母的单项式去除
25、作为分子的多项式中的每一项。教学中要提倡算法多样化，让学生说明每一步的理由，并鼓励学生间的交流。对于多项式除以单项式，要鼓励学生利用已经学习过的内容独立地解决问题。第六部分 因式分解因式分解需要解决的问题： 因式分解与整式乘法的关系？（因式分解与整式乘法是互逆变形，这是本章的理论基础,教学时要紧紧抓住这一关键.同时也要让学生准确区分因式分解与多项式乘法,防止学生出现在进行因式分解过程中,半路又做乘法的错误） 如何解决课时少内容多的矛盾? （要善于使用类比、对比的方法认识概念，即找出新、旧知识的共同点与差异，这样学生可以较快的掌握新知识；在学习新知识之前先复习相关的旧知识，为学习新知扫清障碍；为
26、了激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和学习积极性,可以提出一些需要运用新知识解决的问题；备课时要对自己的教学内容的呈现方式进行统筹安排.哪些是必需要板书的,哪些适合用课件,哪些应该让学生亲自动手操作,哪些又应该印发成练习下发给学生,要做到心中有数） 需要不需要补充？补充多少？（对后续的学习有直接影响的） 掌握哪些应用？建议一：由浅入深、循序渐进地讲授知识基础知识要落实到位,不要急于拔高.教学时要根据教材的层次,先易后难,对于技巧性很强的因式分解的题目要少讲,严格控制题目的难度，教学中不要随意扩充，从用的角度学习分解因式. 建议二：准确把握因式分解定义在讲解因式分解的概念时，把握两个注意点，
27、每讲一个注意点，都要配以相应的题目加以巩固，形成图文并茂。注意1：因式分解与整式乘法是相反方向的恒等变形，因式分解的结果必须转化为积的形式。练习：判断下列等式从左到右哪个是因式分解，哪个是整式乘法？（1）x21= (x+1)(x1)因式分解整式乘法 （2）(x+1)(x1) =x21总结：x21 (x+1)(x1)注意2：因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。建议三：注重变式教学例 分解因式： x24x+4变式1：x2+44x 分析：让学生进一步掌握公式的特征.变式2：2x2y8xy+8y 分析：先提取公因式，再用公式法.变式3：x (x4)+4 分析：先退一步进行乘法运算,再用公式分解因
28、式.变式4：(a+b)24(a+b)+4 分析：渗透整体思想.变式5：x48x2+16 分析：连续用两次公式(编制题目时,注意控制难度，连续用公式不能超过两次).变式6： x24x+3 分析：用到拆项、分组分解法以及整体思想的渗透.提供几个典型错例，供老师参考和学生分析（1）分解因式m29n2=(m+9n)(m9n) 诊断：不明白“谁”相当于平方差公式中的b，其中这一步“9n2=32 n2=（3n）2”用到幂的意义和积的乘方的倒用，是个难点.（2）分解因式a3b3ab+ab=ab(a23b)； 诊断：漏项.（3）分解因式(x2+4)216x2=(x2+4+4x)(x2+44x)；诊断：分解不彻
29、底.（4）分解因式x24x+4= x(x4)+4；（5）分解因式（m+n）2+2m(m+n)+m2=(m+n+m) 2；诊断：化简不彻底.（6）分解因式(a+b) 29(ab)2=(4a2b)(2a+4b)；诊断：分解不彻底，首项系数必须化为正数.中考链接：2011年：1(-2)2的算术平方根是（A）2 （B） 2 （C）-2 （D）2下列等式一定成立的是 （A） a2+a3=a5 （B）（a+b）2=a2+b2（C）（2ab2）3=6a3b6 （D）（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab（2013日照）1.计算-22+3的结果是A7 B5 C D （2014日照）2（3分）下列运算正
30、确的是（）A3a32a2=6a6B（a2）3=a6Ca8a2=a4Dx3+x3=2x6（2014日照）4.下列计算正确的是A. B. C. D.（2015日照）3.计算的结果是（A）（B）（C）（D）（2015日照）11.观察下列各式及其展开式： ， ， ，请你猜想的展开式第三项的系数是（A）36（B）45（C）55（D）66（2015日照）15.如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式 （2016日照）3下列各式的运算正确的是（）ABa2+a=2a3C（2a）2=2a2D（a3）2=a6（2017日照）13分解因式：2m38m=2m（m+2）（m2）补充：1.已知 x+y=6， xy=-3则 x2y+xy2=_2.已知 x2-9=0，求代数式x2(x+1)-x(x2-1)-x-7的值.若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数)，则M的值一定是 ( A ) A正数 B负数 C零 D整数13393.如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为a，b，c，则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值等于 ( ) A48 B76 C96 D152 答案：B
