1、1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.)(1) .(2) .(3) 曲线在点处的切线方程是.(4) 设,则.(5) 设是连续函数,且,则.(6) 设在处连续,则常数与应满足的关系是.(7) 设,则.二、计算题(每小题4分,满分20分.)(1) 已知,求.(2) 求.(3) 求.(4) 已知求及.(5) 已知及,求.三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设时,曲线 ( )(A) 有且仅有水平渐近线(B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线
2、,也有铅直渐近线(D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 若,则方程 ( )(A) 无实根 (B) 有唯一实根(C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根(3) 曲线与轴所围成的图形,绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设两函数及都在处取得极大值,则函数在处( )(A) 必取极大值 (B) 必取极小值(C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定(5) 微分方程的一个特解应具有形式(式中为常数) ( )(A) (B) (C) (D) (6) 设在的某个领域内有定义,则在处可导的一个充分条件是( )(A) 存在(B) 存在(C) 存在(D) 存
3、在四、(本题满分6分)求微分方程满足的解.五、(本题满分7分)设,其中为连续函数,求.六、(本题满分7分)证明方程在区间内有且仅有两个不同实根.七、(本大题满分11分)对函数,填写下表：单调减少区间单调增加区间极值点极值凹()区间凸()区间拐点渐近线八、(本题满分10分)设抛物线过原点,当时,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为,试确定使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分21分.)(1)【答案】【解析】这是个型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.方法一： .方法二： 【相关知识点】是两
4、个重要极限中的一个,.(2)【答案】【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,.(3)【答案】【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即.这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即.由在其定义域内的连续性,可知.所以,所求切线方程为,即.(4)【答案】【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即.方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知, ,所以 .(5)【答案】【解析】由定积分的性质可知,和变量没有关系,且是连续函数,故为一常数,为简化计算和防止混淆,令,则有恒等式,两边0到1积分得,即 ,解之得,因此.(6)【答案】【解析】如果函数在处连续,则函数在该
5、点处的左右极限与该点处函数值必然相等,由函数连续性可知.而 ,如果在处连续,必有,即.(7)【答案】【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得,所以 ,().二、计算题(每小题4分,满分20分.)(1)【解析】令,则,由复合函数求导法则, ,即 .【相关知识点】复合函数求导法则：的导数.(2)【解析】利用不定积分的换元积分法, .(3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,令 ,则当时,则 ,这是个比较熟悉的极限,即.所以 ,而 ,所以 .(4)【解析】这是个函数的参数方程, ,.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果,则.(5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分
6、,令,则,所以 .把及代入上式,得.三、选择题(每小题3分,满分18分.)(1)【答案】(A)【解析】函数只有间断点. ,其中是有界函数.当时,为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以,故函数没有铅直渐近线.,所以为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当,则为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B)【解析】判定方程实根的个数,其实就是判定函数与有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用,令 ,则 .令 ,则,其判别式,所以 无实根,即.所以 在是严格的单调递增函数.又 所以利用连续函数的介值定理可
7、知,在内至少存在一点使得,又因为是严格的单调函数,故是唯一的.故有唯一实根,应选(B).(3)【答案】(C)【解析】如图的图像,则当绕轴旋转一周,在处取微增,则微柱体的体积,所以体积有.因此选(C).(4)【答案】(D)【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.若取,两者都在处取得极大值0, 而在处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确.若取,两者都在处取得极大值1, 而在处取得极大值1,所以(B)也不正确,从而选(D).(5)【答案】(B)【解析】微分方程所对应的齐次微分方程的特征方程为,它的两个根是.而形如必有特解；必有特解.由叠加
8、得原方程必有特解,应选(B).(6)【答案】(D)【解析】利用导数的概念判定在处可导的充分条件.(A)等价于存在,所以只能保证函数在右导数存在；(B)、(C)显然是在处可导的必要条件,而非充分条件,如 在处不连续,因而不可导,但是,均存在；(D)是充分的：存在存在,应选(D).四、(本题满分6分)【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式,通解为 .代入初始条件,得,所求解为 .【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为,其通解公式为 ,其中为常数.五、(本题满分7分)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, ,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求
9、导,得,再求导,得,即 ,这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为,此特征方程的根为,而右边的可看作,为特征根,因此非齐次方程有特解.代入方程并比较系数,得,故,所以.又因为,所以,即 .六、(本题满分7分)【解析】方法一：判定方程等价于判定函数与的交点个数.令 ,其中是定积分,为常数,且被积函数在非负,故,为简化计算,令,即,则其导数,令解得唯一驻点,即 ,所以,是最大点,最大值为.又因为 ,由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点(不相同),故方程在有且仅有两个不同实根.方法二：,因为当时, 所以.其它同方法一.七、(本大题满分11分)【解析】函数的定义域为,将函数化简为则 .令,得,即故为极小值点.令,得,即在处左右变号,所以为函数的拐点.又 故是函数的铅直渐近线；故是函数的水平渐近线.填写表格如下：单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八、(本题满分10分)【解析】由题知曲线过点,得,即.如图所示,从的面积,所以 ,由题知 ,即.当绕轴旋转一周,则从的体积,所以旋转体积,用代入消去,得,这是个含有的函数,两边对求导得,令其等于0得唯一驻点,在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小,这时,故所求函数.
