1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设,则.(2) 曲线的上凸区间是.(3) .(4) 质点以速度米每秒作直线运动,则从时刻秒到秒内质点所经过的路程等于米.(5) .二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 若曲线和在点处相切,其中是常数,则 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设函数记,则 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设函数在内有定义,是函数的极大点,则 ( )(A) 必是的驻点 (B) 必是的极小点(C
2、) 必是的极小点 (D) 对一切都有(4) 曲线 ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(5) 如图,轴上有一线密度为常数,长度为的细杆,有一质量为的质点到杆右端的距离为,已知引力系数为,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(每小题5分,满分25分.)(1) 设,求.(2) 计算 .(3) 求 .(4) 求 .(5) 求微分方程满足的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当时,有不等式成立.五、(本题满分9分)求微分方程的通解.六、(本题满分9分)曲线和轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴
3、旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,和分别是曲线和上的点,和均垂直轴,且,求点和的横坐标,使梯形的面积最大.八、(本题满分9分)设函数在内满足,且,计算.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】【解析】由复合函数求导法则,即的微分为,有.(2)【答案】【解析】求函数的凹凸区间,只需求出,若,则函数图形为上凹,若,则函数图形为上凸,由题可知.因为,所以当时,函数图像上凸,即时, 函数图像上凸.故曲线上凸区间为.(3)【答案】【解析】用极限法求广义积分. .(4)【答案】【解析】这是定积分的应用.
4、设在时刻的速度为,则在时间内的路程为,所以从时刻秒到秒内质点所经过的路程为 .(5)【答案】【解析】这是一个型未定式,分子分母同乘以,得.为简化计算,令,则,原式可化为.二、选择题(每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对求导,得 ,则该曲线在点处的导数为,即,则曲线在点处的导数为,两导数相等,有,即.又因为曲线过点,所以有.所以选项(D)正确.(2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分.当时,所以.当时, 所以 .所以,应选(B).(3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点
5、也可取极值,如,在处取极大值,但是不是的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于,在处取极大值,但并非是的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的,因为,不妨设,则为极大值,则在的某个领域内有；函数与函数关于原点对称,所以必有,即在的某个领域内为极小值,故(B)是正确的.(4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为,所以函数的间断点为,所以为铅直渐近线,所以为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当,则为函数的水平渐近线.(5)【答案】(A)【解析】如
6、图建立坐标系,则中,长度的细杆的质量为,与质点的距离为,故两点间的引力为,积分得,故选(A). 同理应用微元法可知,若以的中点为原点,则质点的坐标为,故；若以的左端点为原点,则质点的坐标为,故.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ,则 .(2)【解析】用换元法求定积分.令,则,则.(3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当时,有,所以.(4)【解析】用分部积分法求不定积分.(5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为.通解为 .代入初始条件得,所以特解为.【相
7、关知识点】一阶线性非齐次微分方程的通解为,其中为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当时,原不等式即,即.证法一：令,则只需证明在时即可,可利用函数的单调性证明,对于有.因,故,即,所以在上是严格递增函数,所以,故,所以当时,有不等式成立.证法二：当时,原不等式即,不等式左右两端形式一致,故令,则,所以在时严格单调递增,故，即.所以当时,有不等式成立.五、(本题满分9分)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为,特征根为,故对应齐次通解为.方程必有特解为,代入方程可得.方程的右端,为特征根,必有特解,代入方程可得.由叠加原理,原方程必有特解.所以原方程的通解为.
8、【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如的特解,其中与同次(次)的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为、或.如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为,其中与是次多项式,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与轴的交点是,顶点坐标为.方法一：考虑对积分,如图中阴影部分绕轴旋转一周,环柱体的体积为其中为的高阶无穷小,故可省略,且为负的,故,即.把从积分得.方法二：考虑对的积分,如图中阴影部分绕轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕轴旋转一周后的体积差,即其中,为与抛物线的交点,且,把代入抛物线方程,解得,故旋转体体积为.把的值代入化简,得.七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解.设、的横坐标分别为,因为,所以.依题设,所以有,两边同时取自然对数,得而 ,所以梯形的面积为.求函数,()的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对求导,并令有,得驻点,在此点由正变负,所以是极大值点.又驻点唯一,故是最大值点.此时,时,梯形面积最大,故点的坐标为,点的坐标为.八、(本题满分9分)【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知 , ,而 ,对于,令,则,所以 ;对于,令,则,所以 ;所以 .
