1、高二文科班数学课堂学习单59班级 姓名 小组 2.2.2反证法.一，学习目标:1，理解反证法的基本原理 2、能用反证法证明一些特殊题型 ,二，自学导航：p42-p43问题一：已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，不成等差数列证明：假设，成等差数列，则2，即ac24b，又a，b，c成等比数列，b2ac，即b，ac24，ac20，即()20，从而abc这与已知中a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列.小结：（1）对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐而且容易遗漏，故可用反证法，一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”“不存在”等词语时，宜采用反证
2、法证明（2）假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等问题二：若x0，y0，且xy2，求证：与中至少有一个小于2.自主解答假设与都不小于2，即2，2.又x0，y0，1x2y,1y2x.两式相加得2xy2(xy)，即xy2.这与已知xy2矛盾所以假设不成立，所以与中至少有一个小于2.小结：反证法证明“至少”“至多”型命题，可以避免讨论，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误问题三：求证：两条相交直线有且只有一
3、个交点自主解答因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点小结：当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一型命题比较简单4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是()结论的否定；已知条件；公理、定理、定义等；原结论AB C D解析：根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推
4、导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用答案：C2“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数答案：D3用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角C三个内角都不是钝角D三个内角都不是钝角
5、或至少有两个钝角解析：“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”答案：B4“x0且y0”的否定形式为_解析：“p且q”的否定形式为“p或q”答案：x0或y05用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误；所以一个三角形不能有两个直角；假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_答案：6已知：平面内一点A.求证：经过点A只有一条直线和平面垂直证明：假设经过点A至少有平面的两条垂线AB、AC，因为垂直于同一平面的两条直线互相平行，所以ABAC，这与ABACA矛盾，因此，过点A只有
6、一条直线和平面垂直.7.已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5p20无实根错解假设方程x22x5p20有实根，由已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，解得2p，又关于x的方程x22x5p20的根的判别式4(p24)，2p，0.即关于x的方程x22x5p20无实根错因反证法证明问题的步骤为假设结论不成立，经过推理得出矛盾，否定假设，肯定结论，而此解法没有用到假设的结论，不是反证法正解假设方程x22x5p20有实根，则该方程的判别式44(5p2)0，解之得p2或p2，这与已知条件实数p满足不等式(2p1)(p2)0矛盾，假设不成立，故关于x的方程x22x
7、5p20无实根.,五，作业一、选择题1用反证法证明命题“关于x的方程axb(a0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程axb(a0)()A无解B有两解 C至少有两解 D无解或至少有两解解析：“唯一”的否定上“至少两解或无解”答案：D2实数a、b、c不全为0是指()Aa、b、c均不为0 Ba、b、c中至少有一个为0Ca、b、c至多有一个为0 Da、b、c至少有一个不为0解析：“不全为0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”答案：D3有以下结论：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2.故的假设是错误的，而的假设是正确的答案：D二、填空题4设实
8、数a、b、c满足abc1，则a、b、c中至少有一个数不小于_解析：假设a、b、c都小于，则abc1与abc1矛盾故a、b、c中至少有一个不小于.答案：5用反证法证明命题“a、b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为_解析：“a、b都不是偶数”，指“a、b都是奇数”，它的反面是“a、b不都是奇数”，或“a、b中至少有一个是偶数”答案：a、b不都是奇数(或a、b中至少有一个是偶数)6用反证法证明命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”时，第一步要假设结论的否定成立那么结论的否定是_答案：存在多面体的面都不是三角形、四边形和五边形三、解答题7设a、b、c都是正数，证
9、明三个数a，b，c至少有一个不小于2解析：因为a、b、c都是正数，则有(a)(b)(c)(a)(b)(c)6.故三个数中至少有一个不小于2.8若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加得a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20.abc.这与a，b，c互不相等矛盾假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根2用反证法证明：若函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在
10、区间a，b上至多只有一个实数根证明：假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()1)，证明方程f(x)0没有负实根自主解答假设方程f(x)0有负实根x0，则x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，这与x0，(1b)c，(1c)a.a，b，c都是小于1的正数，从而.但是，与上式矛盾假设不成立，即原命题成立10用反证法证明：对于直线l：yxk，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A、B关于直线yx对称证明：假设存在实数k，使得A、B关于直线yx对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB的中点M(，)在直线yx上，由得2x22kx1k20.x1x2k，可得M(，)这与M在直线yx上矛盾所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线yx对称
