1、2021-2022学年陕西省汉中市高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合Ax|x+10，Bx|x210，则AB等于（）A1B1C1，1D2（5分）已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（）A2BCD23（5分）已知向量（3，4），（6，3），（2m，m+1）若，则实数m的值为（）ABC3D4（5分）设an是等比数列，且a1+a2+a31，a2+a3+a42，则a6+a7+a8（）A12B24C30D325（5分）在ABC中，“AB”是“sinAsinB
2、”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（）A城镇人口数逐次增加B历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C城镇人口比重逐次增加D乡村人口数逐次增加7（5分）孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数
3、成公差为3的等差数列，问5人各得多少子，”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（）A4B5C6D78（5分）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A0.3B0.5C0.6D0.89（5分）为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45的方向航行了海里到达海岛C若巡逻舰从海岛A以北偏东60的航向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC（单位：海里）为（）ABCD10（5分）如图为函数f（x）sin（x+）的部分图象，将其向左平移个单位长度后与函数g（x）的图象重合，则g（x
4、）可以表示为（）Asin2xBsin2xCsinxDsinx11（5分）设数列nan的前n项和为Sn，且an2n，则使得Sn1000成立的最大正整数n的值为（）A5B6C7D812（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”，数列an的前n项和为Sn，则下列结论错误的是（）AS854Ba1+a3+a5+a7+a2019a2020Ca2+a4+a6+a8+a2020a2021DS2020+S2019S2018S20
5、17a2022二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）cos（225）14（5分）已知等差数列an，其前n项和为Sn，若a2+a524，S3S9，则Sn的最大值为15（5分）若函数f（x）sin（x+）+cosx的最大值为2，则常数的一个取值为16（5分）已知函数定义域为m，n（mn），值域为，则nm的最小值是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（）必考题：共60分17（12分）设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项（1）求an的公比；（2）若a11
6、，求数列nan的前n项和18（12分）在ABC中，a+b11，c7，cosA求：（）a的值；（）sinC和ABC的面积19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAD2，E，F分别为PD，PC的中点（1）求证：CD平面PAD；（2）求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值20（12分）已知椭圆C：1（ab0）的上端点为M（0，1），离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点（2，1）且不经过点M的直线l与椭圆C相交于A，B两点若k1，k2分别为直线MA，MB的斜率，求k1+k2的值21（12分）已知函数f（x）lnx+ax2+（2a+1）x（1）讨论
7、f（x）的单调性；（2）当a0时，证明：选修44：坐标系与参数方程22（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24sin4（）求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|OB|选修45；不等式选讲23已知函数f（x）|x+a|+|x2|的定义域为R（）当a5时，求不等式f（x）9的解集；（）若关于x的不等式f（x）3恒成立，求实数a的取值范围2021-2022学年陕西省汉中市高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6
8、0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合Ax|x+10，Bx|x210，则AB等于（）A1B1C1，1D【解答】解：集合Ax|x+101，Bx|x2101，1，则AB1故选：A2（5分）已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（）A2BCD2【解答】解：复数（1+ai）（2+i）2a+（1+2a）i是纯虚数，解得a2故选：A3（5分）已知向量（3，4），（6，3），（2m，m+1）若，则实数m的值为（）ABC3D【解答】解：由题意可得（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即 ，解得m3，故选：C4（5分）设an是等比数列，且a1
9、+a2+a31，a2+a3+a42，则a6+a7+a8（）A12B24C30D32【解答】解：an是等比数列，且a1+a2+a31，则a2+a3+a4q（a1+a2+a3），即q2，a6+a7+a8q5（a1+a2+a3）25132，故选：D5（5分）在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC中，若AB，则ab，由正弦定理得sinAsinB，即充分性成立，若sinAsinB，则由正弦定理得ab，即AB，即必要性成立，故，“AB”是“sinAsinB”的充要条件，故选：C6（5分）人口普查是世界各国所广泛采
10、取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（）A城镇人口数逐次增加B历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C城镇人口比重逐次增加D乡村人口数逐次增加【解答】解：由图可知，城镇人口数逐次增加，且第七次普查人口最多，城镇人口比重逐次增加，故A、B、C正确；而乡村人数数在第五次、第六次普查时减少，故D错误，故选：D7（5分）孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问五人各得几
11、何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少子，”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（）A4B5C6D7【解答】解：根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为a1、a2、a3、a4、a5，则这5个数组成以3为公差的等差数列，则a5a1+3（51）12+a1，又由5人共分得60个橘子，则有S55a1+10360，解可得a16；即得到橘子最少的人得到6个橘子；故选：C8（5分）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A0.3B0.5C0.6D0.8【解答】解：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，
12、01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，满足题意的概率为 ，故选：C9（5分）为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45的方向航行了海里到达海岛C若巡逻舰从海岛A以北偏东60的航向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC（单位：海里）为（）ABCD【解答】解：由题意可得BAC30+1545，ABC75+451
13、20，BC，在ABC中，运用正弦定理得，故选：D10（5分）如图为函数f（x）sin（x+）的部分图象，将其向左平移个单位长度后与函数g（x）的图象重合，则g（x）可以表示为（）Asin2xBsin2xCsinxDsinx【解答】解：函数的周期T2（）2，即，则，由五点对应法得+，得，即f（x）sin（x+），将其向左平移个单位长度后与函数g（x）的图象重合，则g（x）sin（x+）+sin（x+）sinx，故选：D11（5分）设数列nan的前n项和为Sn，且an2n，则使得Sn1000成立的最大正整数n的值为（）A5B6C7D8【解答】解：数列an满足：an2n，故，所以，2，得：，整理得，
14、由于Sn1000，故（n1）2n+1+21000，解得n的最大值为6故选：B12（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”，数列an的前n项和为Sn，则下列结论错误的是（）AS854Ba1+a3+a5+a7+a2019a2020Ca2+a4+a6+a8+a2020a2021DS2020+S2019S2018S2017a2022【解答】解：有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，该数列的特点是前两个数均为1，从第
15、三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”，对于A：S8a1+a2+a3+.+a81+1+2+3+5+8+13+2156，故A错误；对于B：a1+a2+a3+a4+a2019a2020，故B错误；对于C：a2+a4+a6+a8+a2020a2021，故C正确；对于D：S2020+S2019S2018S2017a2022，整理得a2019+a2020+a2018+a2019a2022，故D错误故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）cos（225）【解答】解：cos（225）cos225cos（180+45）cos4
16、5故答案为：14（5分）已知等差数列an，其前n项和为Sn，若a2+a524，S3S9，则Sn的最大值为72【解答】解：法一：由S3S9，得a4+a5+a90，则a6+a70又a2+a524，设数列an的公差为d，可得，解得，所以，故当n6时，Sn有最大值，为72法二：由S3S9，得a4+a5+a90，则a6+a70，又a2+a5240，以数列an的前6项为正，所以当n6时，Sn有最大值，且S63（a1+a6）3（a2+a5）72故答案为：7215（5分）若函数f（x）sin（x+）+cosx的最大值为2，则常数的一个取值为【解答】解：解法1：f（x）sin（x+）+cosxsinxcos+c
17、osxsin+cosxsinxcos+（1+sin）cosxsin（x+），其中cos，sin，所以f（x）最大值为2，所以cos2+（1+sin）24，即2+2sin4，所以sin1，所以+2k，kZ时均满足题意，故可选k0时，解法2：sin（x+）1，cosx1，又函数f（x）sin（x+）+cosx的最大值为2，所以当且仅当sin（x+）1，cosx1时函数f（x）取到最大值，此时x2k，kZ，则sin（x+）sin1，于是+2k，kZ时均满足题意，故可选k0时，故答案为：16（5分）已知函数定义域为m，n（mn），值域为，则nm的最小值是 【解答】解：函数f（x）sinxsin（x+）
18、sinx（sinx+cosx）（1cos2x）+sin2x（sin2xcos2x）sin（2x），因为f（x）的值域为，所以sin（2x）1，令2x2k，2k+，解得xk，k+，kZ，所以（k+）（k），kZ；即nm的最小值为故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（）必考题：共60分17（12分）设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项（1）求an的公比；（2）若a11，求数列nan的前n项和【解答】解：（1）设an是公比q不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中
19、项，可得2a1a2+a3，即2a1a1q+a1q2，即为q2+q20，解得q2（1舍去），所以an的公比为2；（2）若a11，则an（2）n1，nann（2）n1，则数列nan的前n项和为Sn11+2（2）+3（2）2+n（2）n1，2Sn1（2）+2（2）2+3（2）3+n（2）n，两式相减可得3Sn1+（2）+（2）2+（2）3+（2）n1n（2）nn（2）n，化简可得Sn，所以数列nan的前n项和为18（12分）在ABC中，a+b11，c7，cosA求：（）a的值；（）sinC和ABC的面积【解答】解：（）由余弦定理得a2b2+c22bccosA，即a2b24914b（）49+2b，（a
20、+b）（ab）49+2b，a+b11，11a11b49+2b，即11a13b49，联立，解得a8，b3，故a8（）在ABC中，sinA0，sinA，由正弦定理可得，可得sinC，SABCabsinC83619（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAD2，E，F分别为PD，PC的中点（1）求证：CD平面PAD；（2）求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值【解答】解：（1）证明：因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，则CDPA，又底面ABCD为正方形，则CDAD，因为ADPAA，AD，PA平面PAD，故CD平面PAD；（2）以点A为坐标原点建立空间直
21、角坐标系如图所示，则A（0，0，0），E（0，1，1），F（1，1，1），所以，设平面AEF的法向量为，则，即，令y1，则z1，故，又平面ABCD的一个法向量为，则，所以平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值为20（12分）已知椭圆C：1（ab0）的上端点为M（0，1），离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点（2，1）且不经过点M的直线l与椭圆C相交于A，B两点若k1，k2分别为直线MA，MB的斜率，求k1+k2的值【解答】解：（1）由题意可得：b1，而c2a2b2，解得：a22，b21，所以椭圆C的方程为：+y21；（2）设直线AB的方程为：yk（x2）1kx2k1，因为直线不过M点，
22、所以k1，即k1+k22，联立整理可得：（1+2k2）x24k（2k+1）x+2（2k+1）220，所以可得x1+x2，x1x2，所以k1+k2+1，所以k1+k2的值为121（12分）已知函数f（x）lnx+ax2+（2a+1）x（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，证明：【解答】解：（1）f（x）lnx+ax2+（2a+1）x，f（x）+2ax+2a+1，x0，当a0时，f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，令f（x）0，解得x，当x（0，） 时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当x（，+） 时，f（x）0，函数f（x）单调递减，综上所述当a0时，函数
23、f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，函数f（x）在（0，） 上单调递增，在（，+）上 单调递减；证明：（2）由（1）可知，当a0时，函数f（x）在（0，） 上单调递增，在（，+）上 单调递减，f（x）maxf（）1ln2ln（a），从而要证，只要证1ln2ln（a）2，令t，则t0，问题转化为证明t+lnt1+ln2，令g（t）t+lnt，则g（t）+，当0t2时，g（t）0，函数g（t）单调递增，当t2时，g（t）0，函数g（t）单调递减，g（t）g（2）1+ln2，即t+lnt1+ln2成立，当a0时，成立选修44：坐标系与参数方程22（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），在
24、以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24sin4（）求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|OB|【解答】解：（）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，整理得：曲线C的极坐标方程为24sin4转换为直角坐标方程为：（）直线l的极坐标方程为：代入曲线C的极坐标方程得：25+40，所以：|OA|OB|12|4选修45；不等式选讲23已知函数f（x）|x+a|+|x2|的定义域为R（）当a5时，求不等式f（x）9的解集；（）若关于x的不等式f（x）3恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（）当a5时，f（x）|x+5|+|x2|当x2时，由f（x）9，得2x+39，解得x3；当5x2时，由f（x）9，得79，此时不等式无解；当x5时，由f（x）9，得2x39，解得x6综上，当a5时，不等式f（x）9的解集为x|x6或x3（）f（x）|x+a|+|x2|x+ax+2|a+2|，当（x+a）（x2）0时等号成立，不等式f（x）3恒成立，等价于|a+2|3a5或a1（经检验符合题意）实数a的取值范围为（，51，+）
