1、 教育资源共享 步入知识海洋 (二)立体几何1(2018浙江省金丽衢十二校联考)如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面(1)求证：平面SBD平面SAC；(2)若SA与平面SCD所成的角为30，求SB的长(1)证明连接AC，BD，因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD.又因为SB底面ABCD，所以ACSB，因为BDSBB，BD，SB平面SBD，所以AC平面SBD.又因为AC平面SAC，所以平面SAC平面SBD.(2)解将四棱锥补形成正四棱柱ABCDASCD，连接AD，作AEAD，垂足为点E，连接SE.由SACD可知，平面SCD即为平面SCDA.因为CD侧面ADDA，
2、AE侧面ADDA，所以CDAE，又因为AEAD，ADCDD，AD，CD平面SCD，所以AE平面SCD，于是ASE即为SA与平面SCD所成的角设SBx，在RtABS中，SA，在RtDAA中，AE .因为ASE30，所以，解得x1，即SB的长为1.2(2018浙江省金华十校模拟)如图，在几何体ABCDE中，CDAE，EAC90，平面EACD平面ABC，CD2EA2，ABAC2，BC2，F为BD的中点(1)证明：EF平面ABC；(2)求直线AB与平面BDE所成角的正弦值(1)证明取BC的中点G，连接FG，AG，F为BD的中点，CD2EA，CDAE，FGCDEA，且FGAE，四边形AGFE是平行四边形
3、，EFAG，EF平面ABC，AG平面ABC，EF平面ABC.(2)解EAC90，平面EACD平面ABC，且平面EACD平面ABCAC，EA平面EACD，EA平面ABC，由(1)知FGAE，FG平面ABC，又ABAC，G为BC的中点，AGBC，如图，以G为坐标原点，分别以GA，GB，GF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，0)，D(0，2)，E(1,0,1)，(1，0)，(0，2，2)，(1，1)，设平面BDE的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得n(0,1，)，直线AB与平面BDE所成角的正弦值为.3在三棱锥DABC中，DADBDC，D在底面ABC上的射影
4、为E，ABBC，DFAB于F.(1)求证：平面ABD平面DEF；(2)若ADDC，AC4，BAC60，求直线BE与平面DAB所成角的正弦值(1)证明由题意知DE平面ABC，所以ABDE，又ABDF，且DEDFD，所以AB平面DEF，又AB平面ABD，所以平面ABD平面DEF.(2)解方法一由DADBDC，知EAEBEC，所以E是ABC的外心又ABBC，所以E为AC的中点，如图所示过E作EHDF于H，连接BH，则由(1)知EH平面DAB，所以EBH即为BE与平面DAB所成的角由AC4，BAC60，得ABAEBE2，所以EF，又DE2，所以DF，EH，所以sinEBH.方法二如图建系，则A(0，2
5、，0)，D(0,0,2)，B(，1,0)，所以(0，2，2)，(，1，2)设平面DAB的法向量为n(x，y，z)，由得取z1，得n.设与n的夹角为，则cos ，所以BE与平面DAB所成角的正弦值为.4如图，在矩形ABCD中，已知AB2，AD4，点E，F分别在AD，BC上，且AE1，BF3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上(1)求证：CDBE；(2)求线段BH的长度；(3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值(1)证明BH平面CDEF，BHCD，又CDDE，BHDEH，BH，DE平面DBE，CD平面DBE，CDBE.(2)解方法一设BHh，EHk，过F作F
6、G垂直ED于点G，线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得即解得线段BH的长度为2.方法二如图，过点E作ERDC，过点E作ES平面EFCD，以点E为坐标原点，分别以ER，ED，ES所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设点B(0，y，z)(y0，z0)，由于F(2,2,0)，BE，BF3，解得于是B(0,1,2)，线段BH的长度为2.(3)解方法一延长BA交EF于点M，AEBFMAMB13，点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，点A到平面EFCD的距离为，而AF，故直线AF与平面EFCD所成角的正弦值为.方法二由(2)方法二知(2，1,2)，故，设平面EFCD的一个
7、法向量为n(0,0,1)，直线AF与平面EFCD所成角的大小为，则sin .5.在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且ACBCBD2AE，M是AB的中点(1)求证：CMEM；(2)求CM与平面CDE所成的角方法一(1)证明因为ACBC，M是AB的中点，所以CMAB.又EA平面ABC，CM平面ABC，所以EACM，因为ABEAA，AB，EA平面ABDE，所以CM平面ABDE，又因为EM平面ABDE，所以CMEM.(2)解过点M作MH平面CDE，垂足为H，连接CH并延长交ED于点F，连接MF，MD，FCM是直线CM和平面CDE所成的角因为MH平面CDE，ED平面CDE，
8、所以MHED，又因为CM平面EDM，ED平面EDM，所以CMED，因为MHCMM，MH，CM平面CMF，所以ED平面CMF，因为MF平面CMF，所以EDMF.设EAa，BDBCAC2a，在直角梯形ABDE中，AB2a，M是AB的中点，所以DE3a，EMa，MDa，所以EM2MD2ED2，所以EMD是直角三角形，其中EMD90，所以MFa.在RtCMF中，tanFCM1，又因为FCM(0，90)，所以FCM45，故CM与平面CDE所成的角是45.方法二如图，以点C为坐标原点，CA，CB所在直线分别作为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系，设EAa，则A(2a,0,0)
9、，B(0,2a,0)，E(2a,0，a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0)(1)证明因为(a，a，a)，(a，a,0)，所以0，故EMCM.(2)解设向量n(1，y0，z0)为平面CDE的一个法向量，则n，n，即n0，n0.因为(2a,0，a)，(0,2a,2a)，所以解得即n(1,2，2)，cosn，因为n，0，180，所以n，45.直线CM与平面CDE所成的角是n与夹角的余角，所以45，因此直线CM与平面CDE所成的角是45.6.如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示，因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角在RtBFD中，BF，DF，得cos BDF.所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.
