1、-几何图形在二次函数中的存在性问题探解 二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴.一、.三角形的存在性1.1 等腰三角形的存在性例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P （1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，
2、请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）分析： 第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标；第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类；第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可.解：（1）因为直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，所以B（3
3、，0），C（0，3），所以，解得，所以抛物线解析式为y=4x+3；（2）因为y=4x+3=1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P（2，1），设M（2，t），因为CPM为等腰三角形，如图2所示，当MC=PC时，过C作CQ对称轴,垂足为Q，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M到x轴的距离8-1=7，所以的坐标(2,7)；当MP=MC时，作PC的垂直平分线交对称轴于点M，所以，解得t=,所以的坐标(2, )；当MP=PC时，以P为圆心，以PC为半径画弧，交对称轴于,两点，所以|t+1|=2,解得t=1+2或t=12，此时（2，1+2）或（2，12）；综上可知,存在点M，使以C，P，
4、M为顶点的三角形为等腰三角形，其坐标分别为（2，7）或（2，）或（2，1+2）或（2，12）；（3）如图3所示，过E作EFx轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，4x+3），则F（x，x+3），因为0x3，所以EF=+3x，所以EFOD+EFBD=EFOB=+，所以当x=时，CBE的面积最大，此时E点坐标为（，-），即当E点坐标为（，-）时，CBE的面积最大赏析 此题以直线与坐标轴交点坐标的确定为解题突破口，强化待定系数法确定二次函数的解析式，解二元一次方程组基本功是否扎实，成为解析式是否确定正确的关键；按照两边相等的三角形是等腰三角形的思想，巧妙运用分类思想，去确定不同形状的等腰三角形，
5、从而建立起不同的等式，为最终确定点的坐标奠定等式基础，这种分类的思想，以后学习中也会经常用到，希望能熟记于心，活用与手；把三角形面积的最大值转化为二次函数的最大值是本题的最大亮点，而助燃这个亮点的两个细节更是值得关注，一是学会把三角形的面积进行科学分割；二是横坐标相同两点之间距离等于其纵坐标差的绝对值.细节决定成败，谁不注重细节，谁就不会品尝到成功的喜悦.1.2 定底边等腰三角形的存在性例2 （2017毕节）如图4，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使POC
6、是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和PBC的最大面积分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求得抛物线解析式；（2）利用等腰三角形三线合一的性质，知道点P在线段OC的垂直平分线上，从而确定线段OC中点的坐标，高线与抛物线的交点就是P点坐标；（3）过P作PEx轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出PBC的面积，利用二次函数的性质可求得PBC面积的最大值及P点的坐标解：（1）抛物线解析式为y=3x4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方
7、抛物线于点P，如图4，所以PO=PD，所以D（0，2），所以P点纵坐标为2，所以3x4=2，解得x=（小于0，舍去）或x=，所以存在P点，使POC是以OC为底边的等腰三角形,且坐标为（,2）；（3）因为点P在抛物线上，设P（t，3t4），过P作PEx轴于点E，交直线BC于点F，如图5，所以直线BC解析式为y=x4，所以F（t，t4），所以PF=+4t，所以=+=PFOE+PFBE=PF（OE+BE）=PFOB=-2+8，所以当t=2时，SPBC最大值为8，此时3t4=6，所以当P点坐标为（2，6）时，PBC的最大面积为8赏析 第二问解题的关键有二,一是等腰三角形三线合一性质,这是确定P点位置的
8、关键；第二个是根据点的纵坐标建立一元二次方程确定自变量的值，熟练解一元二次方程是解题的关键；其次，也要注意细节，解的取舍；第三问的解答可以引申如下一般性结论,如图6，已知抛物线y=a+bx +c(a0),点A（，），点B（，），点C（，）是抛物线上的三点，CDx轴交线段AB与点D，且点D的坐标为（，）；结论：三角形ABC的面积S=+=CDBE=（-）（-）.1.3 动点在抛物线上的直角三角形存在性例3 （2017潍坊） 如图7，抛物线经过平行四边形ABCD的顶点A(0.3),B(-1.0),D(2.3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛
9、物线交于另一点F.点P为直线上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，PFE的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使PFE为直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.分析: 1.第一问是待定系数法确定二次函数的解析式，只需把三个点的坐标分别代入给出的解析式转化成三元一次方程组求解即可；2.用自变量t表示PEF的面积,把三角形面积的最大值问题转化成关于t的二次函数的最大值问题是解题的关键；3.直角三角形的存在需要利用分类的思想，确定哪一个角为直角，后求解.解：（1）二次函数的解析式为y=-+2x+3；（2）.据A,D的坐标知道AD=2
10、，所以BC=2，所以点C的坐标为（1,0），所以直线AC的解析式为y=-3x+3，直线BC的解析式为y=x+1，所以对角线的交点坐标为（，），因为经过点E的直线将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，所以EF一定经过（，），所以直线EF的解析式为y=-x+，由，解得x=-,所以点F的坐标为（-，），如图7，过点P作PHx轴，垂足为H，交于点M，作FNPH，因为点P的横坐标是t，所以点P的纵坐标为为=-+2t+3,点M的纵坐标为=-t+，所以PM=-=-+t+.所以=-，所以当t=时，PEF面积最大，最大值为，所以=.（3）.如图8，因为点P（t, -+2t+3）,当t=0时，P的坐标为(0
11、,3),此时点P与点A重合，PAE不存在，所以t0；当t=3时，P的坐标为(3,0),此时点P与点E重合，PAE不存在，所以t3；由图像知道PEA90，当PAE=90，因为=-1,=-t+2，所以=-1，所以-t+2=1，解得t=1；当APE=90，因为=-(t+1),=-t+2，所以=-1，所以-(t+1) (-t+2)=-1，整理，得-t-1=0,解得 t=或t=-(舍去)，所以存在点P使PAE为直角三角形，此时t=1或t=.赏析 第一问的解答是基础性问题，知识点很明确，解题的方法与思路也很清晰，熟练是根本；第二问有三个细节是二次函数考题共性问题：用点的横坐标，结合函数解析式表示点的纵坐标
12、，从而使得点坐标用同一字母表达，必须学会；把三角形的面积分割成以交点构成线段为公共底边的两个三角形面积和；平行y轴直线上两点间的距离等于较上端点与较下端点的纵坐标的差，也很关键，必须学会；其次就是转化思想的渗透；第三问着重是分类思想，对于直角三角形存在问题，分类时按照哪一个角是直角的标准去分，一共三种情形，其次，要学会直线垂直时解析式的比例系数k之间的关系，这也是解题中经常用到的方法.1.4 动点在圆上的直角三角形存在性例4 （2017年徐州）如图9，已知二次函数y=4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，C的半径为，P为C上一动点（1）点B，C的坐标分别为B（），C（ ）；（2）是否存
13、在点P，使得PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=分析：此题第（1）小题考查了求二次函数图像上特殊点的坐标问题；（2）在第（2）小题中，先讨论当点p满足什么条件时PBC是直角三角形，要想做到不重不漏，选择分类的标准很重要.因为已知条件要求点P为C上，根据圆周角的性质可知，PBC一定是锐角，这样PBC为直角三角形只有如下两种情形：当PB与C相切时，PBC为直角三角形，如图10，根据勾股定理和相似三角形的性质定理可以求得点P的坐标；当BCPC时，PBC为直角三角形时，如图11，根据相似三角形的判定和性质也可得到
14、结论；在第（3）小题中，如图12，点p在C上运动时，点E也随之运动，所以找到当点P运动到什么位置时OE的值最大，是解题的关键.根据A,B的坐标可知点O是线段AB的中点，E是线段PB的中点，所以OE是PAB的中位线，根据三角形中位线定理，得AO=2OE,所以要想使得OE最大，只需满足AP最大，从而把问题转化成圆外一个定点到圆上一个动点距离最大问题，显然是定点，圆心，动点三点共线时取得最大值，于是问题得解.解：（1）因为二次函数解析式为y=4，令y=0，得x=3，令x=0，得y=4，所以B（3，0），C（0，4）；（2）存在点P，使得PBC为直角三角形.理由如下：如图10，当PB与C相切时，PBC
15、为直角三角形.连接BC，因为OB=3OC=4，所以BC=5，过作Ex轴于E，Fy轴于F，则CFBE，且四边形OFB是矩形，C=, B=2,所以=2,设F=OE=x(x0)，则OF=E=2x，所以BE=3x，CF=2x4，所以=2，所以x=，2x=，所以F=，E=，所以（，-），过作Gx轴于G，Hy轴于H，同理求得（-1，-2），当BCPC时，PBC为直角三角形，过作Hy轴于H，则BOCCH,所以,所以CH=，H =，所以（，-4）；同理（-，-4）；综上所述：点P的坐标为：（1，2）或（，-）或（-，-4）或（，-4）；（3）如图12， 连接AP,因为OB=OA,BE=EP,所以OE是ABP的
16、中位线，所以OE=AP，所以当AP最大时，OE的值最大，因为当点P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值为5+ ，所以OE的最大值为.赏析 此题将函数与几何知识有机融合，设计知识点多：二次函数的图像及其性质，直角三角形与勾股定理；直线与圆的位置关系及其切线的性质；相似三角形的判定及其性质；三角形中位线定理的判定及其性质；同时也运用了大量的数学思想：函数思想，转化思想，方程思想；分类思想和数形结合思想，这些都是问题解决的魂所在；特别值得一提的是，本题充分利用了直径是最大弦这一性质，展现了一种圆背景下求最值得新方法，值得借鉴，值得学习，值得掌握，值得活用，这就是数学的魅力.2. 相似三角形存在性
17、例5 （2017年山东淄博）如图13，经过原点O的抛物线y=a+bx（a0）与x轴交于另一点A(,0)，在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图14，若点M在这条抛物线上，且MBO=ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得POCMOB? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由分析：第（1）小题在解答时，结合直线y=x确定B的坐标，是解答的关键；接下来用待定系数法转化成方程组确定解析式即可；第（2）小题解答时，充分利用三角形的面积是2这个条件是解题的关
18、键；第（3）小题解答需要聚精会神思考，全面梳理给出的条件信息，确定出点M的坐标是基础，充分利用分类思想，充分利用相似的判定方法，确定点P应具有的条件，后将条件等式化，从而确定出点P的坐标.解：（1）因为直线y=x过点B（2，t），所点B(2,2),所以，解得，所以抛物线的解析式为y=2-3x；（2）过B作BHx轴，垂足为H，因为点B（2,2），所以BH=OH=2，OB=2.过O点作OEOB,使OBE面积为2，则OE=，过点E作GEx轴与点G，则OE=GE=1，所以E（1，-1），过点E作EFOB，设直线EF表达式为y=x+b，所以直线EF表达式为y=x-2，由题意得，解得，所以C(1，-1)；
19、（3）设MB于y轴交于点N，如图16，因为B（2,2），所以AOB=NOB=45，因为MBO=ABO，OB=OB，所以AOBNOB，所以ON=OA=,所以点N(0, ),设直线BN的解析式为y=kx+,所以直线解析式为y=x+，所以，解得，所以点M（-，），因为POCMOB,所以,POC=MOB.当点P在第一象限时，如图17，过点M作MGy轴，垂足为G，则MG=,OG=,作POA=GOM, 过点P作PHx轴，垂足为H，所以POHMOG,所以,所以PH=,OH=,所以点P的坐标为（，）；当点P位于第二象限时，POCMOB，此时不存在符合题意的点P；当点P位于第三象限时，如图18，过点M作MGy轴
20、，垂足为G，则MG=,OG=,作POQ=GOM, 过点P作PHx轴，垂足为H，所以POHMOG,所以,所以PH=,OH=,所以点P的坐标为（-，-）；当点P位于第四象限时，POCMOB，此时不存在符合题意的点P；综上所述，存在这样的点P，使得POCMOB,且点P的坐标为（，）或（-，-）.赏析本题的精髓深藏在第（3）小题的解答中，一是数学思想深刻：转化思想体现最淋漓尽致，把一般三角形相似的判定转化为特殊的直角三角形相似的判定，转化可谓巧妙；把坐标的确定转化为线段长度的确定，也是坐标系中解题常用有效手段；把点的存在性转化成对应相等夹角的存在性，借助角的大小比较完成了终结性的判断，可谓精妙；二是活
21、用分类思想，紧紧抓住题目的特点，选择科学的分类标准，使得分类不漏不重，这样的分类标准也是以后需要学习，借鉴并活用.其次，凸显夯实基础的重要性，如不能熟练掌握相似三角形判定，你就无法走出这片知识“沼泽”，只能在知识的海洋迷茫.3. 平行四边形的存在性 例6 （2017年临沂）如图19，抛物线y=a+bx3经过点A（2，3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且BDO=BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，
22、请说明理由分析：第（1）小题，解答时，走好三步，一步会求解析式与坐标轴的交点坐标；第二步根据OC=3OB可以确定点B的坐标，第三步根据点A,B的坐标，用待定系数法可得解析式；（2）连接AC，作BFAC交AC的延长线于F，确定BDO=45，后利用对称思想，直角三角形的互余原理完成答案的确定；（3）设M（a，2a3），N（1，n），按照以AB为边和AB为对角线两种情形分类求解即可.解：（1）由y=a+bx3得C（03），所以OC=3，因为OC=3OB，所以OB=1，所以，所以a=1,b=-2,所以抛物线的解析式为y=2x3；（2）如图20，设连接AC，作BFAC交AC的延长线于F，所以AFx轴，所
23、以F（1，3），所以BF=3，AF=3，所以BAC=45，设D（0，m），则OD=|m|，因为OD=OB=1，所以|m|=1，所以m=1，所以点D的坐标为（0，1）或（0，1）；（3）设M（a，2a3），N（1，n），以AB为边，则ABMN，AB=MN，如图21，过M作ME对称轴y于E，AFx轴于F，则ABFNME，所以NE=AF=3，ME=BF=3，所以|a1|=3，所以a=3或a=2，所以M（4，5）或（2，11）；以AB为对角线，BN=AM，BNAM，如图22，则N在x轴上，M与C重合，所以M（0，3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（2，11
24、）或（0，3）赏析 第一问的解答启示：必须学会求函数与坐标轴的交点坐标，必须熟练掌握待定系数法求函数的解析式，这是数学学习的基本功，是基础；第二问的解答启示：学会用点的坐标特点判断直线的平行：横坐标相同，两点确定的直线平行y轴，纵坐标相同，两点所在直线平行x轴，一定要熟练掌握；熟记等腰直角三角形的性质，这也是特殊角的应用之一；学会对称思想，绝对值思想处理问题，这都是解题的有效方法；第三问的解答启示：学会分类思想，掌握分类的标准，为边，为对角线两种情形，一定要熟记.例7 （2017年菏泽）如图23，在平面直角坐标系中，抛物线y=a+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(4,0)，与过A点的直
25、线相交于另一点D(3,)，过点D作DCx轴，垂足为C. （1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PNx轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.分析：第一问是一个基本问题，解答起来应该没有问题.第二问 求三角形PCM面积的最大值，需要按照如下思路去定寻：首先确定三角形PCM是直角三角形，把三角形PCM的面积转化为m的二次函数，其最值可定；第三问主要是渗透平行四边形的判定，仔细观察不难发
26、现已经具备的条件是MNCD，根据判定方法，只需加上MN=CD即可，这样确定MN的长度即成为了解题的关键，为了防止漏解，在表示MN的距离时最好借助绝对值来完成，这样即防止了漏解，又能不陷入分类思想的漩涡中，大大提高了解题的准确率.解：（1）把点B(4,0)，点D(3,)分别代入y=a+bx+1中，得，解得，所以抛物线的解析式为y=-+x+1；（2）设直线AD的解析式为y=kx+n，所以，解得，所以直线AD的解析式为y=x+1. 设动点P的坐标为(m,0),所以PC=3-m,当x=m时，y=m+1,所以M（m, m+1）,所以PM=m+1，所以直角三角形PCM的面积S=PMPC=-+,因为0m3,
27、 -0,所以S有最大值，且当m=时，S最大值为；（3）设动点P的坐标为(t,0),所以M（t, t+1）,N（t, -+t+1）,所以MN=| -+t|,因为DC=，且MNCD，所以当MN=DC时，四边形DCMN是平行四边形，所以| -+t|=，所以-+t=或-+t=-，当-+t=时，整理，得3-9t+10=0,此时=81-1200，故方程无解，此时不存在满足条件的点P；当-+t=-时，整理，得3-9t-10=0, 此时=81+120=2010，故方程有解，所以=，=，因为t0，所以=舍去.综上所述，存在这样的点P使得以D,C,M,N为顶点四边形是平行四边形，此时P(,O).赏析 通过解题，我
28、们深深体会到如下几点：1.确定二次函数的解析式需要熟练运用好方程的思想，根据未知数的个数，分别运用三元一次方程组，二元一次方程组，一元一次方程，只要熟练掌握解方程或解方程组的基本要领，确定解析式可谓水到渠成；2.学会根据题意把最值问题科学转化成相应的二次函数的最值问题，而确定二次函数的最值是同学们的必须课，是二次函数学习的最重要知识点之一，要在常态学习中不断强化，提高解题的熟练度和准确度；3.学会把坐标系背景下平行y轴直线上两点间的距离转化为纵坐标差的绝对值，从而使得问题求解更全面，更缜密，谨防漏解致错而痛失不应该丢的分值而遗憾；4.学会灵活处理二次函数与其他知识的综合，并能灵活，科学的选择解题方法，使得综合问题求解不综合，巧妙将综合化归为单一，专项知识加以求解，这是数学解题的实质，要在学习过程中不断强化和锻炼.赏析 依托典型考题，集思广益，多思多解，也是数学学习的有效手段.总之，在2017年中考试题中，命题老师都把几何图形在二次函数中存在性问题，作为甄别学生数学能力的代表题型对待，不仅查看学生的数学功底是否夯实，更是培养学生的知识综合，运用综合，综合解决的能力，让学生在掌握函数这部分知识和技能同时，积累思维和实践经验，形成学科核心素养.
