1、【课前测试】1、若坐标原点在圆(xm)2(ym)24的内部，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(，)C(，) D.解析：(0,0)在(xm)2(ym)24的内部，则有(0m)2(0m)24，解得m0，即a ，化简得a2a90，aR，故a的取值范围是.答案：4、圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_解析：由得xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以，所求弦长为2.答案：2圆的方程【知识梳理】一、圆的方程1圆的定义及方程定 义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：
2、r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径： 2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.3.重要结论(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在任一弦的中垂线上(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线二、直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b
3、)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y293、已知圆心在直线yx1上，且与直线xy20相切于点(1,1)的圆的方程为_解
4、析：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则解得所以r .故所求圆的方程为22.答案：22考点二 与圆有关的最值问题命题点1 斜率型最值问题例2、已知实数x，y满足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解析：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.变式训练：已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)求的最大值和最小值解：可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)
5、，即kxy2k30，则k.因为直线MQ与圆C有交点，所以2，可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.命题点2 截距型最值问题例2、已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上，求xy的最大值与最小值解析：(转化为截距的最值问题求解)设xyb，则b表示动直线yxb在y轴上的截距，显然当动直线yxb与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示由圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆C的半径，可得2，即|b6|2，解得b62，所以xy的最大值为62，最小值为62.变式训练：已知实数x，y满足方程x2y24x10，求yx的最大值和最小值解析：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当
6、直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.命题点3 距离型最值问题例2、已知实数x，y满足方程x2y24x10，求x2y2的最大值和最小值解析：如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.变式训练：点P(1,2)和圆C：x2y22kx2yk20上的点的距离的最小值是_解析：圆的方程化为标准式为(xk)2(y1)21.圆心C(k，1)，半径r1.易知点P(1,2)在圆外点P到
7、圆心C的距离为：|PC|3.|PC|min3.点P和圆C上点的最小距离dmin|PC|minr312.答案：2命题点4 利用对称性求最值例2、已知A(0,2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_解析：因为圆C：x2y24x2y0，故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r的圆设点A(0,2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4，2)连接AC交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.答案：2变式训练：已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，
8、P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54B.1C62 D.解析：圆心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连接C1C2与x轴交于点P，此时|PM|PN|取得最小值，为|C1C2|1354.答案：A考点三 与圆有关的轨迹问题例3、已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)(1)求直角顶点C的轨迹方程；(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程解析：(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0
9、)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24(y0)，即(x2)2y21(y0)因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)变式训练：设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解析：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以，整理得又点N(x3，y4)在圆x2y24上
10、，所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心，2为半径的圆.考点四 直线与圆的位置关系例4、(1)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定(2)直线yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A(，2)B.(，3)C.D.(3)若圆x2y2r2(r0)上恒有4个点到直线xy20的距离为1，则实数r的取值范围是()A(1，)B.(1，1)C(0，1)D(0，1)解析：(1)法一：(代数法)由消去y，整理得(1m2)x22m2xm250，因为16m2200，所以直线l与圆相交法二：(几何法)由题意知，圆心(
11、0,1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交法三：易得直线l过定点(1,1)把点(1,1)代入圆的方程有10，点(1,1)在圆的内部，故直线l与圆C相交(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d1，解得m(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1m.(3)计算得圆心到直线l的距离为1，如图，直线l：xy20与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离1.答案：(1)A(2)D(3)A变式训练：1、若无论实数a取何值时，直线axya10与圆x2y22x
12、2yb0都相交，则实数b的取值范围为()A(，2)B.(2，)C(，6)D(6，)解析：选Cx2y22x2yb0表示圆，84b0，即b2.直线axya10过定点(1，1)，点(1，1)在圆x2y22x2yb0的内部，6b0，解得b6，b的取值范围是(，6)故选C.2、直线(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆x2y22x2y70的位置关系是()A相切B相交C相离 D不确定解析： 由(a1)x(a1)y2a0(aR)整理得xya(xy2)0，则由解得x1，y1，即直线(a1)x(a1)y2a0(aR)过定点(1，1)，又(1)2(1)22(1)2(1)750，则点(1，1)在圆x2y22x2y7
13、0的内部，故直线(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆x2y22x2y70相交答案：B考点五 切线、弦长问题例5、已知直线xmy30和圆x2y26x50.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值解析：(1)因为圆x2y26x50可化为(x3)2y24，所以圆心为(3,0)，半径为2.因为直线xmy30与圆相切，所以2，解得m2.(2)圆心(3,0)到直线xmy30的距离d，由2 ，解得m29，所以m3.变式训练：1、由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线，则切线长的最小值为()A1 B2C. D3解析：切线长的最小值在直线yx1上的点与圆
14、心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d2，圆的半径为1，故切线长的最小值为.答案：C2、已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：xy20相切(1)求直线l2：4x3y50被圆C所截得的弦AB的长；(2)过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程；解析：(1)由题意得，圆心(0,0)到直线l1：xy20的距离为圆的半径，即r2，所以圆C的标准方程为x2y24，所以圆心到直线l2的距离d1，所以|AB|22.(2)因为点G(1,3)，所以|OG|，|GM|，所以，以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G的方程为(x1)2(y3)26.又圆C的方程为x2y24，
15、由得直线MN的方程为x3y40.3、已知点P(1,2)，点M(3,1)，圆C：(x1)2(y2)24.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长解析：由题意得圆心C(1,2)，半径r2.(1)(11)2(22)24，点P在圆C上又kPC1，切线的斜率k1.过点P的圆C的切线方程是y(2)x(1)，即xy120.(2)(31)2(12)254，点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆
16、心C到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC| ，过点M的圆C的切线长为1.考点六 圆与圆的位置关系例6、若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a1.答案：1变式训练：1、圆心为(4,0)且与直线xy0相切的圆的方程为()A(x4)2y21B(x4)2y212C(x4)2y26 D(x4)2y29解析：由题意
17、，知圆的半径为圆心到直线xy0的距离，即r2，结合圆心坐标可知，圆的方程为(x4)2y212，故选B.答案：B2、如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_解析：圆C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得022，所以0|a|0)，则圆C的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以22，b0，解得b1，故所求圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1)245、在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：已知圆的圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离
18、d，所以弦长为22 .答案：6、直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B.4,8C，3D2，3解析：设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20的距离为d，则圆心C(2,0)，r，所以圆心C到直线xy20的距离为2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知条件可得|AB|2，所以ABP面积的最大值为|AB|dmax6，ABP面积的最小值为|AB|dmin2.综上，ABP面积的取值范围是2,6答案：A7、已知圆O：x2y24上到直线l：xya的距离等于1的点恰有3个，则实数a的值为()A2 B.C或 D2或2解
19、析：因为圆上到直线l的距离等于1的点恰好有3个，所以圆心到直线l的距离d1，即d1，解得a.故选C.答案：C8、若直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短，则直线l的方程是_解析：依题意，直线l：ykx1过定点P(0,1)圆C：x2y22x30化为标准方程为(x1)2y24.故圆心为C(1,0)，半径为r2.则易知定点P(0,1)在圆内由圆的性质可知当PCl时，直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短因为kPC1，所以直线l的斜率k1，即直线l的方程是xy10.答案：xy109、已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆
20、心且与直线l垂直的直线的方程为_解析：由题意，设所求的直线方程为xym0，圆心坐标为(a,0)(a0)，则由题意知22(a1)2，解得a3或1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以30m0，解得m3，故所求的直线方程为xy30.答案：xy3010、已知直线xya0与圆C：x2y22x4y40相交于A，B两点，且ACBC，则实数a的值为_解析：由x2y22x4y40得(x1)2(y2)29，所以圆C的圆心坐标为C(1,2)，半径为3，由ACBC，可知ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线xya0的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得a0或a6
21、.答案：0或611、已知圆C经过点A(2，1)，与直线xy1相切，且圆心在直线y2x上(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程解：(1)设圆心的坐标为C(a，2a)，则.化简，得a22a10，解得a1.C(1，2)，半径r|AC|.圆C的方程为(x1)2(y2)22.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，由题意得1，解得k，直线l的方程为yx，即3x4y0.综上所述，直线l的方程为x0或3x4y0.12、已知圆C经过点(0,1)，且圆心为C(1,2)(
22、1)写出圆C的标准方程；(2)过点P(2，1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长解析：(1)由题意知，圆C的半径r，所以圆C的标准方程为(x1)2(y2)22.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，1)的切线方程为y1k(x2)，即kxy2k10，则，所以k26k70，解得k7或k1，故所求切线的方程为7xy150或xy10.由圆的性质易得所求切线长为2.【课后测试】1、直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB|_.解析：由x2y22x4y0，得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r，又圆心(1,2)到直线3xy60的距离为d，由2r2d2，得|AB|2410，即|AB|.答案：2、已知直线xy20及直线xy100截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是_解析：因为已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d为两平行直线距离的一半，即d3.又直线截圆C所得的弦长为8，所以圆的半径r5，所以圆C的面积是25.答案：25
