1、【课前测试】1、设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B3 C2 D1解析：()()0，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212,2mn4，mn2，mn1.答案：D2、如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解析：由题意可得B(a，)，C(a，)，F(c,0)，则由BFC90得(ca，)(ca，)c2a2b20，化简得ca，则离心率e.答案：椭圆【知识梳理】1椭圆的定义条件结论1结论2平面内
2、的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|MF1|MF2|2a|F1F2|为椭圆的焦距2a|F1F2|2. 椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e，e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2【课堂讲解】考点一 椭圆的定义及应用例1、(1)过椭圆
3、4x2y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为()A2B4C8D2解析：因为椭圆方程为4x2y21，所以a1.根据椭圆的定义，知ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a4.答案：B(2)已知动圆M过定点A(3,0)并且与定圆B：(x3)2y264相切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：因为点A在圆B内，所以过点A的圆与圆B只能内切，因为B(3,0)，所以|AB|6.所以|BM|8|MA|，即|MB|MA|8|AB|，所以动点M的
4、轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其方程为1，又a4，c3，b27，所以方程为1.故选A.答案：A(3)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.解析：由题意知|PF1|PF2|2a，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，所以2|PF1|PF2|4a24c24b2.所以|PF1|PF2|2b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29.所以b3.答案：3变式训练：1设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最
5、小值和最大值分别为()A9，12B.8，11C8，12 D10，12解析：选C.如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8，12.答案：C2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D1解析：选A.由题意及椭圆的
6、定义知4a4，则a，又，所以c1，所以b22，所以C的方程为1，选A.答案：A3、已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_解析：椭圆方程化为1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，|AF1|，|PA|PF|PA|PF1|6，又|AF1|PA|PF1|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，|PA|PF|6，|PA|PF|6.答案：66考点二 椭圆的标准方程例2、(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_解析：设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.椭圆方
7、程为1.答案：1(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_解析：方法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24，所求椭圆的标准方程为1.方法二所求椭圆与椭圆1的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，即1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.答案：1变式训练：1、设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b0，n0，且mn)因为椭圆经过P1，P2两点，所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，则两式联立，解得所以所求椭圆
8、方程为1.答案：1考点三 椭圆的几何性质例3、(1)P为椭圆1上任意一点，EF为圆N：(x1)2y24的任意一条直径，则的取值范围是()A0,15 B5,15C5,21 D(5,21)解析：()()()()22|24，因为ac|ac，即3|5，所以的取值范围是5,21答案：C(2)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.B.C. D解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以C的离心率e.答案：A变式训练：1、已知椭圆1(0b2)的左、右焦
9、点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_解析：由椭圆的方程可知a2，由椭圆的定义可知，|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由椭圆的性质可知3.所以b23，即b.答案：2、已知A，B分别为椭圆1(0b3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上的不同两点且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线yx的距离为1，则该椭圆的离心率e为()A. B.C. D.解析：由椭圆1(0b3)，得A(3,0)，B(3,0)设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，m，n，mn，又y(x9)，mn，点A到直线y
10、x的距离为d1，解得b2，c29，c，e，故选B.答案：B3、设A、B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0，19，) B.(0，9，)C(0，1)4， D(0，)4，解析：依题意得，或，所以或，解得0b0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k，设直线方程为y(x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22，又因为a2b29，解得b29，a
11、218.答案：D2、已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以1，又a2b2c2，所以a，bc1.故椭圆C的标准方程为y21.(2)设直线l的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2
12、且4t236(t28)0，故y0且3t3，由，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，所以y0，可得y4，又3t3，可得y4b0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是()A. B. C. D.解析：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yMxM，代入k1，M(4，1)，解得，e ，故选C.答案：C2、从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A. B
13、. C. D.解析：由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入椭圆方程得1，2，e.故选C.答案：C3、已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，且经过点P.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l经过M(0，1)，与C交于A，B两点，求直线l的方程解：(1)依题意，2c4，则椭圆C的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)，由椭圆的定义可得2a|PF1|PF2|6，即有a3，则b2a2c25，故椭圆C的方程为1.(2)若l与x轴垂直，则l的方程为x0，A，B为椭圆短轴的两个端点，不符合题意若l与x轴不垂直，设l的方程为ykx1，由得(9k25)x218kx360.
14、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，易知0，由，得(x1，y11)(x2，y21)即有x1x2，可得x2，x，即有，解得k，故直线l的方程为yx1或yx1.【课后练习】1、椭圆1的焦距为2，则m的值是()A6或9B.5C1或9 D3或5解析：选D.由题意，得c1，当椭圆的焦点在x轴上时，由m41，解得m5；当椭圆的点在y轴上时，由4m1，解得m3，所以m的值是3或5，故选D.答案：D2、已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D1解析：选C.由题意知e，所以e2，即a2b2.以
15、原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2y2b2，由题意可知b，所以a24，b23.故椭圆C的方程为1，故选C.答案：C3、设椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1F2是直角三角形，则PF1F2的面积为()A3 B.3或C. D6或3解析：选C.由已知a2，b，c1，则点P为短轴顶点(0，)时，F1PF2，PF1F2是正三角形，若PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|，SPF1F22c.故选C.答案：C4、已知F是椭圆1(ab0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PFx轴，|PF|AF|，则该椭圆的离心率是()A
16、. B.C. D解析：选B.由题可知点P的横坐标是c，代入椭圆方程，有1，得y.又|PF|AF|，即(ac)，化简得4c2ac3a20，即4e2e30，解得e或e1(舍去)答案：B5、如图，椭圆1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若 |PF1|4，F1PF2120，则a的值为()A2 B.3C4 D5解析：选B.b22，c，故|F1F2|2，又|PF1|4，|PF1|PF2|2a，|PF2|2a4，由余弦定理得cos 120，化简得8a24，即a3，故选B.答案：B6、过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C.
17、D解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y2x2.联立解得交点A(0，2)，B，所以SOAB|OF|yAyB|1，故选B.答案：B7、已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：设P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，由题易知|x0|a，因为存在点P，使F1PF2为钝角，所以xy有解，即c2(xy)min，又yb2x，b2c2a2，xb2，所以e2，又0e1，所以eb0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为_解析
18、：圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标为(3,0)，c3又b4，a5椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(5,0)答案：(5,0)9、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_解析：设椭圆C的方程为1(ab0)，AB过F1且A，B在椭圆C上，ABF2的周长|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，a4又离心率e，c2，b2a2c28，椭圆C的方程为1答案：110、已知椭圆与抛物线y24x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(
19、0，1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若2，求AOB的面积解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意可得c，又e，所以a2.所以b2a2c22，所以椭圆的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykx1，代入椭圆方程整理，得(2k21)x24kx20，所以x1x2，x1x2.将x12x2代入上式可得，()2，解得k2.所以AOB的面积S|OP|x1x2|.11、已知椭圆C的两个顶点分别为A(2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的
20、垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为45.解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)由题意得解得c.所以b2a2c21.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，n)由题设知m2，且n0.直线AM的斜率kAM，故直线DE的斜率kDE.所以直线DE的方程为y(xm)直线BN的方程为y(x2)联立解得点E的纵坐标yE.由点M在椭圆C上，得4m24n2，所以yEn.又SBDE|BD|yE|BD|n|，SBDN|BD|n|，所以BDE与BDN的面积之比为45.12、已知椭圆G：1(ab0)在y轴上的一个顶点为M，
21、两个焦点分别是F1，F2，F1MF2120，MF1F2的面积为(1)求椭圆G的方程；(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2y21相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点若|AQ|BP|，求实数t的值解：(1)由椭圆性质，知|MF2|a，于是casin 60a，bacos 60a所以MF1F2的面积S(2c)b(a)，解得a2，b1所以椭圆G的方程为y21(2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为yk(xt)由于直线l与圆O相切，则圆心O到l的距离d1，即k2t2k21，联立化简得(14k2)x28tk2x4(t2k21)0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1
22、x2设Q(x0，y0)，有解得x0由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1x2tx0因此t，化简得k2，将其代入式，可得t【课后测试】1、椭圆C：1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则F1AB的周长为_解析：F1AB的周长为|F1A|F1B|AB|F1A|F2A|F1B|F2B|2a2a4a.在椭圆1中，a225，a5，所以F1AB的周长为4a20.答案：202、椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：直线y(xc)过点F1(c,0)，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.答案：1
