1、6向心力知识点一向心力1定义做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，产生向心加速度的原因是由于它受到了指向圆心的合力2方向始终沿着半径指向圆心，与线速度垂直，时刻发生改变3表达式(1)Fnm；(2)Fnm2r.4来源(1)向心力不是像重力、弹力、摩擦力那样作为某种性质的力来命名的它是根据力的作用效果来命名的(2)凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种力，都是向心力匀速圆周运动的向心力一定是其合力5实验验证如图甲所示，细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球，使它在某个水平面内做圆周运动，组成一个圆锥摆(1)钢球在水平面内做圆周运动，其受力如图乙所示，重力mg和拉力FT的合力Fmgtan.(2)用秒表测出钢
2、球运动n圈所用的时间t，测出钢球的轨道半径r，则钢球的线速度v，钢球受到的向心力Fn.(3)比较合力F和Fn的大小，得出结论：钢球受到的向心力等于钢球受到的指向圆心的合力我们在对物体受力分析时能否分析向心力？提示：不能，因为向心力是效果力，是由其他力提供的知识点二变速圆周运动和一般曲线运动1变速圆周运动变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果(1)合外力F跟圆周相切的分力F，此分力产生切向加速度a，描述速度大小变化的快慢(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的方向，描述速度方向变化的快慢2一般曲线运动的处理方法一般曲线运动，
3、可以把曲线分割成许多极短的小段，每一小段可看做一小段圆弧圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理链球运动员投掷时可以通过抡绳子来调节链球速度的大小(如图)这给我们带来疑问：难道向心力可以改变速度的大小吗？这到底是什么原因呢？提示：不能绳子对链球的拉力沿运动方向的分量改变速度大小.考点一对向心力的理解(1)定义：做匀速圆周运动的物体，受到的大小恒定不变，方向始终指向圆心的合力这个合力叫做向心力向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的，在对物体进行受力分析时，切不可在重力、弹力等性质的力之外再添加一个向心力向心力
4、是按力的效果来命名的，它的效果使物体产生向心加速度向心力可以是某一个力，也可以是几个力的合力(2)向心力的方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直，时刻改变，因此向心力是变力(3)向心力的作用：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小(4)向心力的大小向心力表达式的推导：因为向心加速度公式为an或an2r或anr，由牛顿第二定律Fnma，得向心力Fnm或Fnm2r或Fnmr.向心力的表达式：Fnmm2rmr.(5)对向心力表达式的理解由公式可知向心力的大小与物体的质量m，圆周半径r，线速度v(或角速度或周期T)都有关系向心力公式是从匀速圆周运动中得出的，但也适用于一般的圆周运动，只是在运用公式求解一
5、般的圆周运动某点的向心力时，必须是该点对应的瞬时速度和对应时刻的半径(6)向心力的来源：向心力是按效果命名的，不是某种性质的力任何一个力或几个力的合力，只要它能使物体产生向心加速度，它就是物体的向心力重力、弹力、摩擦力都可以提供向心力，它们的合力(分力)也可以提供向心力物体做匀速圆周运动，物体所受到的合力就是向心力且该合力的大小不变但方向时刻改变若物体做非匀速圆周运动，物体所受合力沿半径方向的分力提供向心力【例1】如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，某人站在距圆心为r处的P点随圆盘共同运动，下列关于人的受力的说法中正确的是()A人在P点相对圆盘静止，因此不受摩擦力作用B人随圆盘
6、做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力C人随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力D若使圆盘以较小的转速转动时，人在P点受到的摩擦力不变本题可按以下思路进行分析：(1)对人进行受力分析；(2)分析向心力由什么力提供；(3)根据公式，明确向心力与转速的关系【解析】由于人随圆盘做匀速圆周运动，所以一定需要向心力，且该力一定指向圆心方向，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此该人会受到摩擦力的作用，且摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于人随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由Fm(2n)2r可知，所需向心力变小，受到的摩擦力变小，选项D错误【答案】C总结提能
7、 圆周运动问题中对向心力进行分析，往往是解题的关键向心力的来源及作用可归纳如下：(1)向心力可能是物体受到的某一个力或某几个力的合力，也可能是某一个力的分力(2)物体做匀速圆周运动时，合外力一定是向心力，方向指向圆心，只改变速度的方向(3)物体做变速圆周运动时，合外力沿半径方向的分力充当向心力，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力改变速度的大小(多选)下列说法中正确的是 (BC)A物体由于做圆周运动而产生了一个向心力B向心力只改变做匀速圆周运动物体的线速度的方向，不改变线速度的大小C做匀速圆周运动物体向心力一定等于其所受的合力D做匀速圆周运动物体的向心力是不变的解析：物体因受到了向心力而
8、做圆周运动，故A错误；匀速圆周运动物体所受向心力指向圆心，方向时刻在变，大小不变，其作用只改变线速度的方向，所以B正确，D错误；由于做匀速圆周运动的物体只具有向心加速度，而向心加速度是由向心力产生的，所以物体受到的合力就等于向心力，C正确考点二用动力学处理圆周运动问题1指导思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的基础2解题步骤(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图(2)将物体所受外力分解到互相垂直的两个方向上，其中一个分力沿半径方向(3)列方程：沿半径方向满足F合1mr2m，垂直半径方向F合20.3几种常见的匀速圆周运动
9、的实例图表【例2】长为L的细线，一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，当细线L与竖直方向的夹角为时，求：(1)细线的拉力F；(2)小球运动的线速度的大小；(3)小球运动的角速度及周期解答本题的关键是明确小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力是由小球所受的合力提供的，所以要先对小球进行受力分析【解析】对做匀速圆周运动的小球进行受力分析，如图所示，小球受到重力mg和细线的拉力F的作用(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向且指向圆心O.由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtan，细线对小球的拉力大小为F.(2)由牛顿第二
10、定律得mgtanm由几何关系得rLsin所以小球做匀速圆周运动的线速度大小为v.(3)小球运动的角速度小球运动的周期T2.【答案】(1)(2)(3)，2总结提能 圆锥摆模型中小球做匀速圆周运动，圆心在轨迹圆的圆心上，而不在悬点小球做匀速圆周运动的向心力由小球的重力和细线的拉力的合力提供注意不要把细线的长当做小球做圆周运动的半径三个长度不同的摆，摆1的摆长为L1，摆2的摆长为L2，摆3的摆长为L3，以相同的角速度绕竖直轴上的O点在水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆运动)，其中L1L2L3，则关于三个摆球位置关系正确的是(如图所示)(A)解析：小球受重力和拉力作用，两个力的合力提供向心力，则小球圆周运
11、动的向心力FF1mgtan.根据向心力公式得：Fmr2，rLsin，得，摆1的摆长为L1，摆2的摆长为L2，摆3的摆长为L3，以相同的角速度绕竖直轴上的O点在水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆运动)，所以Lcos相同，故A正确，B，C，D错误故选A.考点三变速圆周运动和一般的曲线运动(1)概念：线速度大小改变的圆周运动叫做变速圆周运动(2)受力特点：物体所受的合力F不指向圆心；将F分解为跟圆弧相切的分力F和指向圆心的分力Fn.合力F与速度方向不垂直，它改变了物体速度的大小和方向Fn产生向心加速度，与速度方向垂直，改变了速度的方向F产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在同一条直线上，它改变了速
12、度的大小物体做加速圆周运动时，合力方向与速度方向夹角小于90，如图甲所示，其中F使v增大，Fn使v改变方向Fn产生的加速度就是向心加速度同理，F与v夹角大于90时，F使v减小，Fn改变v的方向如图乙所示(3)仅有向心加速度的圆周运动是匀速圆周运动；同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动是变速圆周运动(4)变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用an、anr2和Fn、Fnmr2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但它们对变速圆周运动仍然适用，只不过应用时要注意Fn、an、v必须是同一时刻的瞬时值(5)解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式，解
13、决变速圆周运动除了依据上述规律外，还需要用到后面章节将要学习的功能关系等(6)一般的曲线运动运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动车辆的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，在这个复杂的曲线运动中取一小段研究，每一小段都可以看成是某个圆周的一部分，如图所示，汽车在高低不平的路面上行驶时，不同位置上所对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”是不同的【例3】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其
14、半径叫做A点的曲率半径现将一物体沿与水平面成角的方向以速度v0抛出，如图乙所示则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()A.B.C. D.将一般的曲线运动分成很多小段，每小段看成圆周运动的一部分，此时可以用圆周运动的向心加速度和向心力公式求解，但要注意此时的线速度为瞬时值【解析】根据运动的分解，物体在最高点的速度等于初速度的水平分速度，即为v0cos，物体在最高点的运动可看成是向心力为重力的圆周运动的一部分，则有mgm，解得，选项C正确【答案】C总结提能 运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动将质点在每一小段的运动看做圆周运动的一部分，这样就能采用圆周运动的分析方法进行处理如图所
15、示，质量为m的物体，沿半径为r的圆轨道自A点滑下，A与圆心O等高，滑至B点(B点在O点正下方)时的速度为v，已知物体与轨道间的动摩擦因数为，求物体在B点所受的摩擦力解析：物体由A滑到B的过程中，受到重力、轨道弹力及摩擦力的作用，做圆周运动在B点物体的受力情况如图所示，其中轨道弹力与重力Gmg的合力提供物体做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有FNmg，解得FNmg.则滑动摩擦力FfFNm(g)答案：m(g)1(多选)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是(BC)A因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C物体所受的合
16、力D向心力和向心加速度的方向都是不变的解析：做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合力，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以选项A，D错误，B，C正确2秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千(D)A在下摆过程中B在上摆过程中C摆到最高点时 D摆到最低点时解析：当秋千摆到最低点时速度最大，由Fmgm知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，选项D正确3如图所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮上质量相等的两个质点，则偏心轮转动过程中a，b两质
17、点(A)A角速度大小相同B线速度大小相同C向心加速度大小相同D向心力大小相同解析：偏心轮上各处角速度相等，故A正确；根据vr，可知半径不同，线速度不同，故B错误；根据a2r可知半径不同，向心加速度不同，故C错误；根据Fm2r可知半径不同，向心力不同，故D错误故选A.4如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，物体相对桶壁静止，则(C)A物体受到4个力的作用B物体所受向心力是重力提供的C物体所受向心力是弹力提供的D物体所受向心力是静摩擦力提供的解析：物体受重力、圆筒壁对它施加的弹力和摩擦力三个力的作用，故选项A错误；其中在竖直方向上重力和摩擦力平衡，只有弹力提供物体转动所需的
18、向心力，故选项C正确，B，D均错误5(多选)上海磁悬浮线路最大转弯处的半径达到8 000 m，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1 300 m，一个质量为50 kg的乘客坐在以360 km/h速率不变的行驶的车里，随车驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是(AD)A乘客受到的向心力大小约为200 NB乘客受到的向心力大小约为539 NC乘客受到的向心力大小约为300 ND弯道半径设计越大可以使乘客在转弯时越舒适解析：由Fnm，可得Fn200 N，选项A正确；弯道设计半径越大，转弯时乘客所需要的向心力越小，转弯时就越舒适，选项D正确学科素养培优精品微课堂思想方法系列(
19、六)圆周运动中的连接体问题方法解读圆周运动中的连接体问题，是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题这类问题的一般求解思路是：分别隔离物体，准确分析受力，正确画出受力图，确定轨道半径，注意约束关系(在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系)【例】在一个水平转台上放有质量相等的A、B两个物体，用一轻杆相连，AB连线沿半径方向A与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、B到平台转轴的距离分别为L、2L.某时刻一起随平台以的角速度绕OO轴做匀速圆周运动，A与平台间的摩擦力大小为FfA，杆的弹力大小为F.现把转动角速度提高至2，A、B仍各自在原位置随平台一起
20、绕OO轴匀速圆周运动，则下面说法正确的是()AFfA、F均增加为原来的4倍BFfA、F均增加为原来的2倍CFfA大于原来的4倍，F等于原来的2倍DFfA、F增加后，均小于原来的4倍解析根据牛顿第二定律，对A：FfAFm2rA，对B：Fm2rB.当增大到2时，由式知，F增加到原来的4倍；由式知：FfAFm2rA.FfA增加为原来的4倍故选A.答案A总结提能 (1)连接体的圆周运动问题要同时研究构成连接体的多个物体的圆周运动，各物体圆周运动的角速度相同(2)涉及连接体圆周运动的动力学分析，则多种多样，但万变不离其宗，都是合力提供向心力情景示例情景图示情景说明情景1A、B两小球固定在轻杆上随杆绕杆的
21、端点O做圆周运动，注意计算OA杆拉力时应以小球A为研究对象，而不能以A、B整体为研究对象情景2当转盘转速逐渐增大时，物体A先达到其最大静摩擦力，转速再增加，则A、B间绳子开始有拉力，当B受到的静摩擦力达到其最大值后两物块开始滑动情景3当求转盘对B的摩擦力时，取A、B整体为研究对象比较简单；当研究A、B谁先发生离心滑动时，注意比较两接触面的动摩擦因数大小情景4A、B两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动时，两球所受向心力大小相等、角速度相同、圆周半径与小球质量成反比变式训练甲、乙两名滑冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的滑冰表演，如图所示m甲80 kg，m乙40 kg，两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为9.2 N，则下列判断正确的是(D)A两人的线速度相同，约为40 m/sB两人的角速度相同，约为6 rad/sC两人的运动半径相同，都是0.45 mD两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m解析：两人的角速度相同，向心力相同，设两人的运动半径分别为r甲和r乙，由牛顿第二定律和圆周运动得m甲r甲2m乙r乙2，所以，又r甲r乙0.9 m，所以，r甲0.3 m，r乙0.6 m.由vr得两人线速度之比.由Fm甲r甲2得 rad/s0.62 rad/s.所以v甲r甲0.186 m/s，v乙r乙0.372 m/s.
