1、专题限时集训(十)数列1(2019全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和解(1)设an的公比为q，由题设得2q24q16，即q22q80.解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为13(2n1)n2.2(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1
2、代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.3(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5.(1)若a34，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围解(1)设an的公差为d.由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通项公式为an102n.(2)由(1)得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0
3、)，由a1b13，a2b214，a3b334，得a2b23d3q14，a3b332d3q234，解得：d2，q3.an32(n1)2n1，bn3n.(2)anbn(2n1)3n，anbn的前n项和为(a1a2an)(b1b2bn)(352n1)(3323n)n(n2).2(2020潍坊模拟)已知等比数列an的首项a12，且a2，a32，a4成等差数列(1)求an的通项公式；(2)若bnlog2an，求数列的前n项和Tn.解(1)等比数列an的首项a12，公比设为q，a2，a32，a4成等差数列，可得a2a42(a32)，即有2q2q32(2q22)，解得q2.则ana1qn12n.(2)bnl
4、og2anlog22n n，则，前n项和Tn11.3(2020吉林二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a23，S60.(1)求数列an的通项公式；(2)求使不等式Snan成立的n的最小值解(1)设等差数列an的公差为d，a23，S60，a1d3,6a115d0.解得a15，d2.an52(n1)2n7.(2)不等式Snan，即5n22n7，等价于(n1)(n7)0，解得n7.使不等式Snan成立的n的最小值为8.4(2020淄博模拟)已知数列an满足a1，且an(n2，nN*)(1)求证：数列2nan是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)证明：当n
5、2时，由an，两边同时乘以2n，可得2nan2n1an12，即2nan2n1an12(n2)21a123，数列2nan是以3为首项，2为公差的等差数列2nan32(n1)2n1，an，nN*.(2)由(1)可知，Sna1a2an，Sn，两式相减，可得：Sn，Sn5.1已知数列an的前n项和Snn22kn(kN*)，Sn的最小值为9.(1)确定k的值，并求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nan，求数列bn的前2n1项和T2n1.解(1)由已知得Snn22kn(nk)2k2，因为kN*，则当nk时，(Sn)mink29，故k3.所以Snn26n.因为Sn1(n1)26(n1)(n2)，所以a
6、nSnSn1(n26n)(n1)26(n1)2n7(n2)当n1时，S1a15，满足an2n7，综上，an2n7.(2)依题意，得bn(1)nan(1)n(2n7)，则T2n1531135(1)2n(4n7)(1)2n12(2n1)752n.2已知数列an，bn满足a11，b1，2an1anbn,2bn1anbn.(1)证明：数列anbn，anbn为等比数列；(2)记Sn为数列an的前n项和，证明：Sn.解(1)依题意得两式相加得：an1bn1(anbn)，anbn为等比数列，两式相减得：an1bn1(anbn)，anbn为等比数列(2)由(1)可得：anbn，anbn，两式相加得：an，Sn
7、.3设数列an的前n项和为Sn，已知S12，an1Sn2.(1)证明：an为等比数列； (2)记bnlog2an，数列的前n项和为Tn，若Tn10恒成立，求的取值范围解(1)由已知，得a1S12，a2S124，当n2时，anSn12，所以an1an(Sn2)(Sn12)an，所以an12an(n2)又a22a1，所以2(nN*)，所以an是首项为2，公比为2的等比数列(2)由(1)可得an2n，所以bnn.则，Tn，因为Tn10，所以10，从而，因为1020，所以的取值范围为20，)4已知数列an的各项都为正数，a12，且1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlg(log2an)，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991，求数列bn的前2 020项和解(1)由题意，1，即aan1an2a0，整理，得(an1an)(an12an)0.数列an的各项都为正数，an12an0，即an12an.数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，an2n.(2)由(1)知，bnlg(log2an)lg(log22n) lg n，故bn nN*.数列bn的前2 020项的和为190290031 0214 953.
