1、2022年中考数学压轴题1如图，已知，抛物线yax22x过点A（2，5），过A点作x轴的平行线，交抛物线与另一点C，交y轴与点Q，点D（m，5）为线段QC上一动点（不与Q、C重合），作点Q关于直线OD的对称点P，连接PC，PD（1）当点P落在抛物线的对称轴上时，求OPD的面积；（2）若直线PD交x轴与点E试探究四边形OECD能否为平行四边形？若能，求出m的值，若不能，请说明理由（3）设点P（h，k）求PC取最小值时k的值；当0m5时，试探究h与m之间的关系解：（1）把点A（2，5）代入抛物线yax22x，得54a+4，a=14，y=14x22x对称轴为x4，C（10，5），当点P落在抛物线的对
2、称轴上时，如图1，记作P，OM4，OPOQ5，DPDQm，PM3，PN532，在RtDPN中，m222+（4m）2，解得m=52，OPD的面积OQD的面积=12552=254（2）ACOE，当DCOE时，四边形OECD为平行四边形，DOEODQODP，DEOECD10m，E（10m，0），D（m，5），ED2（102m）2+52（10m）2，解得m=53或m5m的值53或5（3）OPOQ5，OC55，当O，P，C在一条直线上时，PC最小，如图2，此时，点P记作P此时PCPC55-5，由DPCEPO，得k5-k=555-5，解得k=5如图3，连接QP，作PHQC于H，则QPOD，HQP90OQP
3、QOD，OQ5，QD，OD边上的高为5mm2+25，QP=10mm2+25cosHQPcosQOD，即h10mm2+25=5m2+25，h与m之间的关系为h=50mm2+252.如图1，已知在ABC中，ABC90，ABBC82，且点C与点A在x轴，点B在y轴上 （1）直接写出直线AB和直线BC的解析式；（2）点P是线段AB上一点，过点P作PDx轴于点D，作PEx轴交BC于点E，交y轴于点G当PD+PE13时，在线段AB轴上有一动点Q，在线段OB轴上有一动点R，连接DR，RQ，求DR+RQ的最小值和此时点Q的坐标；（3）如图2，在（2）的结论下，将PBG绕点B逆时针旋转45至PBG将PBG沿射线
4、BC方向平移，设平移后的PBG为PBG，连接PC，当CBP是等腰三角形时，求PBG的平移距离d解：（1）OAABcos458OBOC，即点A、B、C的坐标分别为（8，0）、（0，8）、（8，0），把A、B坐标代入一次函数表达式ykx+8得：y8k+8，解得：k1，故：直线AB的表达式为：yx+8，同理可得直线BC的表达式为：yx+8；（2）设点P的坐标为（m，m+8），则点E的坐标为（m，m+8），PD+PEm+82m13，解得：m5，即点P（5，3）、E（5，3）、D（5，0），在x轴确定D点关于y轴的对称点D（5，0），过点D作DQAB交AB于点Q、交y轴于点R，则DR+RQDQ最小，DR
5、+RQDQADsin451322=1322，点Q的坐标为（-32，132）；（3）设：PBG为PBG在水平方向上平移的距离为m，则d=2m，BP交x轴于点H，当PBBC时，CH8m，而PG5，SPBC=12CBPG=12PBCH，即：PGCH，8m5，解得：m3，则d32；当PCBC时，同理可得：d82-10；当PBPC时，PCB45，BPC90，同理可得：d82-5或132；故：平移距离d为32、82-10、82-5、1323如图1，抛物线yx2+bx+c交x轴于点A（3，0），B（2，0），交y轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，D点坐标为（23，0），连结DC若点H是线段DC上
6、的一个动点，求OH+12HC的最小值（3）如图3，连结AC，过点B作x轴的垂线l，在第三象限中的抛物线上取点P，过点P作直线AC的垂线交直线l于点E，过点E作x轴的平行线交AC于点F，已知PECF求点P的坐标；在抛物线yx2+bx+c上是否存在一点Q，使得QPCBPE成立？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设抛物线的表达式为：ya（xx1）（xx2）（x+3）（x2）x2+x6，抛物线的表达式为：yx2+x6，（2）作点O关于直线DC的对称点O交CD于点M，过点O作OGy轴交DC与点H、交y轴与点G，OD23，OC6，则OCD30，GH=12HC，在图示的位置时，OH+12H
7、CGH+OH，此时为最小值，长度为GO，OODC，OOHOCD30，OM=12OC3=12OO，在RtOOG中，GOOOcosOOG6cos3033，即：OH+12HC的最小值为33；（3）设点P的坐标为（m，n），nm2+m6，直线AC表达式的k值为2，则直线PE表达式的k值为12，设直线PE的表达式为：y=12x+b，将点P坐标代入上式并解得：bn-12m，则点E的坐标为（2，1+n-12m），点F的坐标为（14m-12n-72，1+n-12m），过点P作x轴的平行线交直线l于点M，过点F作y轴平行线交过C点作x轴的平行线于点S，ACPE，EPMSFC，PECF，则PEcosCFcos，即
8、：PMFS，1+n-12m+62m，即：2m2+3m20，解得：m=12或2（舍去12），故点P坐标为（2，4），点E坐标为（2，2）；过点P作x轴的平行线交直线l于点M、交y轴于点R，作ENPB于点N，则：PM4BM4，EMBE2，则PE=20，ENBEsinNBE2sin45=2，设：QPCBPE，则sinBPE=ENPE=110=sin，则tan=13，过点P作y轴的平行线交过C点与x轴的平行线于点L，延长PQ交CL于点H，过点H作HGPC，则：PLPRRCCL2，即四边形PRCL为正方形，PCH45，设：GHGCm，PG=GHtanCPQ=3m，PCPG+GC4m22，则m=22，CH
9、=2m1，即点H坐标为（1，6），则HP所在的直线表达式为：y2x8，联立并解得：x1或2（x2和点P重合，舍去），故点Q的坐标为（1，6），同理当点Q在第四象限时，点Q（12，-214）；综上，点Q（1，6）或（12，-214）4已知：O是ABC的外接圆，AD为O的直径，ADBC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F（1）如图1，求证：BFC3CAD；（2）如图2，过点D作DGBF交O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BEOH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DGDE，AOF的面积为925，求线段CG的长证明：（1）AD为O的直径，ADBC，BEEC，ABAC，又AD
10、BC，BADCAD，OAOB，BADABO，BADABOCAD，BFCBAC+ABO，BFCBAD+EAD+ABO3CAD；（2）如图2，连接AG，AD是直径，AGD90，点H是DG中点，DHHG，又AODO，OHAG，AG2OH，AGDOHD90，DGBF，BOEODH，又OEBOHD90，BODO，BOEODH（AAS），BEOH；（3）如图3，过点F作FNAD，交AD于N，设DGDE2x，DHHGx，BOEODH，OEDHx，OD3xOAOB，BE=OB2-OE2=9x2-x2=22x，BAECAE，tanBAEtanCAE=BEAE=NFAN，22x4x=NFAN，AN=2NF，BOE
11、NOF，tanBOEtanNOF=BEOE=NFON，22xx=NFON，ON=24NF，AOAN+ON=524NF，AOF的面积为925，12AONF=12524NF2=925，NF=625，AO=524NF33x，x1，BE22=OH，AE4，DGDE2，AC=AE2+CE2=16+8=26，如图3，连接AG，过点A作AMCG，交GC的延长线于M，由（2）可知：AG2OH42，四边形ADGC是圆内接四边形，ACMADG，又AMCAGD90，ACMADG，ADAC=AGAM=DGCM，626=42AM=2CM，CM=263，AM=833，GM=AG2-AM2=32-643=463，CGGMC
12、M=2635定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为90或270；证明：（2）如图1，MN是O的直径，点A，B，C在O上，AM，CN相交于点D求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，ABBC，ABC60，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由（1）解：四边形ABCD是对余四边形，A+C90或A+C36090270，故答案为：90或270；（2）证明：MN是O的直径，点A，B，C在O上，BAM+BCN90，即BAD+BCD90，四边形ABCD是对余四边形；（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2BD2，理由如下：对余四边形ABCD中，ABC60，ADC30，ABBC，将BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAF，连接FD，如图3所示：BCDBAF，FBD60BFBD，AFCD，BDCBFA，BFD是等边三角形，BFBDDF，ADC30，ADB+BDC30，BFA+ADB30，FBD+BFA+ADB+AFD+ADF180，60+30+AFD+ADF180，AFD+ADF90，FAD90，AD2+AF2DF2，AD2+CD2BD2
