1、2022年高考数学总复习第61讲：抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1
2、)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切()(3)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(
3、x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于()A9B8C7D6B抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.2若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A. B. C. D0BM到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.3设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6 C8 D12B如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，
4、则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选B.4顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是_y2x或x28y若焦点在y轴上，设抛物线方程为x2my，由题意可知162m，m8，即x28y.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2nx，由题意，得44n，n1，y2x.综上知，y2x或x28y.考点1抛物线的定义及应用(1)应用抛物线定义的两个关键点由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0|或|PF|y0|.(2)解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准
5、线想焦点，看到焦点想准线”(1)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点|AF|BF|3，则线段AB的中点到准线的距离为()A.B.C1D3(2)设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_(1)B(2)4(1)F是抛物线y2x的焦点，F(，0)，准线方程x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可得|AF|x1，|BF|x2，|AF|BF|x1x23.解得x1x2，线段AB的中点横坐标为，线段AB的中点到准线的距离为.故选B.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|
6、P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.母题探究1若将例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|PF|的最小值解由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值为2.2若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值解由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小
7、值为3，所以d1d2的最小值为31.与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决(2017 全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_6如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP
8、|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.考点2抛物线的标准方程及其性质求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)(2019潍坊模拟)抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线的方程为()Ay26x By28xCy216x Dy2(2)一题多解在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂
9、足如果直线AF的倾斜角为120，那么|PF|_(1)B(2)4(1)设M(x，y)，因为|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由抛物线定义知x2p，所以xp，所以yp. 又MFO的面积为4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.(2)法一：抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.因为直线AF的倾斜角为120，所以AFO60.又tan 60，所以yA2.因为PAl，所以yPyA2.将其代入y24x，得xP3，所以|PF|PA|3(1)4.法二：抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.因为PAl，所以|PA|PF|.又因为直线AF的倾斜角为12
10、0，所以AFO60，所以PAF60，所以PAF为等边三角形，所以|PF|AF|4.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此1.(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上， 85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.2.如图所示，过抛物线y22px(
11、p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy22xDy2xB如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由定义得|BD|a，故BCD30，则在RtACE中，2|AE|AC|，又|AF|4，|AC|43a，|AE|4，43a8，从而得a，AEFG，即，p2.抛物线的方程为y24x.故选B.考点3直线与抛物线的位置关系求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛
12、物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解(1)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有_条(2)(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若|AF|BF|4，求l的方程；若3，求|AB|.(1)3(1)结合图形分析可知(图略)，满足题意
13、的直线共有3条：直线x0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)(2)解设直线l：yxt，A，B.由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由 ，可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而由，得t.所以l的方程为yx.由3得y13y2.由，得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.解答本例(2)第问的关键是从条件“3”中发现变量间的关系“y13y2”，从而为方程组的消元提供明确的方向教师备选例题1(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为
14、k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.2(2019金
15、华模拟)已知抛物线C：y22px(p0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F的距离为.(1)若N(，0)，过点N，P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；(2)若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(xa)2y21相交于D，E两点，O为坐标原点，OAOB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存存，请说明由解(1)点P(2，t)到焦点F的距离为，2，解得p1，故抛物线C的方程为y22x，P(2，2)，l1的方程为yx，联立得解得xQ，又|QF|xQ，|PF|，.(2)设直线l2的方程为xnym(m0)，代入抛物线方程可得y22ny2m0，设A(x1，y1
16、)，B(x2，y2)，则y1y22n，y1y22m，由OAOB得，(ny1m)(ny2m)y1y20，整理得(n21)y1y2nm(y1y2)m20，将代入解得m2或m0(舍去)，满足4n28m0，直线l2：xny2，圆心M(a，0)到直线l2的距离d，|DE|2，显然当a2时，|DE|2，存在实数a2，使得|DE|为定值1.一题多解过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A4 B. C5 D6B法一：(直接法)易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为yk(x1)由 得k2x2(2k24)xk20，得xAxB1，因为|AF|2|BF|，由
17、抛物线的定义得xA12(xB1)，即xA2xB1，由解得xA2，xB，所以|AB|AF|BF|xAxBp.法二：(应用性质)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos ，所以tan 2.则sin28cos2，sin2.又y24x，知2p4，故利用弦长公式|AB|.法三：(应用性质)因为|AF|2|BF|，1，解得|BF|，|AF|3，故|AB|AF|BF|.2(2019临沂模拟)已知点A(m，4)(m0)在抛物线x24y上，过点A作倾斜角
18、互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.(1)求证：直线BC的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围解(1)证明：点A(m，4)在抛物线上，16m2，m4，又m0，m4.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则kABkAC0，x1x28.kBC2，直线BC的斜率为定值2.(2)设直线BC的方程为y2xb，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ，x01.M(1，2b)又点M在抛物线内部，2b，即b.由得x28x4b0，x3x48，x3x44b.|BC|x3x4|.又b，|BC|10.|BC|的取值范围为(10，)
