1、24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角教学目标：1、理解圆周角的概念2、掌握圆周角定理及其推论3、理解圆内接四边形的性质，探究四点不共圆的性质教学重难点：圆的性质的综合应用知识点一：圆周角的定义圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上角的两条边都与圆相交，二者缺一不可例题.下列四个图中，x是圆周角的是（）ABCD变式.下列图形中，是圆周角的是（）ABCD知识点二：圆周角定理圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半例题1如图，点A、B、C都在O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果AOB=6
2、4，那么ACB的度数是（）A26B30C32D64例题2如图，在O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若ACO=30，则BOC的度数是（）A30B45C55D60变式1已知，如图，AB是O的直径，点D，C在O上，连接AD、BD、DC、AC，如果BAD=25，那么C的度数是（）A75B65C60D50变式2如图，在O中，弦ABCD，若ABC=40，则BOD=（）A80B50C40D20变式3如图，ABC内接于O，CD是O的直径，A=35，则BCD的度数是（）A55B65C70D75变式4如图，已知AB、AD是O的弦，B=20，D=15，则BAD的度数是（）A30B45C20D35知识点三：圆周角
3、定理的推论推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径（1）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握（2）注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”-圆心角转化定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角例题1如图，AB是O的直径，点C在O上，弦BD平分ABC，则下列结论错误的是（）AAD=DCBCADB=ACBDDAB=CBA例题2如图，OA是
4、O的半径，弦BCOA，D是O上一点，若ADB=28，则AOC的度数为（）A14B28C56D84变式2如图，C、D是以AB为直径的O上的两个点，ACD=15，则BAD的度数为（）A15B30C60D75变式3如图，AB是半圆O的直径，C、D、E是半圆的四等分点，CHAB于H，连接BD、EC相交于F点，连接AC、EH，下列结论：CE=2CH；ACH=CEH；CFD=2ACH，其中正确的结论是（）AB只有C只有D只有知识点四：圆内接多边形及圆内接四边形的性质四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形，且圆内接四边形对角互补例题如图，点A，B，C，D在O上，O点在D的内部，四边形OABC为平行四边形，则
5、OAD+OCD等于（）A105B90C75D60变式1如图，点A、B、C、D都在O上，且四边形OABC是平行四边形，则D的度数为（）A45B60C75D不能确定变式2如图，AB是O的直径，D为的中点，B=40，则C的度数为（）A80B100C110D140变式3如图，以AC为斜边在异侧作RtABC和RtADC，ABC=ADC=90，BCD=45，BD=4，则AC的长度为（）A8B4C6D拓展点一：与圆周角有关的计算例题1如图，已知点A，B，C，D均在O上，CD为ACE的角平分线（1）求证：ABD为等腰三角形；（2）若DCE=45，BD=6，求O的半径例题2如图，BE是O的直径，半径OA弦BC，
6、点D为垂足，连AE，EC（1）若AEC=28，求AOB的度数；（2）若BEA=B，BC=6，求O的半径变式1如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=80，求CAD的度数；（2）若AB=8，AC=6，求DE的长变式2如图，ABC内接于O，AB为直径，点D是上一点，且DAC=DBA，过点D作DEAB，垂足为点E，连结AD（1）求证：DB平分CBA；（2）连接CD，若CD=5，BD=12，求O的半径拓展点二：与圆周角有关的证明例题1如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG（
7、1）求证：AGD=FGC；（2）若AGAF=48，CD=4，求O的半径例题2如图，已知O的半径为1，A，P，B，C是O上的四个点，APC=CPB=60（1）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论变式1如图，AB是O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，ACB的平分线交O于点D（1）求AD的长（2）求CD的长变式2如图，A、P、B、C是O上的四点，APC=BPC=60，AB与PC交于点Q；（1）判断ABC的形状，并证明你的结论；（2）若ABP=15，ABC的面积为4，求PC的长拓展点三：与圆内四边形性质相关的证
8、明题例题1如图，O的直径AB=10m，C为直径AB下方半圆上一点，ACB的平分线交O于点D，连接AD、BD（1）判断ABD的形状，并说明理由；（2）若弦AC=6cm，求BC的长例题2已知：A、B、C、D四点均在O上，点E在CD的延长线上，AB=AC求证：DA平分BDE变式1已知点A、B、C、D四点在O上；（1）若ABC=ADB，求证：AB=AC；（2）若CAD=ACD，求证：BD平分ABC变式2如图，AB是O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，ACB的平分线交O于点D，求AB和AD的长拓展点四：与圆内接四边形性质相关的计算题例题1如图，四边形ABCD是菱形，O经过点A、C、D，与BC相交于点E，
9、连接AC、AE若D=78，则EAC=27例题2如图，已知A、B、C是O上的三个点，ACB=110，则AOB= 变式1如图，已知AB是O的直径，BC为弦，过圆心O作ODBC交弧BC于点D，连接DC，若DCB=32，则BAC= 变式2如图，点A、B、C、D在同一个圆上，DB=DC，DA、CB的延长线相交于点E，若BDC=a，则EAB= （用含a的式子表示）拓展点五：圆有关性质的综合应用易错点：在求弦所对的圆周角的角度时，容易漏解例题ABC为O的内接三角形，若AOC=160，则ABC的度数是（）A80B80或100C100D160或20变式1若圆的一条弦把圆分成度数比为1：4的两段弧，则弦所对的圆周角等于（）A36B72C36或144D72或108变式2AOB=100，点C在O上，且点C不与点A，B重合，则ACB的度数为（）A50B80或50C130D50或130
