1、第4章一次函数41函数和它的表示法41.1变量与函数1了解常量、变量的概念2了解函数的概念3确定简单问题的函数关系 重点借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念 难点怎样理解“唯一对应”一、创设情境，导入新课如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定你能举出一些类似的实例吗？二、合作交流，探究新知1气温问题：上图是北京春季某一天的气温T随时间t变化的图象，看图回答：(1)这天的8时的气温是_，1
2、4时的气温是_，最高气温是_，最低气温是_；(2)这一天中，在4时12时，气温()，在16时24时，气温()A持续升高B持续降低C持续不变思考：(1)天气温度随_的变化而变化，即T随_的变化而变化；(2)当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？2当正方形的边长x分别取1，2，3，4，5，6，7，时，正方形的面积S分别是多少？3某城市居民用的天然气，1 m3收费2.88元，使用x(m3)天然气应缴纳费用y2.88x ，当x10时，缴纳的费用为多少？思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？哪些量是变化的？哪些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当
3、一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化(按照某种规律变化)，变化的量叫做变量；有些量的值始终不变(例如正方形的面积)并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个教师根据学生的回答，在黑板上板书：时间气温正方形边长正方形面积天然气费用天然气体积师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数三、运用新知，深化理解例1分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm2与球
4、的半径R cm的关系式是S4R2；(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是hv0t4.9t2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是hgt2(其中g取9.8 m/s2)；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x1.8w.【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量解：(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S4R2，其中，常量是4，变量是S，R；(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运
5、动的时间t秒之间的关系式是hv0t4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是hgt2(其中g取9.8 m/s2)，其中常量是g，变量是h，t；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x1.8w，常量是1.8，变量是x，w.【方法总结】常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化例2下列说法中正确的是()A变量x，y满足x3y1，则y是x的函数B变量x，y满足y，
6、则y可以是x的函数C变量x，y满足|y|x，则y可以是x的函数D变量x，y满足y2x，则y可以是x的函数【分析】A中x3y1，y可以看作x的函数，因为y；B中y，因为x210，等式无意义，即对于变量x的任何一个取值，变量y都没有唯一确定的值，故y不是x的函数；C，D中的|y|x和y2x，对于变量x的任意一个正数值，变量y都有两个(不唯一)值与其对应，故y不是x的函数故选A.【方法总结】判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系例3水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设
7、经过t分钟后，水箱内存水y升(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？(3)几点几分水箱内的水恰好放完？【分析】(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)7：55时，t553025，将t25代入(1)中的关系式即可；(3)令y0，求出t的值即可解：(1)水箱内存有的水原有水放掉的水，y2002t.y0，2002t0，解得t100，0t100，y关于t的函数关系式为y2002t(0t100)；(2)7：557：3025(分钟)，当t25时，y2002t20050150(升)，7：55
8、时，水箱内还有水150升；(3)当y0时，2002t0，解得t100，而100分钟1小时40分钟，7点30分1小时40分钟9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完四、课堂练习，巩固提高1教材P112练习2教师指导学生完成高效课堂“随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知1常量和变量的概念2函数的概念3函数关系式4自变量的取值范围5函数值六、布置作业1学生完成高效课堂“课时作业”2教材P116习题4.1第1，2，6，7题41.2函数的表示法1了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法2进一步理解函数值的概念3会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值 重点认清函数的不同表示方法
9、，知道各自的优缺点，能按具体情况选用适当的方法 难点函数表示方法的应用一、创设情境，导入新课问题1小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元/时计算设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表后回答下列问题：工作时间t(时)15101520报酬m(元)(1)在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？(常量16，变量t，m)(2)能用t的代数式来表示m的值吗？(能，m16t)教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应问题2跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离(米)与助跑的速度(米/秒)有关根据经验，跳远的距离
10、s0.085v2(0v10.5)回答下列问题：(1)在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？(常量0.085，变量v，s)；(2)计算当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s是多少(结果精确到0.01)？(3)给定一个v的值，你能求出相应的s的值吗？教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v，s，对v的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与它对应二、合作交流，探究新知 函数的表示法：解析式法：问题1，2中，m16t和S0.085v2这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式用函数解析式表示函数的方法也叫解析式法列表法：有时把自变量的一系列值和函数的对应值列成一
11、个表这种表示函数关系的方法是列表法(如教材P110页“动脑筋”问题2表示的是正方形面积与边长的函数关系)图象法：我们还可以用图象法来表示函数，例如图中的图象就表示骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系解析式法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法教师指出：(1)解析式法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视(2)函数值概念：与自变量对应的值叫作函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化若函数用解析式法表示，只需把自变量的值代入函数式，就能得到相应的函数
12、值例如函数m16t，当t5时，把它代入函数解析式，得m16580(元)m80叫作当自变量t5时的函数值由于函数值的概念是由函数的概念派生出来的，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象若函数用列表法表示我们可以通过查表得到例如正方形面积与边长的函数关系中，当x2时，函数值S4；当x6时，函数值S36.若函数用图象法表示例如骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如当x50时，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是当函数
13、值x50时的函数值，即W399(焦)三、运用新知，深化理解 例1有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：质量(克)1234伸长量(厘米)0.511.52总长度(厘米)10.51111.512(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？(2)当所挂重物为x克时，用h表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式；(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克？【分析】(1)根据挂重物每克弹簧伸长0.5厘米，可知要伸长5厘米需挂重物质量；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据题意求出函数值，可得
14、所挂重物质量解：(1)50.5110(克)，答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克；(2)函数的表达式为h100.5x(0x50)； (3)当h25时，25100.5x，x30.答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克【方法总结】列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了列表法在实际生产和生活中也有广泛应用如成绩表、银行的利率表等例2如图所示，修建高速公路的过程中，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，暴雨过后施工队加快了施工进度，按时完成了工程任务，下面能反映该工程未修建的公路里程y(千米)与时间x(天)之间的函数关系的大致图象是(
15、)A.B.C. D.【分析】y表示未修建的公路里程，x表示时间，y由大变小，选项A、D错误；施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，随后加快了施工进度，y随x的增大减小得比开始的快，线段与x轴夹角变大选项C错误，选项B正确故选B.【方法总结】在选择合适图象时，要先弄清横纵坐标表示的意义，再根据描述找出关键转折点，分析转折前后是否都均匀变化，确定图象的线条是直线还是曲线变化的趋势是快还是慢，可用与x轴的夹角表示出来例3如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的关系如图，请根据图象回答下列问题：(1)汽车共行驶的路程是多少？(2)汽车在行驶
16、途中停留了多长时间？(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是1202240(千米)(2)由横坐标看出，21.50.5(小时)，汽车在行驶途中停留了0.5小时(3)由纵坐标看出汽车到达D点时的路程是120千米，由横坐标看出到达D点时的时间是3小时，由此算出平均速度120340(km/h)；由纵坐标看出返回的路程是120千米，由横坐标看出，4.531.5(小时)，汽车返回家用了1.5小时，由此算出平均速度是1201.580(km/h)(4)由横坐标看出4.531.5
17、(小时)，返回用了1.5小时【方法总结】图象法的优点：直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等 例4一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1 km，耗油0.6升，如果设剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米)(1)写出y与x的关系式；(2)这辆汽车行驶35 km时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？【分析】(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值解：(1)y0.6x48；(2)当x35时，y480.6
18、3527，这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y12时，480.6x12，解得x60，汽车剩油12升时，行驶了60千米【方法总结】解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值四、课堂练习，巩固提高1教材P115练习2教师指导学生完成高效课堂“随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知 1.我们认识了函数的三种不同的表示方法：(1)解析式法；(2)列表法；(3)图象法并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化其实函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下：图象特征函数变化规律由左至右曲线呈上升状态y随x的增大而增大由左至右曲线呈下降状态y随x的增大而减小曲线上的最高点是(a，b)xa时，y有最大值b.曲线上的最低点是(a，b)xa时，y有最小值b.2能够分析图象信息，解答有关问题通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想六、布置作业1学生完成高效课堂“课时作业”2教材P116习题4.1第35题
